Anotações - Regiões Multiplamente Conexas - Cálculo 3 2021-2

Regiões Multiplemente Conexas. Seja \( F : \mathcal{U} - \{ p \} \subset \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 \) um campo suave, \( p \in \mathbb{R}^2 \). Considere \( \gamma : [a,b] \rightarrow \mathcal{U} - \{ p \} \) uma curva suave com \( \gamma(a) = \gamma(b) \) com \( p \) no interior de \( \gamma \). Suponha que gostaríamos de usar o Teorema de Green para calcular \( \oint_{\gamma} \vec{F} \cdot d\vec{r} \). 1. Podemos? Não. 2. O que fazer? \mathcal{D} = \text{Região} \,\red{\cdots} \vec{F} = (L, M). Teorema de Green \Rightarrow \oint_{\partial \mathcal{D}} \vec{F} \cdot d\vec{r} = \iint_{\mathcal{D}} \left( \frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y} \right) \, dx \, dy \oint_{\partial \mathcal{D}} \vec{F} \cdot d\vec{r} = \oint_{\gamma} \vec{F} \cdot d\vec{r} + \oint_{\gamma_2} \vec{F} \cdot d\vec{r} + \oint_{\gamma_1} \vec{F} \cdot d\vec{r} - \oint_{\gamma_2} \vec{F} \cdot d\vec{r} = \oint_{\gamma} \vec{F} \cdot d\vec{r} - \oint_{\gamma_2} \vec{F} \cdot d\vec{r} \Rightarrow \oint_{\gamma} \vec{F} \cdot d\vec{r} = \oint_{\gamma_1} \vec{F} \cdot d\vec{r} + \iint_{\mathcal{D}} \left( \frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y} \right) dx \, dy. \text{obs: Se } \frac{\partial M}{\partial x} = \frac{\partial L}{\partial y} \text{ então,} Se \vec{F} \text{ é conservativo} \Rightarrow \oint_{\gamma} \vec{F} \cdot d\vec{r} = \oint_{\gamma_1} \vec{F} \cdot d\vec{r}. Fluxo e Circulação. Queremos "medir" o fluxo do campo \(\vec{F}\) em relação a \(\gamma\). O fluxo é dado pela área do retângulo de base s e altura \((\vec{F}, \vec{n})\), onde o normal é dado por \(\vec{n} = \vec{T} \times \vec{k}\). Fluxo de \( \vec{F} \) através de \( \gamma \) na direção \( \vec{n} \) é \( \int_{\gamma} \langle \vec{F}, \vec{n} \rangle \, ds \). Como calcular essa integral? n = γ' x k = | i j k | | x' y' 0 | | 0 0 1 | = (y', -x', 0) Se F = (L, M) então <F, n> = -Lγ' + Mx', ∫_γ <F, n> ds = ∫_γ L dy - M dx. ← Fluxo Se γ é fechada então ∮_γ <F, γ'> ds = ∮_γ L dx + M dy ← Circulação Suponha possível aplicar o Teorema de Green então: - Fluxo: ∮_γ <F, n> ds = ∮_γ L dy - M dx = ∬_D ∂_y M + ∂_x L dA = ∬_D div F dA - Circulação: ∮_γ <F, γ'> ds = ∮_γ L dx + M dy = ∬_D M_x - L_y dA M_x - L_y = rot F . k = | i j k | | ∂_x ∂_y ∂_z | | L M 0 | = ∬_D <rot F, k> dS. — Teorema de Stokes em R².