Exercícios - Cálculo Numérico 2022 2

Dado o sistema linear $Ax = b$ em que \(A=\begin{pmatrix}-8 & -2 & -1 \\ 1 & 9 & 1 \\ -2 & 1 & -8\end{pmatrix} \quad e \quad b=\begin{pmatrix}0\\ 8\\ -8\end{pmatrix}\) resolva-o pelos métodos iterativos de Jacobi e de Gauss-Seidel, fazendo 5 iterações a partir da solução nula $\mathbf{x}^{(0)}=(0,0,0)$, utilizando a máxima precisão nos cálculos dessas iterações. Depois de calcular essas 5 iterações para cada método, coloque os resultados obtidos arredondando-os para quatro algarismos significativos. Jacobi \(x^{(k)}_1\) \(x^{(k)}_2\) \(x^{(k)}_3\) 1 2 3 4 5 Gauss-Siedel \(x^{(k)}_1\) \(x^{(k)}_2\) \(x^{(k)}_3\) 1 2 3 4 5 Verificar Dado o sistema linear $Ax = b$ em que \(A=\begin{pmatrix}-2.399 & 0.522 & -4.283 \\ 9.26 & 1.27 & 0.745 \\ 5.499 & -8.83 & -3.919\end{pmatrix} \quad e \quad b=\begin{pmatrix}5.169\\ -0.978\\ 2.776\end{pmatrix}\) resolva-o pelo método da Eliminação de Gauss com condensação pivotal, utilizando aritmética de ponto flutuante e quatro algarismos significativos. Não esqueça de arredondar após cada operação aritmética. Depois de resolvê-lo, execute uma etapa de refinamento dobrando os arredondamentos para oito algarismos significativos no cálculo do resíduo. • \(x_1^{(0)}=\) • \(x_2^{(0)}=\) • \(x_3^{(0)}=\) • \(x_1^{(1)}=\) • \(x_2^{(1)}=\) • \(x_3^{(1)}=\) Verificar Resolva o sistema linear correspondente à matriz abaixo \(\begin{pmatrix} 7.9 & -0.59 & \vert & 7.3 \\ -2.9 & 0.92 & \vert & 2.2 \end{pmatrix}\) com três algarismos significativos e condensação pivotal. • \(x_1=\) • \(x_2=\) Verificar Seja p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d o polinômio interpolador dos pontos abaixo: - (-6, 2) - (-2, 1) - (2, -3) - (4, -7) Determine o valor de d com pelo menos 4 casas decimais corretas. Resposta: Verificar A "spline" cúbica dos pontos (-2, 3), (0, 1) e (1, -5) é uma função f(x) = \begin{cases} ax^3 + bx^2 + cx + d & \text{se } -2 \leq x \leq 0 \\ ex^3 + fx^2 + gx + h & \text{se } 0 \leq x \leq 1 \end{cases} Determine os valores de a, b, c, d, e, f, g na forma uma fração em que o denominador é sempre positivo e, no caso de uma fração inteira, igual a 1. - a = - b = - c = - d = - e = - f = - g = - h = Verificar Discretizar e resolver a equação \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} = 0 no quadrado [0,1] \times [0,1] com condição de contorno dada por - T(x,0) = 100\sqrt{x} e T(x,1) = 100\left(\sqrt{x} - 1\right) para 0 \leq x \leq 1; - T(0,y) = -100\sqrt{y} e T(1,y) = 100\left(1 - \sqrt{y}\right) para 0 \leq y \leq 1. Divida o intervalo [0,1] em 3 subintervalos de mesmo comprimento e considere a discretização em que - T_1 é a temperatura no ponto \left[\frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right]; - T_2 é a temperatura no ponto \left[\frac{2}{3}, \frac{1}{3}\right]; - T_3 é a temperatura no ponto \left[\frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right]; - T_4 é a temperatura no ponto \left[\frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right]. Resolva o sistema pelo Método do Escalonamento, fazendo todas as contas com exatamente 7 algarismos significativos. Por exemplo 100\left(\sqrt{\frac{2}{3}} - 1\right) = 100\left(0.8164966 - 1\right) = 100\left(-0.1835034\right) = -18.35034 Respostas: - T_1 = - T_2 = - T_3 = - T_4 = Verificar Considere o sistema linear Ax = b em que A = \begin{pmatrix} 7 & 3 & 2 & 2 & 0 \\ 2 & -8 & -1 & 3 & 2 \\ 3 & 3 & 8 & 1 & 1 \\ -3 & -3 & 0 & -8 & -2 \\ -2 & 0 & -2 & -1 & 5 \end{pmatrix} e b = \begin{pmatrix} -5 \\ 3 \\ 9 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} Resolva esse sistema computacionalmente pelos métodos iterativos de Jacobi e de Gauss-Seidel, começando com a solução x^{(0)} = (0, 0, 0, 0, 0) e utilizando a máxima precisão disponível nos cálculos das soluções iteradas (geralmente o default é precisão de 16 casas decimais). Determine a quantidade mínima de iterações necessárias em cada um desses dois métodos para que duas soluções iteradas consecutivas sejam idênticas até a quarta casa decimal. • Método de Jacobi: _____ iterações. • Método de Gauss-Seidel: _____ iterações. Verificar