Lista 3 - Cálculo 3 2021-2

Universidade Federal de Sao Carlos C3 - Profs. Humberto e Luiz 3” Lista de Exercicios 1) Usando o Teorema de Green, determine a area de um pentégono com vértices (0, 0), (2, 1), (1, 3), (-5, >) e (-1,1). 2) Utilize o Teorema de Green para encontrar pra ds e pF-7 ds, Y Y onde 0 campo F é dado por F(x, y) = (x + 3y,2x — y) e acurva é uma a elipse centrada na origem com vértices (V2, 0), (— V2, 0), (0, J e 0, -1. 3) Suponha que uma fun¢ao nao negativa y = f(x) tenha uma derivada de ordem um continua em [a,b]. Seja y a fronteira da regiao do plano xy limitada abaixo pelo eixo x, acima pelo grafico de f e dos lados pelas retas x = ae x = b. Mostre que b { f(x) dx = - py dx. a Y 4) Encontre o trabalho realizado por F para mover uma particula no sentido anti-hordrio ao redor da curva dada uma unica vez. a) F(x, y) = (2xy>, 4x’y”) e a curva € a fronteira da regido triangular no primeiro quadrante delimitada superior- mente pelo eixo x, aretax = 1 eacurvay = x, b) F(x, y) = (4x - 2y, 2x — 4y) e acurva é a circunferéncia com raio 2 centrada em (2, 2). 5) Calcule a integral { F - dr. Y (a) Fx, y) = Gey? x4y°) e x() = (Vit, 1 + 8), com r € [0, 1]. (b) F(x, y) = (e?”, 1 + 2xe”) e y(t) = (te’, 1 +1), com t € [0, 1]. 6) Mostre que rotF = () para qualquer campo vetorial da forma — F(x, y,z) = (f(x), gy), A(z), onde f, g,h sao diferenciaveis. 7*) Calcule y x ————dx + ——d > x? + y? * x? + y? y onde y é a curva ’oito” abaixo. y ry ax 1