Trabalho 2 - Cálculo 3 2022 1

TRABALHO 2 - CÁLCULO 3 Prof. Ademir Orientações • O trabalho deve ser entregue até o dia 24/08. • Justifique as respostas de cada exercício e exponha seus cálculos de forma organizada. 1. Determine se o campo de vetores F(x, y) = (e^y + ye^x)i + (xe^y + e^x)j é conservativo e calcule a integral ∫_C F dr onde C é a curva dada pela equação vetorial r(t) = sen(πt/2)i + ln(t)j, 1 ≤ t ≤ 2. 2. Calcule as integrais de linha abaixo, verifique a orientação da curva. (a) ∮_C arctg(y)dx − y²x/1 + y² dy, onde C é o quadrado formado pelos segmentos de reta ligando (0, 0) a (1, 0), (1, 0) a (1, 1), (1, 1) a (0, 1) e (0, 1) a (0, 0). (b) ∮_C (ycos(x) − xysen(x))dx + (xy + xcos(y))dy onde C é o triângulo de (0, 0) a (0, 4) a (2, 0) a (0, 0). 3. A partir de uma mudança de variáveis adequada, calcule as integrais abaixo. TRABALHO 2 - CÁLCULO 3 (a) ∭_G (y² + z²) dV, onde G é a região envolvida pelo elipsoide x²/4 + y²/9 + z²/25 = 1. (b) ∬_z=0^1 ∬_G x²dV onde G é o cilindro elíptico de equação x² + 4y² = 4 limitado pelos planos z = 0 e z = 1. 4. Determine o trabalho realizado pelo campo de forças F(x, y) = e^−yj − xe^−yj para mover uma partícula de um ponto P = (0, 1) ao ponto Q = (2, 0). Lucas Faustino | meugru.mst 1) Para F ser conservativo, temos a seguinte condição: dM/dy = dN/dx M: e^y + ye^x , N: xe^y + e^x dM/dy = e^y + e^x dN/dx = e^y + e^x como dM/dy = dN/dx , então F é conservativo. Calculando agora a integral de linha: r'(t) = π/2 cos(πt/2)i + 1/t j F(ln(1)) = (e + ln(t)e^(πt/2) )i + (5sin(πt/2) ln(t)e + e^(πt/2) ) j F(ln(1))[t] = ( π/2 cos(πt/2) ) ln e^(π/2)t + ( π/2 cos(πt/2) ) ln e^(π/2)t dt + ∫_2 - e^(πt/2) dt +∫_2 e/t dt ∫_Fd_r = -2 - π/π - 3/4 + 2 + 1444/1000 = -0.3065 // 2) (a) Vamos utilizar o teorema de Green. ∬_R dN/dx - dM/dy = ∫_0^1 ∫_y² / y² + 1 dy dx = ∫_0^1 ∫_y² / y² + 1 dy dx = ∫_y² / y² + 1 dy dx ∫_{0}^{2} -1 dx = -2 1) ∫_{0}^{2} ∫_{0}^{4} y + cos y - cos x - x sin x dy dx = ∫_{0}^{2} \frac{y^2}{2} + sin y - y cos x - y x sin x \Big\vert_{0}^{4} dx = ∫_{0}^{2} 8 + 5 sin 4 - 4 cos x - 4 x sin x dx = 76 - 7,51326 - 3,63718 - 6,96636 = 3,88 3) a) ∫_{0}^{3} ∫_{0}^{2} ∫_{0}^{5} y^2 + 2 dx dy dx = ∫_{0}^{3} ∫_{0}^{2} y^2 + \frac{2}{3} dy dx = ∫_{0}^{3} {2}5y^2 + \frac{125}{3} dx = ∫_{0}^{3} 25y^2 + \frac{125y}{3} dx = 525 = 350.2 = 700 b) ∫_{0}^{7} ∫_{0}^{3} ∫_{0}^{2} x^2 dx dy dz = ∫_{0}^{7} ∫_{0}^{3} \frac{x^3}{3} dy dz = ∫_{0}^{7} \frac{8}{3} dy dz = \frac{8}{3} z \Big\vert_{0}^{4} = \frac{8}{3} 4) Podemos encontrar a seguinte equação de reta: PQ = (2, -1) ⟹ x: 2 + 2t r(t): (2 + 2t) \hat{i} + (-1) \hat{j} y: -1 dr(t): 2 \hat{i} - \hat{j} F(\hat{t}) = e^{2t} \hat{i} + (-2 + 1 - 2t) e^{t} \hat{j}