Trabalho 2 - Cálculo 3 2022-1

TRABALHO 2 - CÁLCULO 3 Prof. Ademir Orientações O trabalho deve ser entregue até o dia 24/08. Justifique as respostas de cada exercício e exponha seus cálculos de forma organizada. Name: RA: 1. Determine se o campo de vetores F(x, y) = (e^y + ye^x)i + (xe^y + e^x)j é conservativo e calcule a integral ∫_C F dr onde C é a curva dada pela equação vetorial r(t) = sen(πt/2) i + ln(t)j, 1 <= t <= 2. 2. Calcule as integrais de linha abaixo, verifique a orientação da curva. (a) ∮_C arctg(y)dx - y^2x/(1 + y^2) dy, onde C é o quadrado formado pelos segmentos de reta ligando (0, 0) a (1, 0), (1, 0) a (1, 1), (1, 1) a (0, 1) e (0, 1) a (0, 0). (b) ∮_C (ycos(x) - xysen(x))dx + (xy + xcos(y))dy onde C é o triângulo de (0, 0) a (0, 4) a (2, 0) a (0, 0). 3. A partir de uma mudança de variáveis adequada, calcule as integrais abaixo. 4. Determine o trabalho realizado pelo campo de forças F(x, y) = e^-yi - xe^-yj para mover uma partícula de um ponto P = (0, 1) ao ponto Q = (2, 0). 3. A partir de uma mudança de variáveis adequada, calcule as integrais abaixo. (a) ∬∬_G (y^2 + z^2) dV , onde G é a região envolvida pelo elipsoide x^2/4 + y^2/9 + z^2/25 = 1. (b) ∬∬∬_G x^2dV onde G é o cilindro elíptico de equação x^2 + 4y^2 = 4 limitado pelos planos z = 0 e z = 1. Lucas Faustino / mesque.ms1 1) Para F ser conservativo, temos a seguinte condição: dM/dy = dN/dx M: e^y + ye^x N: xe^y + e^x dM/dy = e^y + e^x dN/dx = e^y + e^x como dM/dy = dN/dx, então F é conservativo. Calculando agora a integral de linha: r'(t) = π/2 cos(πt/2) i + 1/t j t F(r(t)) = (e^t + ln(t)e^sin(πt/2)) i + (t + 5sin(πt/2) + e) j ∫_C Fdr = ∫ (π/2 cos(πt/2)) ln e^sin(πt/2) dt + ∫_(1)^2 e^sin(πt/2) dt + ∫_(1)^2 e/tdt t ∫_C Fdr = -2 - π/n - 3/4 + 2 + 1444/1000 = -0.3065 2) a) Vamos utilizar o teorema de Green. ∬_R dN/dX - dM/dy = ∫_(0)^1 ∫_(y^2)/(1+y^2) - 1/(y^2+1) dy dx = ∫_(0)^1 y - 2y^2/(y^2+1) ∬ ∫_(y)/(y^2+1) dy dx = ∫¹⁰ -dx = -10 1) ∫²₀∫³₀ y + cos y - cos x - x sin x dy dx = ∫²₀ y²/2 + sin y - y cos x - y x sin x \⁴₀ dx = ∫²₀ 8 + sin 4 - 4 cos x - 4 x sin x dx = 76 - 7,5736 - 3,6378 - 9,96636 = 3,88 3) a) ∫²₀∫³₀∫⁵₀ y² + 2 d z dy dx = ∫²₀∫³₀ y² + 2/3 dy dx = ∫²₀ 2 5 y² + 2 5/3 dx = ∫²₀ 225 + 125 dx = 350.2 = 700 b) ∫²₀∫⁷₀∫³₀ x² dx d y dz = ∫²₀∫⁷₀ x/3 dx d z = ∫²₀ ∫⁷₀ 8/3 dy dz = 4) Podemos escrever a seguinte equação de reta: PQ : (2, -1) → X: 2 + 2 t → n (t) : [2 + 2 t] î + (-1) ĵ y : - 1 n' (t) : 2 î - ĵ F || n || = e [x] + (-2 + 1 - 2 t)) e [y] W : ∫¹₀ 3 e [t] + (2 t + t) e [t] dt = ∫¹₀ 4 e [t] + 3 e [t] dt = 4 (e - 1) + 2 = 4 e - 2