Lista - Cálculo Numérico 2022 2

1. Considere a equação f(x) = x^2 - e^{-x} = 0. (a) Mostre que essa equação possui uma única raiz ξ no intervalo [0, 1]. Utilize interseção de gráficos (faça um esboço dos gráficos) para "localizar" essa raiz no eixo horizontal. (b) Obtenha uma aproximação para ξ, efetuando três iterações, e avalie o "erro cometido", utilizando: (b.1) Método da Bissecção. (b.2) Método de Newton, a partir da aproximação inicial x_0 = 0.5. (b.3) Método das Secantes, a partir das aproximações iniciais x_0 = 0 e x_1 = 0.5. 2. Obtenha uma aproximação para o valor de \sqrt{2} utilizando o método do ponto fixo com uma função de iteração "adequada". Faça três iterações e avalie o erro cometido. Sugestão: Como se sabe, \sqrt{2} é a raiz positiva de f(x) = x^2 - 2 = 0. Utilize uma função de iteração da forma \varphi(x) = x + \theta(x)f(x), com \theta(x) = \theta, constante. Escolha a constante θ de modo que a condição de convergencia do método do ponto fixo, |\varphi'(x)| ≤ M < 1, esteja satisfeita no intervalo [1,2].