Lista de Exercicios 3 - Calculo Diferencial e Integral

LISTA 3 Cálculo Diferencial e Integral 3 Exercício 1 Calcule pela definição o fluxo do campo Fxy y²i sobre a fronteira do setor do círculo de raio r contido no primeiro quadrante do plano cartesiano na direção do vetor normal unitário exterior Exercício 2 Calcule via definição e via teorema de Gauss o fluxo do campo vetorial Fxy x³i sobre a fronteira do retângulo 12 13 Exercício 3 Calcule o fluxo do campo vetorial Fxy x ⁵ y ⁴ I 3y x ⁴ y ⁵ j através da curva αt cost sent t 0 π2 da direção da normal unitária cuja segunda componente é maior ou igual a zero Exercício 4 Calcule o fluxo do campo vetorial Fxy xx² y²i yx² y²j através da curva αt cos³ti sen³tj t 0 2π na direção da normal unitária exterior Dica Combine a Proposição 1 e ideia utilizada no exemplo 3 da aula sobre o Teorema de Green com a ideia da demonstração do teorema da divergência Exercício 5 Calcule o fluxo do campo vetorial Fxy xx² y²³ i yx² y²³ j através da curva αt costi sentj t 0 2π na direção da normal unitária exterior Exercício 6 Calcule o fluxo do campo vetorial Fxy xx² y² i yx² y² j através da curva αt costi sentj t 0 2π na direção da normal unitária exterior Exercício 7 Obtenha uma parametrização para a superfície descrita dada pelo elipsoide x²4 y 1²9 z²16 1 Exercício 8 Obtenha uma parametrização para as superfícies dadas a S xyz x² 4y² 1 b S xyz 2x y 4z 5 c S é a rotação em torno do eixo z do conjunto A xyz x 0 y 0 e z eˣ d S é a rotação em torno do eixo z do conjunto A xyz x 0 e z² y 2² 1 Exercício 9 Obtenha o plano tangente às superfícies nos pontos dados a σuv uvu² v² no ponto σ11 b σuv cosu senv v no ponto σπ21 c σuv 2u v u v 3u 2v no ponto σ00 d σuv u v u² v² u v no ponto σ11 Exercício 10 Calcule a área das superfícies descritas abaixo a S dada por σuv uv1 u v com u 0 v 0 e u v 1 b S dada por σuv cosu v senu com u² v² 4 c S x y² z² com 0 y² z² 4 d S z xy com 1 x² y² 4 e S calota cortada da semiesfera x² y² z² 3 z 0 pelo cilindro x² y² 1 f S calota cortada da semiesfera x² y² z² 1 z 0 pelo cone z x² y² g S é a rotação em torno do eixo z do conjunto A xyz x 0 e z² y 2² 1 Exercício 11 Calcule as integrais de superfícies de fxyz a fxyz x sendo σuv uvu² v com 0 u 1 u² v 1 b fxyz xy sendo σuv u v u v 2u v 1 com 0 u 1 0 v u c fxyz y sendo σuv uv1 u² com 0 u 1 0 v u d fxyz x² y² sendo σ descrita por x² y² z² 4 com z 1 Exercício 12 Calcule a integral de superfície da função fxyz x y² z sobre a superfície σuv u v 1 u v u 2v com uv 01 1 2 Exercício 13 Considere a superfície S sendo a região da calota superior do elipsoide x² y² 2z² 9 compreendida entre z 1 e z 2 Descreva S na forma paramétrica e calcule a integral de superfície de fxyz z sobre S Exercício 14 Considere a superfície S sendo a região da calota superior do elipsoide 2x² 3y² z² 4 compreendida entre z 2x² 3y² e z 4x² 6y² Descreva S na forma paramétrica e calcule a integral de superfície de fxyz 12x² 6y² 4 sobre S Exercício 15 Calcule a massa da superfície x² y² z² 0 1 z 3 cuja densidade de massa é dada por ρxyz x² y² Exercício 16 Calcule o momento de inércia do elipsoide 3x² 3y² 3z² 1 cuja densidade de massa é homogênea em torno do eixo x Exercício 17 Calcule o momento de inércia da superfície homogênea x² y² 1 0 z 1 em torno do eixo z Exercício 18 Calcule o momento de inércia da superfície homogênea z x² y² 0 z 1 em torno do eixo z Exercício 19 Considere a chapa delgada descrita pela superfície parametrizada σuv uv3u v uv 0 1 0 1 e a função densidade superficial de massa ρxyz 2x 3y z Calcule o momento de inércia dessa superfície em relação ao eixo z e o centro de massa Exercício 20 Seja B o sólido delimitado pelos planos x 0 y 0 z 0 e x y z 2 Calcule pela definição o fluxo do campo vetorial Fxyz y z i yx ² j x y²k através da fronteira de B na direção do vetor η unitário normal exterior à B Exercício 21 Calcule se possível pela definição e pelo teorema da divergência o fluxo do campo vetorial Fxyz x y 0 sobre a fronteira do sólido descrito por B x² z² 1 e 0 y 3 na direção do vetor unitário normal exterior Exercício 22 Calcule se possível pela definição e pelo teorema da divergência o fluxo do campo vetorial Fxyz xz 0 z² sobre a fronteira do sólido descrito por B x² z² 1 z 0 e 0 y 3 na direção do vetor unitário normal exterior Exercício 23 Calcule se possível pela definição e pelo teorema da divergência o fluxo do campo vetorial Fxyz xyz sobre a fronteira do sólido descrito por B x² z² 1 e x² y² z² 4 na direção do vetor unitário normal exterior Exercício 24 Calcule se possível pela definição e pelo teorema da divergência o fluxo do campo vetorial Fxyz x² xy x y² sobre a fronteira do sólido descrito por B x y z 1 z 0 x 0 e y 0 na direção do vetor unitário normal exterior Exercício 25 O campo magnético gerado por uma carga na origem é dado por Fxyz q xi yj zk x² y² z²³ a Mostre que o fluxo do campo F através de qualquer esfera centrada na origem de raio r 0 na direção do vetor unitário normal exterior é igual 4 q π b Mostre que a igualdade estabelecida no teorema da divergência não se verifique no cálculo do item a Por quê Exercício 26 Considere a superfície σ como sendo a porção do gráfico da função fxy 1 x² y² delimitada pelos planos x 0 e y 0 e pela elipse 3x² 2y² 1 a Obtenha uma parametrização para o bordo de σ orientado positivamente b Use a definição para calcular a integral de linha do campo vetorial Fxyz yi xj k sobre do bordo de σ orientado positivamente c Use o teorema de Stokes para calcular a integral de linha do campo vetorial F xyz yi xj k sobre do bordo de σ orientado positivamente Exercício 27 Use o teorema de Stokes para calcular a integral de linha do campo vetorial F xyz y2 i z2 j x2 k sobre do bordo de σ orientado positivamente sendo σ a porção do plano xyz3 contido no primeiro octante de R3 Exercício 28 Use o teorema de Stokes para calcular a integral de linha do campo vetorial F xyz yi zj 2k sobre do bordo de σ orientado positivamente sendo σ a porção do paraboloide z3x2 y2 contido dentro do cilindro x2 y2 1 Exercício 29 Considere a superfície σ como sendo uma porção do plano 2x 2y z2 orientada positivamente com área igual a 3 e cuja fronteira é uma curva simples fechada regular Calcule a integral de linha do campo vetorial F 2yi 3zj xk sobre a fronteira de σ Exercício 30 Considere a superfície σ como sendo uma porção do plano 2x 2y 2z 3 contido no cubo unitário 01 x 01 x 01 Calcule a integral de linha do campo vetorial F xyz y2 z2 i z2 x2 j x2 y2 k sobre a fronteira de σ orientada negativamente em relação a normal η σu Λ σv σu Λ σv Exercício 31 Considere o campo vetorial F xyz yi x yk definido em R3 Para cada uma das superfícies dadas abaixo calcule usando o teorema de Stokes a integral de superfície σ rot F η dS sendo η a normal apontando para cima e a σuv ui vj 2 u2 v2 k com uv K u2 v2 1 b σuv ui vj u2 v2 k com uv K u2 v2 1 c σ uma superfície arbitrária com bordo descrito por αt cost sent 1 t 0 2π 5 REFERˆENCIA BIBLIOGRAFICA 1 Guidorizzi H L Um curso de Calculo Volumes 2 e 3 5ª edicao Livros Tecnicos e Cientıficos Editora Rio de Janeiro 2002 2 Stewart J Calculo Volume II 5ª edicao Thomson Learning Sao Paulo 2007 3 Thomas GB Calculo Volume 2 10ª edicao Addison Wesley Sao Paulo 2003 4 A A Silva e M P Matos Calculo de Varias Variaveis Parte I Disponıvel em http wwwmpmatoscombrCalculo2TextoParte20Ipdf Acessado em 20 de julho de 2020 5 A A Silva e M P Matos Calculo de Varias Variaveis Parte II Disponıvel em http wwwmpmatoscombrCalculo3TextoParte20IIpdf Acessado em 20 de julho de 2020