Calculo 3 - P3 - Prova Resolvida com Teorema de Green Stokes e Gauss

Cálculo 3 Terceira Prova P3 22062016 Nome Exercício 1 2 pontos Considere o campo vetorial F x y yx²y² î xx²y² ĵ e seja B R² B compacto cujo interior contém o 0 e sua fronteira é uma curva γ fechada simples e de classe C¹ Calcule γ F dγ Dica Considere uma circunferência de raio r 0 contida no interior de B Use o teorema de Green Exercício 2 2 pontos Sejam F x y x³î 3x²yj γ₁t t et²1 0 t 1 γ₂t t t² 0 t 1 Considere η₁ a normal a curva γ₁ com componente y 0 e η₂ a normal a curva γ₂ com componente y 0 Calcule γ₁ F η₁ds Dica Mostre que γ₁ F η₁ds γ₂ F η₂ds Use teorema da divergência no plano Exercício 3 2 pontos Seja F x y z x y z² k e seja σ a fronteira do cilindro x² y² 4 e 0 z 3 e considere η a normal unitária exterior Use o teorema de Gauss para calcular σ F η dS Exercício 4 2 pontos Seja F x y z yî xĵ x²k e seja σ a superfície x² y² z² 4 com 2 z 3 e y 0 com normal unitária η apontando para cima Usando o teorema de Stokes calcule σ rotF η dS Exercício 5 2 pontos Calcule a área da parte da superfície do toro de raio maior 3 e raio menor 2 que está acima do plano xy Extra 1 1 ponto Calcule a área da parte da superfície z xy que se encontra dentro do cilindro x² y² 4 e fora do cilindro x² y² 1 Prof Rodrigo da Silva Rodrigues Max 10 pontos BOA PROVA