Slide - Integrais Triplas - Cálculo 3 2022-2

Cálculo 3 Larissa Oliveira larissa.oliveira@ufscar.br *Texto, imagens e exemplos retirados de STEWART, J. Cálculo. 8. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2016, v. 2. Inicialmente, trataremos o caso mais simples, quando f é definida em uma caixa retangular: B = {(x, y, z) | a  x  b, c  y  d, r  z  s}. Assim como para as integrais duplas, o método prático para calcular uma integral tripla consiste em expressá-la como uma integral iterada, como segue. A integral iterada do lado direito do Teorema de Fubini indica que primeiro integramos em relação a x (mantendo y e z fixados); em seguida integramos em relação ao y (mantendo z fixado) e, finalmente, em relação a z. Integrais Triplas Vamos nos restringir às funções contínuas f e a certos tipos de regiões. Uma região sólida E é dita do tipo I se estiver contida entre os gráficos de duas funções contínuas de x e y, ou seja, E = {(x, y, z) | (x, y)  D, u1(x, y)  z  u2(x, y)} Integrais Triplas sobre uma região limitada geral Em particular, se a projeção D de E no plano xy é uma região plana de tipo I, então Então, E = {(x, y, z) | a  x  b, g1(x)  y  g2(x), u1(x, y)  z  u2(x, y)} e a Equação 6 se torna Integrais Triplas sobre uma região limitada geral Se, por outro lado, D é uma região plana do tipo II, então E = {(x, y, z) | c  y  d, h1(y)  x  h2(y), u1(x, y)  z  u2(x, y)} e a Equação 6 se torna Integrais Triplas sobre uma região limitada geral Uma região sólida E é de tipo 2 se for da forma E = {(x, y, z) | (y, z)  D, u1(y, z)  x  u2(y, z)} onde, desta vez, D é a projeção de E no plano yz. A superfície de trás é x = u1(y, z) e a superfície da frente é x = u2(y, z). Assim, temos Uma região de tipo 2 Integrais Triplas sobre uma região limitada geral Finalmente, uma região do tipo 3 é da forma E = {(x, y, z) | (x, z)  D, u1(x, z)  y  u2(x, z)} onde D é a projeção de E no plano xz, y = u1(x, z) é a superfície da esquerda e y = u2(x, z) é a superfície da direita. Integrais Triplas sobre uma região limitada geral Observação: Em cada uma das Equações anteriores podem existir duas possíveis expressões para a integral, dependendo de D ser uma região plana do tipo I ou II (e correspondendo às Equações 7 e 8). Integrais Triplas sobre uma região limitada geral Exemplo: Calcule a integral tripla ׮𝐸 𝑥2 + 𝑧2𝑑𝑉, onde E é a região limitada pelo paraboloide 𝑦 = 𝑥2 + 𝑧2 e pelo plano 𝑦 = 4. Integrais Triplas sobre uma região limitada geral Exemplo: Calcule a integral tripla ׮𝑇 (𝑥 − 1)𝑑𝑉, onde T é a região limitada pelos planos 𝑦 = 0, 𝑧 = 0, 𝑦 + 𝑧 = 5 e 𝑧 = 4 − 𝑥2. Integrais Triplas sobre uma região limitada geral Exercícios: 1 - Calcule ׮𝑇 𝑥 𝑑𝑉, onde T é a região limitado por 𝑥2 + 𝑦2 = 25, x + y + z = 8 e pelo plano xy. 2 - Calcule ׮𝑇 𝑦𝑑𝑉, onde T é a região delimitada pelo planos coordenados e pelo plano 𝑥 3 + 𝑦 2 + z = 1. Integrais Triplas Em três dimensões, há um sistema de coordenadas, chamado coordenadas cilíndricas, que é análogo às coordenadas polares e dá descrições convenientes de algumas superfícies e sólidos que ocorrem usualmente. No sistema de coordenadas cilíndricas, um ponto P no espaço tridimensional é representado pela triplo ordenada (r, , z) onde r e  são as coordenadas polares da projeção de P no plano xy e z é a distância orientada do plano xy a P. Integrais Triplas em Coordenadas Cilíndricas Para convertermos de coordenadas cilíndricas para retangulares, usamos as equações enquanto que para converter de coordenadas retangulares para cilíndricas, usamos Integrais Triplas em Coordenadas Cilíndricas Suponha que E seja uma região do tipo 1, cuja projeção D no plano xy tenha uma representação conveniente em coordenadas polares. Integrais Triplas em Coordenadas Cilíndricas Em particular, suponha que f seja contínua e E = {(x, y, z) | (x, y)  D, u1(x, y)  z  u2(x, y)} Sabemos da equação que Integrais Triplas em Coordenadas Cilíndricas Mas também sabemos como calcular integrais duplas em coordenadas polares. De fato, obtemos A fórmula acima é a fórmula para a integração tripla em coordenadas cilíndricas. Ela nos diz que convertemos uma integral tripla em coordenadas retangulares para coordenadas cilíndricas escrevendo x = r cos , y = r sen , deixando z como está, utilizando os limites apropriados de integração para z, r e , e trocando dV por r dz dr d. Integrais Triplas em Coordenadas Cilíndricas Exemplo: Um sólido E está contido no cilindro x2 + y2 = 1, abaixo do plano z = 4, e acima do paraboloide z = 1 – x2 – y2. A densidade em qualquer ponto é proporcional à distância do ponto ao eixo do cilindro. Determine ׮𝑇 𝐾 𝑥2 + 𝑦2𝑑𝑉. Integrais Triplas em Coordenadas Cilíndricas Exemplo: Calcule ׬−2 2 ׬− 4−𝑥2 4−𝑥2 ׬ 𝑥2+𝑦2 2 𝑥2 + 𝑦2 𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥 Integrais Triplas em Coordenadas Cilíndricas Exercício: Usando coordenadas cilíndricas, calcule ׮𝑇 𝑑𝑉, onde 𝑇 é a região delimitada por 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 4 e 𝑥2 + 𝑦2 = 3𝑧. Integrais Triplas em Coordenadas Cilíndricas