Slide - Aula 1 - 2024-1

MÉTODOS NUMÉRICOS EM ENGENHARIA Aula 01 Métodos Numéricos em Engenharia Planejamento do curso 1 Histórico Introdução e Métodos de solução 24 horas 11 Introdução Equações diferenciais de governo4 h 12 Programação do Métodos dos Elementos Finitos4 h 13 Métodos de Solução Analíticos e Aproximados4 h 14 Métodos Aproximados formas matriciais4 h 15 Métodos Variacionais e de Resíduos Ponderados4 h 2 O MEF para os estados planos 20 horas 21 Elementos Finitos Planos e Tridimensionais4 h 22 Elementos Finitos para Estados Planos de Tensão e Deformação4 h 23 Matriz de Rigidez para o Elemento Triangular Plano de três nós4 h 24 Solução do sistema de equações cálculo de tensões e deformações4 h 25 Resolução de problemas4 h Métodos Numéricos em Engenharia 3 O MEF aplicado às Vigas 16 horas 31 Matriz de rigidez e carregamentos em elemento de viga4 h 32 Montagem e solução do sistema de equações4 h 33 Movimentos impostos e reações de apoio nos vínculos das vigas2 h 34 Esforços de extremidade de barra fórmulas de EF2 h 35 Resolução de problemas4 h Métodos Numéricos em Engenharia Bibliografia Básica 1 FISH J BELYTSCHKO T Um primeiro curso de elementos finitos LTC 2009 2 ALVES FILHO A Elementos finitos a base da tecnologia CAE Editora Érica 2007 3 CASTRO SOBRINHO AS Introdução ao método dos elementos finitos Rio de Janeiro Ciência Moderna 2006 Bibliografia Complementar 1 COOK RD Finite element modeling for stress analysis New York John Wiley 1995 2 REDDY J An introduction to the finite element method 3ed McGrawHill 2005 3 SORIANO HL Elementos finitos formulação e aplicação na estática e dinâmica de estruturas Rio de Janeiro Ciência Moderna 2009 4 ASSAN AE Método dos elementos finitos 2ed Campinas Unicamp 2003 5 ALVES FILHO A Elementos finitos a base da tecnologia CAE análise dinâmica Editora Érica 2009 Métodos Numéricos em Engenharia ALGUMAS PUBLICAÇÕES IMPORTANTES EM ELEMENTOS FINITOS Métodos Numéricos em Engenharia Serão realizadas três avaliações teóricas e atribuídas três notas N1 N2 N3 e dois trabalhos práticos com as notas NT1 e NT2 A média final M será dada por M 2N12N22N31NT11NT28 O critério de promoção do estudante será Aprovado se M 60 Reprovado se M 50 Com 50 M 60 o estudante será submetido ao regime de recuperação Forma de avaliação Métodos Numéricos em Engenharia Trabalhos a serem desenvolvidos durante a disciplina 1 Programa que resolve para deslocamentos esforços nas barras e reações de apoio qualquer treliça plana eou espacial em regime elásticolinear 2 Programa que resolve para deslocamentos deformações e tensões em elementos triangulares em tensão plana e reações de apoio no regime elásticolinear A primeira entrega será na 10ª semana e a segunda entrega na 15ª semana Os trabalhos serão em grupo de no máximo dois alunos e a eles será atribuída uma nota única No caso de número ímpar de alunos será admitido apenas um único grupo com três alunos Métodos Numéricos em Engenharia Elaborar as rotinas para montar as matrizes de rigidez locais para os dois tipos de elemento o de treliças planas eou espaciais e os triângulos de deformação constante para os estados planos de tensão e de deformação As rotinas elaboradas deverão ser inseridas no programa fornecido para que este seja capaz de resolver os problemas de exemplo para os dois trabalhos propostos A entrada de dados poderá ser simplificada e editada na forma de um arquivo texto dispensando a elaboração de rotinas para essa finalidade O grupo entregará um relatório contendo apenas a listagem das rotinas elaboradas e os resultados produzidos pelo programa com suas rotinas incorporadas para no mínimo dois exemplos de treliça uma plana e outra espacial e dois exemplos de estados planos de tensão e de deformação Compare seus resultados com os obtidos através de outro programa NX Ansys Abaqus etc Trabalhos de programação Métodos Numéricos em Engenharia Para elaborar os programas deverão ser utilizados os seguintes recursos Compilador Intel Fortran 2º one API Base Toolkit 3º one API HPC Toolkit 1º Ambiente para desenvolvimento Visual Studio 2019 ATENÇÃO Instale os programas exatamente na ordem abaixo Situações omissas serão discutidas entre o interessado e o professor httpswwwintelcomcontentwwwusendeveloperarticlesnewsfreeintelsoftwaredevelopertoolshtml httpsvisualstudiomicrosoftcomptbrvsolderdownloads Obs Embora existam versões mais recentes dos programas acima a combinação sugerida depois de testada parece livre de bugs por ser mais antiga Métodos Numéricos em Engenharia CRIAÇÃO DO ESPAÇO DE PROJETO NO VISUAL STUDIO Métodos Numéricos em Engenharia A2022MFAF90 Métodos Numéricos em Engenharia PROCEDIMENTO Uma vez aberto o espaço de trabalho a tela anterior se apresentará vazia assim como a lista de arquivos com a extensão f90 Utilizando o menu Projeto na opção Adicionar item existente selecione todos os arquivos com a extensão f90 que estão no pacote de fontes fornecido Nesse pacote apenas faltam os arquivos que você deverá desenvolver As rotinas a serem desenvolvidas correspondem às matrizes de rigidez locais para os elementos de treliça plana e espacial e para o elemento triangular de três nós para estados planos de tensão e deformação Os nomes dessas rotinas deverão ser obrigatoriamente rtrel e rplan Os arquivos fonte f90 não precisam necessariamente ter os mesmos nomes embora seja uma prática adotada no programa fornecido Métodos Numéricos em Engenharia SUBROUTINE rtrelndimenpoinndofnmetotmpmaxnmatsnproptmatscoordinclc ilmathelocielem Algumas variáveis já foram definidas antes de chegar às suas rotinas são elas ndime 1 para problemas 1D 2 para 2D e 3 para 3D npoin número de pontos nodais do problema ndofn número de graus de liberdade de cada ponto nodal metot número total de elementos computados na malha npmax número de pontos do elemento 2 para treliças e vigas e 3 para o CST nmats número de materiais na estrutura nprop número de propriedades dadas para os materiais tmats matriz que contém todas as informações de propriedades de materiais coord matriz que contém todas as coordenadas nodais inclc matriz que contém todos os dados de incidência de cada elemento ilmat vetor que contém o tipo de material atribuído a cada elemento ielem número do elemento para o qual se está calculando a rigidez local Métodos Numéricos em Engenharia SUBROUTINE rtrelndimenpoinndofnmetotmpmaxnmatsnproptmatscoordinclc ilmathelocielem As rotinas demandarão novas variáveis que deverão ser declaradas como inteiras ou reais a serem adicionadas às declarações já existentes Os comandos e a lógica de programação é semelhante à de outras linguagens de programação No FORTRAN 90 o símbolo indica que o comando continua na próxima linha e o indica que o que segue é apenas comentário SUBROUTINE rplanndimenpoinndofnmetotmpmaxnmatsnproptmatscoordinclc ilmatcgielem As rotinas a serem desenvolvidas devem retornar para o programa principal as variáveis heloc no primeiro caso e cg no segundo caso elas correspondem às matrizes de rigidez locais respectivamente para treliças planas e espaciais e triângulos de deformação constante de três nós para estados planos de tensão ou deformação Métodos Numéricos em Engenharia As rotinas a serem desenvolvidas são chamadas pelo programa fornecido através do comando CALL e deverão conter obrigatoriamente o seguinte SUBROUTINE rtrelndimenpoinndofnmetotmpmaxnmatsnproptmatscoordinclc ilmathelocielem IMPLICIT INTEGER4 az INTEGER4 inclcmetotmpmaxilmatmetot REAL8 coordndimenpointmatsnmatsnprophelocndofnmpmaxndofnmpmax RETURN END SUBROUTINE rplanndimenpoinndofnmetotmpmaxnmatsnproptmatscoordinclc ilmatcgielem IMPLICIT INTEGER4 az INTEGER4 inclcmetotmpmaxilmatmetot REAL8 coordndimenpointmatsnmatsnpropcg66 RETURN END A matriz de rigidez de treliça heloc alocará espaço de memória dinamicamente porque pode ser 1D 2D ou 3D No caso do elemento triangular de três nós para estados planos a matriz é a cg e será sempre 6 X 6 Métodos Numéricos em Engenharia Formato do arquivo de dados de entrada O manual com as informações para criar o arquivo de dados bem como alguns exemplos de arquivos de dados estão na pasta de nome DADOS Não é necessário usar um gerador de malhas para gerar os arquivos de dados de entrada contudo isso pode ser feito utilizando programas próprios para isso como o Gmesh ou o Paraview O programa que usaremos pode usar a interface gráfica GID na versão 12011 para gerar o arquivo de dados de entrada e para efetuar o pósprocesso gráfico para alguns resultados Ela pode ser obtida no seguinte link httpsdownloadsgidsimulationcomGiDOfficialVersionsWindowswinx64Old Métodos Numéricos em Engenharia MÉTODOS NUMÉRICOS HISTÓRICO E MOTIVAÇÃO Problemas de engenharia geralmente são postos na forma de equações matemáticas cuja solução analítica não é por vezes viável daí a necessidade de soluções numéricas aproximadas Métodos numéricos existem praticamente desde os primórdios da matemática A placa ao lado encontrada na região da antiga Babilônia por exemplo mostra um método numérico para calcular a raiz de 2 Fonte Wikipedia Métodos Numéricos em Engenharia Os computadores e a prova matemática da validade dos muitos métodos existentes permitiu sua aplicação a muitas áreas do conhecimento Diferenças Finitas MDF Método mais antigo provavelmente introduzido por Euler no século XVIII Elementos Finitos MEF Courrant em 1943 Elementos de Contorno MEC Solução de problemas de campos potenciais por equações integrais de contorno Sistematizado por Brebbia na década de 70 Volumes Finitos MVF Evolução do MDF Pontos Finitos MPF Exemplo de método sem malha Métodos Numéricos em Engenharia Desenvolvimento de alguns programas famosos Um dos primeiros programas efetivamente usado pelos engenheiros era de livre uso e foi desenvolvido por E Wilson na década de 60 nessa época ainda não era reconhecido o valor comercial de programas para computador A Nasa em 1965 iniciou o desenvolvimento de um programa baseado em EF que recebeu o nome de NASTRAN também de domínio público Os mentores desse programa fundaram uma empresa que passou a comercializar esse programa Na mesma época em 1969 saindo da Westinghouse um de seus engenheiros fundou uma empresa que lançou no mercado o programa ANSYS Posteriormente em 1989 surgiu o LSDyna desenvolvido a partir de trabalhos do Livermore National Laboratory e depois o pacote ABAQUS em 1978 criado por uma empresa chamada HKS e adquirido depois pela Dassault Systemes Métodos Numéricos em Engenharia Fluxograma para a resolução de problemas típicos usando um programa de computador Podem ser inseridos diversos tipos de programas desde que as interfaces estejam adequadamente preparadas As interfaces são basicamente arquivos de dados que contém a informação necessária ao passo seguinte Objeto principal do desenvolvimento da disciplina Métodos Numéricos em Engenharia Exemplos de resultados típicos obtidos por Métodos Numéricos Sólidos Fluidos PROCESSO DE CONFORMAÇÃO DE LÂMINAS METÁLICAS VIA MEF Métodos Numéricos em Engenharia CONFORMAÇÃO DE UMA LÂMINA DE POLÍMERO Métodos Numéricos em Engenharia EXTRUSÃO DE UMA LIGA METÁLICA EM CANAL ANGULAR Métodos Numéricos em Engenharia Métodos Numéricos em Engenharia EXEMPLO DE UMA BARRA SOB AÇÃO VOLUMÉTRICA AXIAL Balanço de forças d dx σ x Ax f xA x X A equação constitutiva lei de Hooke a uma dimensão é σx E dU x dx 0 d A dA fAdx A Métodos Numéricos em Engenharia Desejase obter a função de deslocamentos Ux solução dessa equação d dxEAx dUx dx f x Ax EQUAÇÃO DIFERENCIAL ORDINÁRIA EDO para o problema εij1 2 Ui x j U j xi Substituindo a lei constitutiva na equação de balanço vem Com Ux calculamos as deformações infinitesimais E por último as tensões σ ijCijkl ε kl A Teoria da Elasticidade permite a solução direta exequível apenas para problemas de geometria mais simples Exemplos de Equações Diferenciais de governo para alguns casos Forma geral a uma dimensão f U dx dU dx d Problema da condução de calor A T hl Q A T hl dx dx k dT d Problema da Elasticidade f dx dx E du d Forma geral a duas dimensões f U y U y x U x y x Métodos Numéricos em Engenharia Métodos Numéricos em Engenharia EXEMPLO SIMPLES Barra com seção transversal de área A e peso específico γ constantes onde f x é a força por unidade de volume da barra Se f x cte f x γ é o peso específico d dxEAx dU x dx f xAx Com AX A cte temos d dxEA dUx dx f x A Métodos Numéricos em Engenharia ELEMENTO DE BARRA DE TRELIÇA NO PLANO TRELIÇA PLANA Sistema estrutural formado por elementos do tipo barra vinculados entre si em extremidades articuladas 1 Só pode ser solicitada por ações externas aplicadas diretamente aos nós 2 Os vínculos com a chapa terra devem ser através dos nós 3 Geralmente as barras tem seção constante entre nós de extremidade Métodos Numéricos em Engenharia Considerando inicialmente a barra em equilíbrio f1 f2 f 2 f 1 como σ ε E σ f 1 A ε Δ L L u2u1 L então f 1 A u2u1 L E e f 1 EA L u1u2 f 2 EA L u2u1 analogamente obtemos que podemos escrever na forma matricial EA L 1 1 1 1 u1 u2 f 1 f 2 Métodos Numéricos em Engenharia Barra de seção constante 1 1 1 1 l EA k L Em uma dimensão 0º 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 EA k L No plano xy 0º T k R k R Obs R é uma matriz de rotação Métodos Numéricos em Engenharia Matriz de rotação R entre os sistemas local xy e global xy R e cosα sen α 0 0 senα cosα 0 0 0 0 cosα sen α 0 0 senα cosα a b x x y y A transformação deve ser aplicada a todas as barras da treliça Métodos Numéricos em Engenharia INCIDÊNCIA CINEMÁTICA posiciona parâmetros de deslocamentos locais nas posições globais que lhes corresponde e e g u L u 1 2 3 4 1 2 18 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 e e e e u u u u u u u Le é matriz de incidência cinemática Métodos Numéricos em Engenharia Montagem do sistema global de equações nelem i e T e nelem i e x x e e eT L k L B EA x B dx L L K e e T 1 1 2 1 nelem i T e nelem i x x eT eT f L f x A x dx N L F e e 1 1 2 1 E finalmente K U F O sistema de equações pode ser resolvido com o uso de vários algoritmos Métodos Numéricos em Engenharia ELEMENTO FINITO DE BARRA RETA DE TRELIÇA PLANA Deduzimos a matriz de rigidez dos elementos de barra retos e de seção constante com dois nós a uma dimensão e no plano 1 1 1 1 l EA k L 0º 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 EA k L 0º T k R k R Métodos Numéricos em Engenharia Construção e características da matriz de rigidez de uma estrutura 1 Simétrica 2 Definida positiva 3 Dimensão é o produto do número de nós pelos seus graus de liberdade K K 11 K 12 K 13 K 14 K 15 K 16 K 17 K 18 K12 K 22 K 23 K 24 K 25 K 26 K 27 K 28 K13 K 23 K 33 K 34 K 35 K 36 K 37 K 38 K14 K 24 K 34 K 44 K 45 K 46 K 47 K 48 K15 K 25 K 35 K 45 K 55 K 56 K 57 K 58 K16 K 26 K 36 K 46 K 56 K 66 K 67 K 68 K17 K 27 K 37 K 47 K 57 K 67 K 77 K 78 K18 K 28 K 38 K 48 K 58 K 68 K 78 K 88 A região entre as linhas é a semibanda da matriz l BMAX Nó final Nóinicial 1Número de graus de liberdade Métodos Numéricos em Engenharia Graus de liberdade e condições de contorno K K 11 K12 K 13 K 14 K 15 K 16 K 17 K18 K12 K 22 K 23 K 24 K 25 K 26 K 27 K 28 K 13 K 23 K 33 K 34 K 35 K 36 K 37 K 38 K14 K 24 K 34 K 44 K 45 K 46 K 47 K 48 K 15 K 25 K 35 K 45 K 55 K 56 K 57 K58 K16 K 26 K 36 K 46 K 56 K 66 K 67 K 68 K 17 K 27 K 37 K 47 K 57 K 67 K 77 K 78 K 18 K 28 K 38 K 48 K 58 K 68 K 78 K88 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 Para resolver o problema dos deslocamentos basta retirar linhas e colunas correspondentes aos graus de liberdade onde os deslocamentos são nulos Métodos Numéricos em Engenharia CÁLCULO DAS REAÇÕES DE APOIO para facilitar o raciocínio montamos blocos com reações de apoio a determinar e blocos com as incógnitas de deslocamentos de modo que 0 D DD DR R RD RR f D K V K R f D K V K Com a primeira equação e conhecido D obtémse as reações R R RD f D K R Da segunda equação com deslocamentos V0 e conhecido f obtémse D f KDD D Métodos Numéricos em Engenharia CÁLCULO DOS ESFORÇOS NAS BARRAS depende dos deslocamentos dos nós de extremidade selecionados dentro dos resultados globais e da matriz de rigidez de cada elemento Obtémse N local e k local e ulocal e É necessário recuperar os esforços axiais nas barras utilizando a matriz de rotação novamente N local e Rlocal e N local e