Lista 7 - Cálculo 3 - 2023-1

Universidade Federal de Sao Carlos-Departamento de Matematica 89303-Calculo 3: Lista 7 Prof(a): Alessandra Verri Exercicio 1. Calcule a integral ao longo de C (orientada no sentido anti-hordrio). (a) Jo y’dx + 22dy; C éa fronteira do quadrado D = [1,1] x [-1,1] (b) fo(32? + y)da + 4y*dy; C é a fronteira do triangulo de vértices (0,0), (1,0) e (0,2) (c) [ole* — 3y)da + (e¥ — 6x)dy; C é a elipse de equagao x? + 4y? = 1 (d) JoQary —a*)dx+(a—y*)dy; C €a fronteira da regido limitada por y = 2? e y? = x (ce) fo(at+y)da+(y—«)dy; C éa circunferéncia x? + y? — 2ax = 0 Exercicio 2. Determine se F é ou nao um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma funcaéo f talque F=Vf. (a) F(a, y) = (2x — 3y)i + (—3a + 4y — 8)7 (b) F(a, y) =e” cosyi + e*sen yj (c) F(a, y) = e*senyi+ e* cosyj (d) F(a,y) = (3a? — 2y?)i + (dary + 3)7 (ec) F(x, y) = (ye™ + seny)i + (e* + xcosy)j (f) F(x, y) = (ay cos ay + sen xy)i + (x? cos xy)j (g) F(x, y) = (Iny + 2ey?)i + (Bay? + @/y)7 Exercicio 3. Em cada item, determine uma funcao f tal que F = Vf. Em seguida, use esta informacao para calcular Jo F’- dr sobre a curva C' dada. (a) F(a,y) =ay?i+a2yj C é dada por r(t) = (t +: sen (t/2), t + cos(mt/2)), 0<t<1 (b) F(a, y,z) = yzitazj + (ay + Q2)k C é 0 segmento de reta de (1,0, —2) a (4,6, 3) (c) F(x, y,z) = y? cos zi + 2xy cos zj — ry2senzk C é dada por r(t) =ti+sentj + tk,0<t<ao Exercicio 4. Determine o trabalho realizado pelo campo de forga F(z, y) = 2y3/27 + 3a/y) ao se mover uma particula do ponto (1,1) a (2,4). Exercicio 5. Determine a constante k para que o campo F(z,y) = (y? — xy,kx? — 4kxy) seja conservativo. Em seguida, calcule a integral Jo F'- dr em que C é 0 segmento de reta de (0,0) a (1,1). Respostas: 1. (a) 0 (b) −1 (c) −3π/2 (d) 1/30 (e) −2πa2 3. (a) 2 (b) 77 (c) 0 4. 30 5. k = −1/2; integral = 1/2 2