P2 - 2023-2

la. Avaliagao de Calculo 2. 27-11-2023 1. Considere a fungao vetorial o : [0,27] > R?, dada por a(t) = (e’cos(t), e'sen(t)). (a) Calcule ||o(t)|| e o/(t), Vt € [0,27]. Determine os "instantes" t € [0,27] tais que a reta tangente a trajetoria de a, no ponto o(t), seja: (i) paralela ao eixo Oy; (ii) paralela ao eixo Oz; (iii) paralela a reta y = 2; (iv) paralela a reta y = —2. (b) Facga um esboco da trajetoria de a (no plano Oxy). Explique seu esboco. 2. Em cada um dos itens a seguir, determine o conjunto dos pontos de continuidade da funcao f. Justifique sua resposta. 2 SS, (x, y) # (0,0), (a) f(@y)=y vere 0, (x,y) = (0,0) ts. x, 0, 0 9 (b) fly) = a, (0.9) # (000) 0, (x,y) = (0,0) 3. Teorema: Se lim(cy)+(2o,y9) A(@, y) = a e limps. g(t) = L, com Im(h) C Dg, entao, lim ey) (@0,yo) G(R(@, y)) = limysa g(t) = L. Assumindo o teorema acima, mostre que 21,2 lim sen(a* +y") _ 1 (xy)>(0,0) a? + y? 4, Considere a funcao f : R? > R dada por 5 x ~ y’, Il(x, y)|| < 3, f(x,y) = —4, ||(x,y)|| > 3 (a) Obtenha curvas de nivel c de f considerando: c = —4, -4<c<5ec=5. Verifique que Im(f) = [—4, 5]. Estude as intersecgoes de Gr(f) com os planos x = 0 e y = 0. Faca um esboco de Gr(f). (b) Considere a curva C = Gr(f)N (plano z = 1). Dé exemplo de uma funcao 7 : R > R® tal que Im(y7) = C. 1