Exercício Resolvido - Teorema de Green - Cálculo 3 2021-2

ex. Calcule \oint_C (3y - e^{sen \pi y})dx + (7x + \sqrt{y^4 + 1})dy \ \ \ \ \ onde \ C e \ a \ curva \ constituida \ pelos \ segmentos \ de \ reta \ de (0,0) \ a \ (1,0), \ de \ (1,0) \ a \ (0,1) \ e \ de \ (0,1) \ a \ (0,0). Teo. \ Green: \ \ \ \ \ \oint_{C} (Ldx + Ndy) = \iint_{D} \left( \frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}\right) dA D \oint_{C} (3y - e^{sen \pi y})dx + \left(7x + \sqrt{y^4 + 1}\right)dy = \iint_{D} (7 - 3)dA = \iint_{D} 4 dA = \iint_{D} \ dA = 2. ex. Calcule \oint_{C} y^2 dx + 3xydy, \ \ \ \ \ \ \ onde \ C \ e \ a \ fronteira \ da regiao \ D \ contida \ no \ semiplano \ superior \ \ entre \ os circulos \ x^2 + y^2 = 1 \ e \ x^2 + y^2 = 4. Pelo \ \ Teo. \ de \ Green \oint_{C = \partial D} y^2 dx + 3xydy = \iint_{D} 3y - 2y dA = \iint_{D} y dA = \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ usando \ coord. \ polares \int_{0}^{\pi} \int_{1}^{2} r^2 sen \theta drd\theta = \int_{0}^{\pi} sen\theta d\theta, \ \ \ \int_{1}^{2} r^2 dr = \frac{14}{3} Encontre \ o \ Trabalho \ realizado \ pelo \ campo \ de forcas \ \ \ F(x,y) = (x^2 + y)i + (4x - cos y)j \ \ \ em \ uma \ particula \ que percorre \ uma \ vez \ a \ fronteira \ da \ regiao \ R_1, \ ilustrada \ na \ figura \ abaixo: \oint_{C_e} (x^2 + y)dx + (4x - cos y)dy + \oint_{C_i} (x^2 + y)dx + (4x - cos y)dy R_1* = C_l R_2 * y_2 * C_i R_1 * y_1 W = \oint_{\partial R_1} (x^2 + y)dx + (4x - cos y)dy + \oint_{\partial R_2} (x^2 + y)dx + (4x - cos y)dy = \iint_{R_1} 4 - 1 dA + \iint_{R_2} 4 - 1 dA = 3 \iint_{R} dA = 69. ex. Calcule \oint_{C} (e^{-x} + 3y)dx + xdy \ \ \ \ \ onde \ C \ e \ a \ fronteira da \ regiao \ D \ delimitada \ pelos circulos \ x^2 + y^2 = 16 e \ \ x^2 + \frac{y^2}{4} = 3, \ orientada \ positivamente. \oint_{C} \left(e^{-x} + 3y\right)dx + xdy = \oint_{\partial D_1} \left(e^{-x} + 3y\right)dx + xdy + \oint_{\partial D_2} \left(e^{-x} + 3y\right)dx + xdy = \iint_{D_1} -2 dA + \iint_{D_2} -2 dA = -2 \iint_{D} dA = -24\pi. ex. Calcule \ a \ area \ da \ regiao \ delimitada \ pela epicoide \ de \ equacoes \ parametricas x(t) = 5\cos t - \cos 5t y(t) = 5 \sin t - \sin 5t 0 \le t \le 2\pi A = \oint_{C} x dy A = \int_{0}^{2\pi} (5\cos t - \cos 5t)(5\cos t - 5\cos 5t) dt = \int_{0}^{2\pi} 25\cos^2 t - 30\cos t \cos 5t + 5\cos^2 5t \ dt = 25 \int_{0}^{2\pi} \cos^2 t dt + 5 \int_{0}^{2\pi} \cos^2 5t dt - 30 \int_{0}^{2\pi} \cos t \cos 5t \ dt = 25\pi + 5\pi + 0 = 30\pi.