Slide - Integrais Triplas em Coordenadas Esféricas - Cálculo 3 2022-2

Cálculo 3 Larissa Oliveira larissa.oliveira@ufscar.br *Texto, imagens e exemplos retirados de STEWART, J. Cálculo. 8. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2016, v. 2. Integrais Triplas em Coordenadas Esféricas Outro sistema de coordenadas tridimensionais útil é o sistema de coordenadas esféricas. Ele simplifica o cálculo de integrais triplas em regiões limitadas por esferas ou cones. As coordenadas esféricas (, , ) de um ponto P no espaço são mostradas na figura, onde  = |OP | é a distância da origem a P,  é o mesmo ângulo que nas coordenadas cilíndricas e  e o ângulo entre o eixo z positivo e o segmento de reta OP. Integrais Triplas em Coordenadas Esféricas Observe que   0 0     O sistema de coordenadas esféricas é especialmente útil em problemas nos quais exista simetria em torno de um ponto e a origem esteja colocada neste ponto. Integrais Triplas em Coordenadas Esféricas Por exemplo, a esfera com centro na origem e raio c tem a equação simples  = c essa é a razão do nome “coordenadas esféricas”.  = c, uma esfera Integrais Triplas em Coordenadas Esféricas O gráfico da equação  = c é um semiplano vertical e a equação  = c representa um semicone com o eixo z como seu eixo.  = c, um semiplano  = c, um cone Integrais Triplas em Coordenadas Esféricas A relação entre coordenadas esféricas e retangulares pode ser vista na figura abaixo. Dos triângulos OPQ e OPP , temos z =  cos  r =  sen  Integrais Triplas em Coordenadas Esféricas Mas x = r cos  e y = r sen , de modo que para converter de coordenadas esféricas para retangulares, usamos as equações Além disso, a fórmula da distância mostra que Usamos essa equação para converter de coordenadas retangulares para coordenadas esféricas. Integrais Triplas em Coordenadas Esféricas No sistema de coordenadas, o correspondente à caixa retangular é uma cunha esférica E = {(, , ) | a    b,     , c    d } onde a  0 e  –   2 e d – c  . Eijk é aproximadamente uma caixa retangular com dimensões , i   (arco de circunferência de raio i, ângulo ) e i sen k   (arco de de circunferência de raio i sen k, ângulo  ). Vijk  ()(i )(i sen k ) = sen k   Integrais Triplas em Coordenadas Esféricas A fórmula para a integração tripla em coordenadas esféricas. Integrais Triplas em Coordenadas Esféricas A Fórmula 3 nos diz que, para converter uma integral tripla de coordenadas retangulares para coordenadas esféricas, escrevemos x =  sen  cos y =  sen  sen z =  cos  utilizando os limites de integração apropriados e substituindo dv por  2sen  d d d. Integrais Triplas em Coordenadas Esféricas Essa fórmula pode ser estendida para incluir regiões esféricas mais gerais, como: E = {(, , ) |     , c    d, g1(, )    g2(, )} Em geral, as coordenadas esféricas são utilizadas nas integrais triplas quando superfícies como cones e esferas formam a fronteira da região de integração. Integrais Triplas em Coordenadas Esféricas Exemplo: Utilize coordenadas esféricas para ׮𝑇 1 𝑑𝑉, sendo T do sólido que fica acima do cone z = 𝑥2 + 𝑦2 e abaixo da esfera x2 + y2 + z2 = z. Integrais Triplas em Coordenadas Esféricas  varia de 0 a  /4, enquanto  é constante.  varia de 0 a cos  , enquanto  e  são constantes.  varia de 0 a 2 . Exercício: Usando coordenadas esféricas, calcule ׮𝑇 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 𝑑𝑉, onde 𝑇 é a coroa esférica limitada por 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 1 e 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 4. Integrais Triplas em Coordenadas Esféricas