Slide - o Método dos Elementos Finitos - 2024-1

MÉTODOS NUMÉRICOS EM ENGENHARIA O Método dos Elementos Finitos Métodos Numéricos em Engenharia APLICAÇÃO DO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS AOS SÓLIDOS Solução de problemas planos superfícies curvas e sólidos tridimensionais Métodos Numéricos em Engenharia GEOMETRIA DE SUPERFÍCIES VOLUMES E CONTORNOS DE SÓLIDOS Métodos Numéricos em Engenharia Triângulos Retângulos TIPOS DE ELEMENTOS FINITOS Para chapas planas ou sólidos com simetria de revolução Tetraedros Hexaedros Prismas Para sólidos com geometria qualquer Triângulos Retângulos Para sólidos com geometrias espaciais específicas Cascas FAMÍLIAS DE ELEMENTOS FINITOS Métodos Numéricos em Engenharia ELEMENTOS ISOPARAMÉTRICOS Geometria do elemento e deslocamentos nodais interpolados com as mesmas funções no mesmo conjunto de pontos Elementos Isoparamétricos Triangulares Retangulares Serendipity Métodos Numéricos em Engenharia Elementos SUPERPARAMÉTRICOS e SUBPARAMÉTRICOS Nos primeiros o número de pontos a definir a forma é maior que o número de pontos para os quais se determinará o valor da grandeza em estudo OBS Nos limitaremos ao estudo dos elementos ISOPARAMÉTRICOS SUPERPARAMÉTRICO SUBPARAMÉTRICO Métodos Numéricos em Engenharia ELEMENTOS ISOPARAMÉTRICOS TRIANGULARES 2 5 4 2 3 2 1 0 y xy x y x u x y 2 5 4 2 3 2 1 0 y xy x y x v x y Métodos Numéricos em Engenharia TRIÂNGULOS PLANOS DE TRÊS NÓS funções interpoladoras para os deslocamentos nodais y x u x y 2 1 0 y x v x y 2 1 0 Obs geometria coordenadas dos pontos nodais e deslocamentos estão associados aos mesmos pontos vértices do contorno do triângulo Métodos Numéricos em Engenharia 2 8 2 7 2 2 6 2 5 2 4 3 2 1 0 y xy x y x y x xy y x u x y xy y x x y u 3 2 1 0 xy y x v x y 3 2 1 0 2 8 2 7 2 2 6 2 5 2 4 3 2 1 0 y xy x y x y x xy y x v x y RETÂNGULOS PLANOS DE QUATRO OU MAIS NÓS Os elementos triangulares contém todos os termos do polinômio interpolador o mesmo não ocorre com os elementos retangulares funções interpoladoras para os deslocamentos nodais Métodos Numéricos em Engenharia ELEMENTOS ISOPARAMÉTRICOS SERENDIPITY O termo Serendipity é uma referência a um conto infantil Persa Os três príncipes de Serendip que conta as aventuras de três príncipes do Ceilão atual Sri Lanka que viviam fazendo descobertas inesperadas cujos resultados eles não estavam procurando realmente Graças às suas capacidade de observação e sagacidade descobriam acidentalmente a solução para dilemas impensados Essa característica tornavaos especiais e importantes não apenas por terem um dom especial mas por terem a mente aberta para as múltiplas possibilidades Vaz LE Método dos Elementos Finitos em Análise de Estruturas Ed Campus Elsevier 2011 httpwwwrecantodasletrascombrensaios2461955 Métodos Numéricos em Engenharia Elemento Serendipity tem pontos nodais apenas no contorno 2 7 2 6 2 5 2 4 3 2 1 0 y xy x y x xy y x u x y 2 7 2 6 2 5 2 4 3 2 1 0 y xy x y x xy y x v x y Condensação estática transforma um elemento com nós internos em elemento com nós apenas no contorno contudo não se tratará de elemento Serendipity Métodos Numéricos em Engenharia As famílias de elementos descritos anteriormente estendemse ao caso dos sólidos Neste caso o mais simples é o TETRAEDRO de quatro nós Família dos sólidos ISOPARAMÉTRICOS Família dos sólidos SERENDIPITY l a n1ξ b1ba n ξ ξ b b1ba n ξ aξ b ξ ξ 1ξ ξ 2 ξ ξ a1ξ ξ a1 ξ ξ n ξ aξ 1ξ aξ 2 ξ aξ a1ξ aξ a1 ξ aξ n Métodos Numéricos em Engenharia ELEMENTOS ISOPARAMÉTRICOS LAGRANGEANOS As funções de forma interpoladoras são definidas através do uso dos polinômios de Lagrange que são dados já na forma paramétrica pela seguinte regra geral com l aξ a1 se ab l aξ a0 se ab Com dois nós faríamos e l 1 1ξ ξ ξ 2 ξ 1ξ 2 ξ 2ξ ξ 2ξ 1 l 2 1ξ ξ ξ 1 ξ 2ξ 1 Semelhantes as utilizadas nos problemas a uma dimensão Métodos Numéricos em Engenharia CHAPAS PLANAS CHAPA Elemento bidimensional plano simétrico com relação ao seu plano médio dimensões de mesma ordem de grandeza no seu plano e ambas muito maiores que a espessura A resultante do carregamento deve obrigatoriamente estar contida no plano médio Métodos Numéricos em Engenharia Os triângulos serão geralmente de três seis e dez nós e os quadriláteros de quatro oito ou nove nós Observase no entanto que as possibilidades vão muito além destas Estudo de CHAPAS PLANAS discretizadas com elementos triangulares ELEMENTOS DE TEORIA DA ELASTICIDADE Métodos Numéricos em Engenharia Admitindo por hipótese material isótropo e homogêneo discutimos a solução da teoria da elasticidade para um estado plano de tensões A equação diferencial de governo para esse problema de valor de contorno é dada por 2 2 2 2 1 y x y V x x y V y y x y x y x x onde Φxy é uma certa função de tensão Vxy é o potencial das ações e α contém a informação sobre propriedades mecânicas OBJETIVO determinar a função de tensão Φxy solução do problema Isso é feito combinando adequadamente funções polinomiais A chapa plana é um problema de estado plano de tensões qv Equação diferencial de governo 0 0 0 0 zx yz z xy y x e Carregamento parabólico distribuído em parte do contorno EXEMPLO DA CHAPA PLANA Métodos Numéricos em Engenharia 0 y y x y x y x x O termo à direita da igualdade é zero porque se despreza o peso próprio A carga distribuída qv integrada na borda livre é equivalente a uma carga concentrada Métodos Numéricos em Engenharia A função de tensão Φxy é obtida combinando polinômios de modo que suas derivadas atendam certas condições de contorno O polinômio desejado combina soluções de problemas específicos para obter soluções de novos problemas Na prática tratase de determinar os coeficientes desses polinômios Na ausência de ação volumétrica Φxy deve atender a condição abaixo 0 2 4 4 2 2 4 4 4 y y x y x y x x y x Esta técnica não é objetivo da disciplina na verdade queremos uma solução numérica que se aproxime desta FUNÇÃO DE TENSÃO Métodos Numéricos em Engenharia Para o problema da chapa em questão a teoria da elasticidade fornece as seguintes distribuições de tensões no contorno 2 2 2 2 2 2 2 2 0 y I c P x y e x I Pxy x xy y x Considerando a lei de Hooke teremos EI Pxy E x x y u x x EI Pxy E y v x y x y 2 2 2 y GI c P G x x y v y x y u xy xy onde E é o módulo de elasticidade ν é o coeficiente de Poisson c é a metade da altura h da chapa e G é o módulo de elasticidade transversal EI PL EI x PL EI Px EI Pxy x y v y IG h P EI PL IG Py EI Py EI Px y x y u 3 2 6 2 2 2 2 6 6 2 3 2 3 2 2 2 3 3 2 Que fornece para y0 o deslocamento vertical do eixo da chapa EI PL EI x PL EI Px v x y 3 2 6 0 3 2 3 Obs A origem do sistema de referência neste caso está a meia altura da chapa e na extremidade livre com o eixo y orientado para baixo Métodos Numéricos em Engenharia Fazendo as operações adequadas obtémse o campo de deslocamentos As expressões obtidas para σx σy τxy εx εy γxy correspondem as componentes do campo de tensões e de deformações respectivamente Para x0 e y0 temos EI PL v 3 3 Métodos Numéricos em Engenharia CHAPA PLANA FUNCIONAL ENERGIA POTENCIAL TOTAL Π W u U u u com Uū energia de deformação e WūΓext o potencial das ações dados em função do campo de deslocamentos ūxy Estado plano de tensões y x x E x u x y 1 x y y E y v x y 1 1 xy xy v x y u x y x y G ch y x t l l Métodos Numéricos em Engenharia ENERGIA DE DEFORMAÇÃO U vol xy xy y y x x vol dV u dV U 2 1 0 onde u0 é a energia de deformação específica e x x E y y E xy xy G Componentes nos estados planos de tensão xy y x t xy y x t de deformação xy z y x t xy z y x t vol x dV E U xy y 2 2 2 1 2 1 2 assim teremos Métodos Numéricos em Engenharia O primeiro elemento plano é o triângulo de três nós Constant Strain Triangle CST com parâmetros nodais de deslocamentos horizontais e verticais As funções aproximadoras para os deslocamentos nodais são lineares em x e y logo suas derivadas que representam deformações resultam constantes 1 2 1 0 2 1 0 f x y y x y x u x y 1 2 1 0 2 1 0 f x y y x y x v x y DEDUÇÃO DO ELEMENTO PLANO TRIÂNGULAR DE TRÊS NÓS Métodos Numéricos em Engenharia Agrupando e ordenando os coeficientes obtemos o seguinte 2 1 0 2 1 0 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 3 3 2 2 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 y x y x y x y x y x y x v u v u v u u n n u v u v u v u x x x x x x y y y y y y x y x y x y x y x y y x x x x x x x y y y y y y x y x y x y x y x y y x A 1 3 3 2 2 1 1 1 2 3 1 2 3 2 1 1 3 3 2 1 2 2 1 3 1 1 3 2 3 3 2 1 2 3 1 2 3 2 1 1 3 3 2 1 2 2 1 3 1 1 3 2 3 3 2 2 1 0 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 com 2 3 1 2 3 1 1 3 3 2 1 2 2 x y x y x y x y x y x y A Métodos Numéricos em Engenharia Reescrevendo na forma matricial os deslocamentos uxy e vxy 0 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 1 1 2 3 3 1 1 2 2 3 3 2 1 3 2 1 3 1 1 1 2 x y x y x y x y x y x y u u x y x y x y y y y y y y u A x x x x x x u 0 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 1 1 2 3 3 1 1 2 2 3 3 2 1 3 2 1 3 1 1 1 2 x y x y x y x y x y x y v v x y x y x y y y y y y y v A x x x x x x v Devemos escrever as derivadas x x y v y x y u y x y v x x y u x x y u x y x y v y y x y u x x y v xy Lembrando que e Métodos Numéricos em Engenharia 3 2 1 2 1 1 3 3 2 3 2 1 1 2 3 1 2 3 2 1 1 3 3 2 1 2 2 1 3 1 1 3 2 3 3 2 0 1 0 u u u y y y y y y u u u x x x x x x y y y y y y x y x y x y x y x y y x x x y u 3 2 1 1 2 3 1 2 3 3 2 1 1 2 3 1 2 3 2 1 1 3 3 2 1 2 2 1 3 1 1 3 2 3 3 2 1 0 0 u u u x x x x x x u u u x x x x x x y y y y y y x y x y x y x y x y y x y x y u 3 2 1 2 1 1 3 3 2 3 2 1 1 2 3 1 2 3 2 1 1 3 3 2 1 2 2 1 3 1 1 3 2 3 3 2 0 1 0 v v v y y y y y y u u u x x x x x x y y y y y y x y x y x y x y x y y x x x y v Calculando as derivadas 3 2 1 1 2 3 1 2 3 3 2 1 1 2 3 1 2 3 2 1 1 3 3 2 1 2 2 1 3 1 1 3 2 3 3 2 1 0 0 v v v x x x x x x u u u x x x x x x y y y y y y x y x y x y x y x y y x y v x y Métodos Numéricos em Engenharia Campo de deformações εxy dado em função do operador em derivadas parciais L e dos deslocamentos u Lu x y v x y u x y y x x x y v y x y u y x y v x x y u xy y x 0 0 Voltando a expressão da ENERGIA DE DEFORMAÇÃO U vol t vol t vol xy xy y y x x dV D dV dV U 2 1 2 1 2 1 Lembrando que D t t Lei de Hooke com D tensor constitutivo Métodos Numéricos em Engenharia Substituindo as expressões conhecidas teremos n vol t t n vol t t vol t u D LF dV LF u u L D Lu dV dV D U 2 1 2 1 2 1 com F dado por 1 2 3 1 2 3 2 1 1 3 3 2 1 2 2 1 3 1 1 3 2 3 3 2 1 2 3 1 2 3 2 1 1 3 3 2 1 2 2 1 3 1 1 3 2 3 3 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 2 1 x x x x x x y y y y y y x y x y x y x y x y y x x x x x x x y y y y y y x y x y x y x y x y y x y x y x A F 0 0 0 0 0 0 2 1 3 2 1 3 2 1 x y N x y N x y N x y N x y N x y N A F onde N1xy N2xy e N3xy são as funções interpoladoras Métodos Numéricos em Engenharia y A x x x A y y A x y x y N x y 2 2 2 2 3 3 2 2 3 3 2 1 As funções interpoladoras e suas derivadas são dadas por y A x x x A y y A x y x y x y N 2 2 2 3 1 1 3 3 1 1 3 2 y A x x x A y y A x y x y x y N 2 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 3 A y y x x y N 2 3 2 1 A x x y x y N 2 2 3 1 A y y x x y N 2 1 3 2 A x x y x y N 2 3 1 2 A y y x x y N 2 2 1 3 A x x y x y N 2 1 2 3 Métodos Numéricos em Engenharia Aplicando o operador de derivadas parciais L temos 0 0 0 0 0 0 0 0 3 2 1 3 2 1 x y N x y N x y N x y N x y N x y N x y y x LF B x x y N y x y N x x y N y x y N x x y N y x y N y x y N y x y N y x y N x x y N x x y N x x y N LF B 0 0 0 0 0 0 3 3 2 2 1 1 3 2 1 3 2 1 Métodos Numéricos em Engenharia 2 1 1 2 1 3 3 1 3 2 2 3 1 2 3 1 2 3 2 1 1 3 3 2 0 0 0 0 0 0 2 1 y y x x y y x x y y x x x x x x x x y y y y y y A B Substituindo os valores na matriz B obtémse Por fim fazemos n vol t n t u B D B dV u U 2 1 com vol t local B DBdV k Considerando a espessura da chapa pequena e valendo t fazemos tA B DB t B DB A B DB dA t k t t área t local Podemos adotar uma espessura unitária e escrever A B DB k t local Métodos Numéricos em Engenharia Desenvolvendo os termos para o estado plano de tensão chegamos a k Local 1 4 A y2 y3 0 x3x 2 0 x3x 2 y 2 y3 y3 y1 0 x1 x3 0 x1 x3 y3 y1 y1 y 2 0 x 2 x1 0 x 2 x1 y1 y2 E 1ν 2 1 ν 0 ν 1 0 0 0 1ν 2 y2 y3 0 y3 y1 0 y1 y2 0 0 x3x 2 0 x1 x3 0 x2x1 x3 x2 y 2 y3 x1 x3 y3 y1 x 2 x1 y1 y2 DLocal E 1ν 2 1 ν 0 ν 1 0 0 0 1ν 2 O tensor constitutivo é dado por Métodos Numéricos em Engenharia POTENCIAL DAS AÇÕES W p d F u p d u W t n t t FUNCIONAL ENERGIA POTENCIAL TOTAL Π F p dV u u B D B dV u W U t n t n vol t t n 2 1 onde y x p p p Com 2 6 6 2 2 1 1 2 6 1 1 6 t t n n t u F u u u F Métodos Numéricos em Engenharia Minimizando o funcional Energia Potencial Total 0 F p dV u u B D B dV u W U t n t n vol t t n 0 local n local n t n vol t f u k F p dV u D B dV B local n local f u k Neste caso a ordem das matrizes e vetores será 6 1 6 1 6 6 local n local f u k A montagem da matriz de rigidez global K e do vetor das cargas nodais equivalentes f da estrutura segue as mesmas estratégias utilizadas para o elemento de viga Métodos Numéricos em Engenharia Montagem do VETOR DE CARGAS NODAIS EQUIVALENTES p d F f t x 0 0 0 0 0 0 2 1 3 2 1 3 2 1 x y N x y N x y N x y N x y N x y N A F onde y x p p p Métodos Numéricos em Engenharia EXEMPLO DE CÁLCULO Chapa plana com L48 cm I144 cm4 E20000 kNcm2 e carga total na extremidade livre igual a 40 kN A teoria da elasticidade fornece o deslocamento vertical do eixo da barra na extremidade livre vx0 y00512 cm Outra condição de vínculo possível permite avaliar a contribuição da força cortante no cálculo final do deslocamento vertical essa contribuição seria de Δv 003 cm Com essa contribuição chegase a um deslocamento vertical total de 0542 cm Métodos Numéricos em Engenharia A solução da teoria técnica da flexão de vigas fornece uma expressão igual para as mesmas condições de vinculação EI PL v 3 3 A teoria técnica da flexão de vigas não permite obter deslocamentos de pontos fora do eixo da viga Em vigas é usual desprezar o efeito da força cortante no cálculo de deslocamentos dada sua pequena contribuição ao resultado final É possível obter a contribuição da cortante nos deslocamentos verticais utilizando métodos de energia Métodos Numéricos em Engenharia Utilizando um programa baseado no Método dos Elementos Finitos a solução do problema anterior forneceu o seguinte resultado Na posição equivalente observase o valor aproximado de cm v 0 50893 Métodos Numéricos em Engenharia FORMULAÇÃO PARAMETRIZADA 31 1 1 l 23 2 2 l e É o mesmo elemento CST com funções interpoladoras lineares y x x y u 2 1 0 y x v x y 2 1 0 1 2 31 1 1 l 1 2 23 2 2 l e Métodos Numéricos em Engenharia Observe que q r p 3 e 2 23 31 1 e l e l q e que 2 3 1 1 3 1 31 y e y x e x l e 2 3 2 1 3 2 23 y e y x e x l e Escrevendo a posição de P na forma paramétrica obtemos 3 2 2 2 1 3 2 2 2 3 1 1 1 3 1 1 3 2 3 1 y e y x e x y e y x e x y e x e p Métodos Numéricos em Engenharia Mas 2 1 ye xe p e assim 3 2 2 3 1 1 3 x x x x x x 3 2 2 3 1 1 3 y y y y y y 2 3 1 2 2 1 1 1 x x x x 3 2 1 2 2 1 1 1 y y y y Ligando o ponto P aos vértices do triângulo se formam três novos triângulos com áreas dadas por 2 2 31 2 2 1 h l A 23 1 1 1 2 1 h l A Sabemos que a área do triângulo é 23 1 31 2 2 1 2 1 l h l h A Métodos Numéricos em Engenharia Obviamente a área total deve ser dada por 3 2 1 A A A A E observando que 1 1 23 23 1 1 1 12 2 1 h l h l A A 2 2 A A Dividindo por A à esquerda e a direita a primeira expressão temos 3 2 1 3 2 1 3 2 1 1 A A A A A A A A Com isso podemos reescrever as expressões de x e y anteriores 3 3 2 2 1 1 x x x x 3 3 2 2 1 1 y y y y Métodos Numéricos em Engenharia Escrevendo os deslocamentos nodais na forma do vetor un temos n n y x y x y x y x y x y x v u v u v u u 2 1 0 2 1 0 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 3 3 2 2 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 n u v u v u v u x x x x x x y y y y y y x y x y x y x y x y y x x x x x x x y y y y y y x y x y x y x y x y y x A 1 3 3 2 2 1 1 1 2 3 1 2 3 2 1 1 3 3 2 1 2 2 1 3 1 1 3 2 3 3 2 1 2 3 1 2 3 2 1 1 3 3 2 1 2 2 1 3 1 1 3 2 3 3 2 2 1 0 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 com 2 3 1 2 3 1 1 3 3 2 1 2 2 x y x y x y x y x y x y A Métodos Numéricos em Engenharia Observese que 3 1 2 2 1 2 1 3 3 1 1 2 3 3 2 0 2 1 x y u x y x y u x y x y u A x y 3 2 1 2 1 3 1 3 2 1 2 1 y u y y u y y u y A 3 1 2 2 3 1 1 2 3 2 2 1 x u x x u x x u A x 3 1 2 2 1 2 1 3 3 1 1 2 3 3 2 0 2 1 x y v x y x y v x y x y v A x y 3 2 1 2 1 3 1 3 2 1 2 1 y v y y v y y v y A 3 1 2 2 3 1 1 2 3 2 2 1 x v x x v x x v A x Métodos Numéricos em Engenharia x u y x x u y x x u y x y u x y y u x y y u x y x y u x y x y u x y x y u A x y u x y 3 1 2 2 3 1 1 2 3 3 2 1 2 1 3 1 3 2 3 1 2 2 1 2 1 3 3 1 1 2 3 2 3 2 1 Substituindo os sucessivos valores dos α e β nas expressões de u e v teremos x v y x x v y x x v y x y v x y y v x y y v x y x y v x y x y v x y x y v A x y v x y 3 1 2 2 3 1 1 2 3 3 2 1 2 1 3 1 3 2 3 1 2 2 1 2 1 3 3 1 1 2 3 2 3 2 1 Agrupando e colocando em evidência os deslocamentos nodais podemos escrever 3 2 1 2 2 1 1 2 1 2 3 3 1 3 1 1 3 1 1 2 3 2 3 3 2 2 3 2 1 yx u x y xy yx xy x y yx u xy x y yx xy x y yx u xy x y yx xy A x y u x y 3 2 1 2 2 1 1 2 1 2 3 3 1 3 1 1 3 1 1 2 3 2 3 3 2 2 3 2 1 yx v x y xy yx xy x y yx v xy x y yx xy x y yx v xy x y yx xy A x y v x y Entre parênteses estão as áreas dos triângulos A1 A2 e A3 com vértice em P de coordenadas genéricas x y 3 3 2 2 1 1 2 1 A u A u A Au u x y 3 3 2 2 1 1 2 1 A v A v A Av v x y Métodos Numéricos em Engenharia Os deslocamentos u e v se escrevem em função dos parâmetros ξ 3 3 2 2 1 1 u u u u x y 3 3 2 2 1 1 v v v v x y e os ξi por y x x x y y x y A x y A A 2 1 2 3 3 2 2 3 3 2 1 1 y x x y x y x y A x y A A 2 1 3 1 1 3 3 1 1 3 2 2 x y x x y y x y A x y A A 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 3 3 com isso podemos escrever o termo genérico ξi 1 1 2 3 2 i j k k j j k k j x y x y y y x x x y i j k A Métodos Numéricos em Engenharia Colocando na forma matricial teremos n Fu v u v u v u v u 3 3 2 2 1 1 3 2 1 3 2 1 0 0 0 0 0 0 O operador de derivadas parciais L se utiliza agora para obter as deformações LFun v u x y y x Lu 0 0 Métodos Numéricos em Engenharia n n LFu Bu Explicitando operações com B dada por x y x y x y y y y x x x x y y x B 3 3 2 2 1 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 1 2 1 3 3 1 3 2 2 3 1 2 3 1 2 3 2 1 1 3 3 2 0 0 0 0 0 0 2 1 y y x x y y x x y y x x x x x x x x y y y y y y A B Novamente considerando a espessura da chapa pequena e valendo t fazemos tA B DB t B DB A B DB dA t k t t área t local Métodos Numéricos em Engenharia Adotando a espessura unitária recuperamos A B DB k t local Estados planos de deformação εz0 e σzcte podem ser resolvidos considerando a seguinte modificação Assan AE y x z A t B D BdA E t k 1 2 com D dada por 0 0 0 1 0 1 D onde 2 1 E E 1 e 2 1 assim Recuperase o estado plano de tensões fazendo E E e k E t 1ν 2 A B t D BdA k E t 4 A1ν 2 B t D B Métodos Numéricos em Engenharia Montagem do VETOR DE CARGAS NODAIS EQUIVALENTES p d F f t x n y x y x y x y x Fp p p p p p p p p 3 3 2 2 1 1 3 2 1 3 2 1 0 0 0 0 0 0 Admitindo variação linear também para a carga distribuída no contorno temos 3 2 1 3 2 1 x x x x p p p p 3 2 1 3 2 1 y y y y p p p p onde y x p p p Métodos Numéricos em Engenharia Explicitando o Vetor de Cargas Nodais Equivalentes p d F F f n t x 1 6 2 6 3 2 1 3 2 1 6 2 3 3 2 2 1 1 3 2 2 2 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 y x y x y x n t p p p p p p p F F 2 1 3 2 1 3 2 1 6 2 3 3 2 2 1 1 3 2 1 3 2 1 0 0 0 0 0 0 y y y x x x n t p p p p p p p F F Métodos Numéricos em Engenharia 2 3 3 2 3 1 2 3 3 2 3 1 2 3 2 2 2 1 2 3 2 2 2 1 1 3 1 2 2 1 1 3 1 2 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 y y y x x x y y y x x x y y y x x x n t p p p p p p p p p p p p p p p p p p p F F Operando chegamos a A integral será executada apenas na parte do contorno de determinado elemento que se encontre carregado p d F F f n t x Métodos Numéricos em Engenharia Considere que apenas o lado l23 está carregado nesse caso teríamos 3 3 1 23 3 0 t n f l F F p d 23 23 3 d l d 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 1 2 1 3 1 3 2 1 2 1 3 1 3 2 1 2 2 3 2 3 23 2 1 2 2 3 2 3 2 1 3 2 3 3 3 2 1 3 2 3 3 3 x x x y y y x x x y y y x x x y y y p p p d p p p d p p p d f l p p p d p p p d p p p d Métodos Numéricos em Engenharia Observe que o carregamento no lado l23 implica em ξ10 portanto 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 3 3 3 2 23 3 3 3 3 2 3 3 3 3 2 3 3 3 3 0 0 1 1 1 1 1 1 x x y y x x y y p p d f l p p d p p d p p d Resolvendose as integrais obtémse 3 2 3 2 3 2 3 2 3 1 6 1 3 1 6 1 6 1 3 1 6 1 3 1 0 0 23 y y x x y y x x p p p p p p p p l f Métodos Numéricos em Engenharia Se o carregamento for uniformemente distribuído em uma direção e nulo na outra teríamos px1px2p e py1py20 então 0 0 0 0 2 1 23 p p l f Recuperamos as DEFORMAÇÕES fazendo LFun v u x y y x Lu 0 0 Métodos Numéricos em Engenharia n Bu v u v u v u x y x y x y y y y x x x 3 3 2 2 1 1 3 3 2 2 1 1 3 2 1 3 2 1 0 0 0 0 0 0 3 3 2 2 1 1 2 1 1 2 1 3 3 1 3 2 2 3 1 2 3 1 2 3 2 1 1 3 3 2 0 0 0 0 0 0 2 1 v u v u v u y y x x y y x x y y x x x x x x x x y y y y y y A Operando obtemos Métodos Numéricos em Engenharia Recuperamos as TENSÕES fazendo 3 3 2 2 1 1 2 1 1 2 1 3 3 1 3 2 2 3 1 2 3 1 2 3 2 1 1 3 3 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 2 v u v u v u y y x x y y x x y y x x x x x x x x y y y y y y A E xy y x onde 2 1 E E 1 e 2 1