Lista 5 - Cálculo 3 - 2023-1

Universidade Federal de Sao Carlos-Departamento de Matematica 89303-Calculo 3: Lista 5 Prof(a): Alessandra Verri Exercicio 1. Determine o jaconiano das transformacoes. (a) «= 5u—v, y=ut3v (b) c= —~, y= —— (c) Utvu U— Vv Exercicio 2. Determine a imagem do conjunto S sob a transformacao dada. (a) (1) (u,v) € [0,3] x [0,2]; «= 2u+3v,y=u-—v (b) Em coordenadas (u,v), S 6 a regido triangular de vértices (0,0), (1,1), (0,1); 2=u?,y=v Exercicio 3. Utilize a transformacao dada para calcular a integral. (a) // (a—3y)dA, em que R é a regiao triangular de vértices (0,0), (2,1), (1,2); # = 2u+v, y = u+2v R ay? (b) // x’°dA, em que R é a regiao delimitada pela elipse 9 + T= 36; x = 2u, y = 3u R (c) / | xy dA, em que R é a regiao do primeiro quadrante limitada pelas retas y = x, y = 32 e pelas R hipérboles zy = 1, ry = 3; x =u/v, y=v Exercicio 4. Calcule a integral usando mudanga de variavel. x — 2y , _ (a) joy em que R é o paralelogramo delimitado pelas retas x — 2y = 0, x — 2y = 4, Rt Y 3x —-y=le3r—-y=8 (b) // cos (4) dA, em que R éa regiao trapezoidal com vértices (1,0), (2,0), (0,2) e (0,1) R Yre (c) // e*T¥ dA, em que R é a regiao dada pela inequacao |a| + |y| <1 R Leiturinha: Mudanca de varidvel para integrais triplas. Seja T uma transformacao que leva uma regiao S do espaco uvw para uma regiao R do espaco xyz por meio das equacodes x= g(u,v,w), y = h(u,v,w), z=k(u,v,w). O Jacobiano de T é 0 seguinde determinante: Ox Oy dz tru) a, { Be 3H 8). O(u, v, k) oe By Be Ow Ow Ow Temos a seguinte foérmula para integrais, [ff senaav = [ff totu.r.),n(u,0,0),.(u, 0.) [FEF audode = u,v, w), h(u, v, w), w(u, v, w)) |} —————— . R xz, Y,% g g ’ d ’ d d ’ d d O(u, v, k) Exercicio 5. Utilize a formula acima para deduzir a integracao tripla por coordenadas esféricas, ou seja, sabendo que x=psendcosé, y=psendcosé, z=pcosd, mostre que dV = p*sen ddpdéd¢. Respostas: 1. (a) 16 (b) 0 2. (a) Paralelograos com vértices (0,0), (6,3), (12,1), (6, —2) (b) Regiao delimitada pela reta y = 1, eixo y e por y = Vx 3. (a) —3 (b) 67 (c) 21n3 4. (a) (8/5) In8 (b) (3/2)sen 1 (ce) e—e!