Lista de Exercícios - Cálculo 3 - Teorema de Green - UFSCar

Universidade Federal de São CarlosDepartamento de Matemática 89303Cálculo 3 Lista 8 Profa Alessandra Verri Exercício 1 Calcule a integral de linha utilizando o Teorema de Green considere as curvas com orientação positiva a Cx ydx x ydy C é o círculo de centro na origem e raio 2 b C xydx x³y³dy C é o triângulo de vértices 00 10 e 12 c C eʸdx 2xeʸdy C é quadrado de lados x 0 x 1 y 0 e y 1 d Cy exdx 2x cos y²dy C é a fronteira da região englobada pelas parábolas y x² e x y² e C y³dx x³dy C é o círculo de centro na origem e raio 2 Exercício 2 Use o Teorema de Green para calcular C F dr verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema a Fx y x y³ x² y C consiste no arco da curva y sen x de 00 a π 0 e no segmento de reta π 0 a 0 0 b Fx y y² cos x x² 2ysen x C é o triângulo de 0 0 a 2 6 a 2 0 a 0 0 c Fx y eˣ x²y eʸ xy² C é a circunferência x² y² 25 orientada no sentido horário d Fx y y lnx² y² 2 arctanyx C é a circunferência x 2² y 3² 1 orientada no sentido antihorário Exercício 3 Use o Teorema de Green para encontrar o trabalho realizado pela força Fx y xx yi xy²j ao se mover uma partícula da origem ao longo do eixo x até 1 0 em seguida ao longo de um segmento de reta até 0 1 e então de volta à origem ao longo do eixo y Exercício 4 Uma partícula inicialmente no ponto 2 0 se move ao longo do eixo x até 2 0 e então ao longo de uma semicircunferência y 4 x² até o ponto inicial Utilize o Teorema de Green para determinar o trabalho realizado nessa pattícula pelo campo de força Fx y x x³ 3xy² Exercício 5 Usando o Teorema de Green calcule a C ydx xdy x² y² C é a curva fronteira de região determinada pelas curvas y² 2x 2 e x 2 orientada no sentido horário b C x dx y dy x² y² C é a curva y x² 1 1 x 2 percorrida do ponto 1 0 para 2 3 c C y dx x 1 dy x 1² y² C é a curva circunferência x² y² 4 percorrida no sentido horário d C x² y dx x³ dy x² y²² C é a fronteira da região x y ℝ² x 1 y 1 orientada no sentido antihorário Respostas 1 a 8π b 23 c e 1 d 13 e 24π 2 a 43 2π b 16 c 625π2 d π 3 112 4 12π 5 a 2π b 12 ln 13 c 2π d π