Lista de Exercicios Resolvidos - Calculo de Derivadas Parciais de Funcoes Multivariáveis

b fxyx³ 3x² y y³ P12 θ 2π3 c fxyarctg yx P44 ö 23 d fxyx²ln y P51 ö 14 e fxyzx² 3yz 4zy P105 ö231 f fxyz z² exy P123 ö 315 15 Calcule todas as derivadas parciais de segunda ordem a fxyx³ y² c fxyln1 x² y² b fxy ex² y² d fxy 4x² y⁴ y¹ 16 Seja fxy 1x² y² Verifique que a ²x² fxy ²y² fxy 3 x fxy b ²x² 1 y² ²y² 1 y² 4 x² y²² GABARITO LISTA 4 lim hk00 fx h y k fxy fxxyh fyxyk hk 1 a lim hk00 x hy k x y y h x k h² k² lim hk00 h k h² k² 0 b lim hk00 x h y k x y h k h² k² lim hk00 0 h² k² 0 c lim hk00 x h² y k² x² y² 2x y² h 2x² y k h² k² lim hk00 2x h k² 2 k² 2y h² k 4x y h k y² h² h² k² h² k² 0 d lim hk00 x hy k 1 x y h x y k x y h² k² lim hk00 y² h² y h² k 2 x² k² 2 y h k x h k² h² k² lim hk00 1 2 x² y² x hy k h² k² 0 pois lim hk00 1 2x² y² x hy k 1 2x³ y³ e lim hk00 1 2 x² y² z hy k h² k² 0 Segue que f é diferenciável em todo xy 00 ou seja fxy 1 xy é uma função diferenciável e lim hk00 1 x h y k 1 x y h x y² k x y² h² k² lim hk00 r² 2 h k k² x y² x h y k h² k² 0 Segue que f é diferenciável em xy R² y x ou seja fxy 1 x y é uma função diferenciável f lim hk00 x h² y k² x² y² 2 x h 2 y k h² k² lim hk00 h² k² h² k² lim hk00 h² k² 0 2 a Considerando γ₁t t0 e γ₂t 0t temos