Lista 9 - Cálculo 3 - 2023-1

Universidade Federal de Sao Carlos-Departamento de Matematica 89303-Calculo 3: Lista 9 Prof(a): Alessandra Verri Exercicio 1. Determine uma representacaéo paramétrica para cada superficie. (a) O plano que passa pelo ponto (1,2,—3) e contém os vetores 7+ 7 — kei-jtk (b) A metade inferior do elipsdide 2a? + 4y? + 22 = 1 (c) A parte do hiperboldide 2? + y? — z? = 1 que esta & direita do plano xz (d) A parte do paraboldide elfptico x + y? + 2z? = 4 que estd acima do cone z = Ja? + y? (e) A parte da esfera x? + y? + 22 = 4 que esta entre os planos z = —2e z = 2 (f) A parte do cilindro y? + z? = 16 que esté entre os plano x =0Oe x =5 Exercicio 2. Determine a area da superficie. (a) A parte do plano 3x2 + 2y + z = 6 que esta no primeiro octante (b) A parte da superficie z = xy que estd dentro do cilindro x? + y? = 1 (c) A parte do paraboldide hiperbdlico z = y? — x? que esta entre os cilindros x?+y? =1lea?+y?=4 (d) A parte da superficie y = 42 + 2? que esta entre os planos x = 0,7 =1,z=O0Oez=1 (e) A superficie com equacées paramétricas 2 = u?, y = uv, z = v?2/2,0<u<1,0<v<2 Exercicio 3. Calcule a integral de superficie. (a) Ss xyz dS, S éa parte do plano z = 1+ 2x + 3y que esta acima do retangulo [0,3] x (0, 2] (b) Ss yzdS, S éa parte do plano x + y+ z = 1 que esta no primeiro octante (c) Ss yzdS, S éa superficie com equacdes paramétricas x = u?, y = usenv,z = ucosv, 0<u< 1, O<v<7/2 (d) Ss x27 dS, S éa parte do cone z? = x? + y? que esta entre os planos z =1lez=3 (e) Ss ydS, S éa parte do paraboldide y = x? + z? que esté dentro do cilindro x? + y? = 4 (f) Sf glz + xy) dS, S é a parte do cilindro y? + z? = 1 que esta entre os planos x = 0 e = 3 no primeiro octante Respostas: 2. (a) 3/14 (b) (27/3)(2V2—1) (c) (1/6) (1739/2 —53/2) (d) V21/2+ (17/4) [In(2+ V21— In V17] (e) 43. (a) 171/V14 (b) V3/24 (c) (575) /48 41/240 (d) 364V/2/3n (e) (7/60) (391V17+ 1) (f) 12