Slide - Aula 2 - Métodos de Solução - 2024-1

MÉTODOS NUMÉRICOS EM ENGENHARIA Aula 02 Métodos Numéricos em Engenharia MÉTODOS DE SOLUÇÃO MÉTODO VARIACIONAL Tradicionalmente na Mecânica de Sólidos Existência de um funcional de energia para o problema Energia Potencial Total Princípio dos Trabalhos Virtuais MÉTODO DOS RESÍDUOS PONDERADOS Métodos Numéricos em Engenharia FUNCIONAL ENERGIA POTENCIAL TOTAL Π U W Onde U é a ENERGIA DE DEFORMAÇÃO Energia armazenada pelos corpos durante as deformações Depende da energia de deformação específica por unidade de volume u0 e W é o POTENCIAL DAS AÇÕES EXTERNAS V uodV U u q d n n V W x b x u x dV k u x t f u x t Métodos Numéricos em Engenharia ENERGIA DE DEFORMAÇÃO U ENERGIA DE DEFORMAÇÃO ESPECÍFICA POR UNIDADE DE VOLUME u0 dV dU d u n i i i 0 1 0 V uodV U 0 dU u dV Na região elásticalinear u0 é a soma da área dos triângulos para cada componente de tensão assim 0 1 2 x x y y z z xy xy yz yz zx zx u Métodos Numéricos em Engenharia Contribuição das componentes na ENERGIA DE DEFORMAÇÃO U Acréscimo de energia de deformação dU 2 1 dV dU x x x dV dU y y y 2 1 dV dU zx zx zx 2 1 1 2 x y zx x x y y z z xy xy yz yz zx zx dU dU dU dU dV Integrando dos dois lados teremos dV U ij ij V 2 1 V V dV x E x dV x x U 2 2 1 2 1 A uma dimensão fica Métodos Numéricos em Engenharia u q d n n V W x b x u x dV k u x t f u x t POTENCIAL DAS AÇÕES EXTERNAS Wx A integral a direita da igualdade é o trabalho realizado pelas ações de volume Ex peso próprio A segunda e terceira parcelas são ações Гq e deslocamentos Гu impostos condições de contorno em forças eou deslocamentos onde tn é o versor na direção de condições impostas a partes do contorno Métodos Numéricos em Engenharia INCREMENTO DA ENERGIA DE DEFORMAÇÃO TOTAL U com temos assim e u0δ u0 0 ε σ d ε δ u0 σ δ ε 1 2 δ σ δ ε δ U V δ u0 dV TRABALHO REALIZADO PELAS AÇÕES τ W τ Métodos Numéricos em Engenharia A carga cresce lentamente de 0 até seu valor final linearmente e o potencial das ações é a área sob a curva fu também triangular na região de comportamento elásticolinear τ P 0 u f ud u p INCREMENTO DO TRABALHO EXTERNO DAS AÇÕES τ Resultado análogo δ τ f δ v 1 2 δ f δ v Métodos Numéricos em Engenharia Relações entre os incrementos no trabalho das ações e na energia de deformação acumulada no limite fornece δ τ τ vδ vτ vτ vδ vτ v δ v δ vδ v lim δ v0 τ vδ vτ v δ v d τ v d v δ v δ U U vδ vU v d U v d v δ v δ U δ τ d U v d v d τ v d v Corresponde a igualdade dos acréscimos de U e τ nos termos de primeira ordem CONSERVAÇÃO DA ENERGIA δ U V σ δ ε dV f δ vδ τ Métodos Numéricos em Engenharia RELAÇÃO ENERGIAEQUILÍBRIO Equilíbrios a estável b instável c indiferente Potencial Wy Wa Fy Wb Fy Wc 0 Potencial total Π Πa Fx2 Πb Fx2 Πc 0 d Πx dx 0 x 0 mínimo x 0 máximo Ɐ x inflexão d 2 Πx dx 2 2F 0 2F 0 0 Π x W y Métodos Numéricos em Engenharia PRINCÍPIO DA ENERGIA POTENCIAL MÍNIMA Π x W y Impondose uma variação arbitrária da posição da esfera podemos escrever que δ Πx Πxδ xΠx dx δ x d Π dx δ x 2 Fxδ x 0 Como δx é arbitrário x pode ser o vetor posição espacial por exemplo Então d Π xi d xi 0i Métodos Numéricos em Engenharia Matriz HESSIANA Segunda derivada de Π em relação a posição espacial x H d 2Π xi d xd x H ij d 2 Πxk dxi dx j d 2Π xk dx j dxi Matriz simétrica A segunda variação de Π mostra que a Hessiana também será definida positiva δ 2Π δ xi d 2Π xk dxi dx j δ x j 0 δ 2Π δ xi H δ x j 0 Obs Em problemas onde se considera a nãolinearidade geométrica no processo iterativo a primeira matriz calculada se confunde com a de rigidez usual As matrizes obtidas nas iterações seguintes corresponderão a matriz tangente em cada iteração Métodos Numéricos em Engenharia MÉTODOS APROXIMADOS DE SOLUÇÃO Começa com a escolha de uma solução tentativa ūx para os deslocamentos verticais do eixo da viga que aproxime a solução real da equação diferencial de governo ux E x u x u x Devemos ter u x u x A solução tentativa ūx deve atender as condições de contorno essenciais 0 0 0 0 u x u x e u x L u x L Métodos Numéricos em Engenharia A solução tentativa deve ser simples e fácil de operar Geralmente é uma combinação de funções polinomiais ponderadas por coeficientes de ajuste ui 0 1 1 2 2 i n n u x u x u x u x u x u x SOLUÇÃO TENTATIVA Os coeficientes de ajuste ui devem minimizar o funcional energia potencial total MÉTODOS VARIACIONAIS ou o resíduo Rxu MÉTODOS DE RESÍDUOS PONDERADOS Métodos Numéricos em Engenharia Aplicamos o princípio da mínima energia potencial fazendo Aplicação do PRINCÍPIO DA MÍNIMA ENERGIA POTENCIAL TOTAL A solução tentativa que minimiza Π se obtém ao impor a variação arbitrária δui no entorno das posições ui para em seguida determinar simultaneamente essas posições ui uu x ui δ Πd Π du δ u0 Métodos Numéricos em Engenharia Este princípio permite determinar o conjunto possível de parâmetros ui capaz de manter o equilíbrio com mínima energia assim 1 2 1 2 i i x u u u u u u 0 i x u Minimização do funcional energia potencial total Obs Serão geradas equações em número igual ao dos coeficientes ui Obs A solução do sistema fornece os deslocamentos ui δ Πx0 δ U ux ui δ ui δ W u pk x ui δ ui f f 0 Métodos Numéricos em Engenharia MÉTODOS DE RESÍDUOS PONDERADOS Problemas para os quais não há um funcional de energia determinado Nos casos em que há o resultado é igual ao do método variacional Métodos Colocação subdomínios mínimos quadrados Galerkin O MÉTODO DE GALERKIN Algumas publicações em Elementos Finitos usam apenas este método em lugar dos MÉTODOS VARIACIONAIS alegando a complexidade teórica deste último Se caracteriza por utilizar as mesmas funções interpolantes ϕix para aproximar os deslocamentos ux e uma certa função peso Φx Métodos Numéricos em Engenharia 0 d du x R x u EA x f x A x dx dx 0 d du x u R x u EA x f x A x Erro dx dx Solução aproximada para ux é 1 n i i i u x u x u u x De modo que d du x u R x u EA x f x A x dx dx Ou 1º PASSO EQUAÇÃO DE RESÍDUO Métodos Numéricos em Engenharia 2º PASSO SOLUÇÃO DA FORMA INTEGRAL OU FORMA FRACA 0 0 L d EA x du x f x A x x dx dx dx Integral da equação de resíduo multiplicada por uma função peso arbitrária Φx que se anula nos pontos onde são dadas as condições de contorno essenciais 0 0 x 0 0 u x 0 x L u x L u Deslocamento imposto Métodos Numéricos em Engenharia Método de GALERKIN adotamse as mesmas funções interpolantes ϕi 1 n e e i i i x x w w x 1 n i i i u x u x u u x e i i x x w x i i u x u x u N x 1 1 2 2 n n x w x w x w x 1 1 2 2 n n u x u x u x u x i1 n ui ϕ i xu1 u2 un ϕ 1x ϕ 2x ϕ nx i1 n wi ϕ i xw1 w2 wn ϕ 1x ϕ 2x ϕ nx Métodos Numéricos em Engenharia 0 X X d du x u R x u x dx EA x f x A x x dx dx dx a forma integral fica dx 0 b a x i i x d du x u w EA x f x A x x dx dx As constantes wi desaparecem e na linha fica a função interpoladora ϕix Para cada i há uma equação de resíduo pois u também é função das ϕi 123 i n Integral da equação de resíduos 0 X d EA x du x u f x A x w dx dx dx Métodos Numéricos em Engenharia EXEMPLO Considere o problema de uma barra feita de um certo material de módulo elástico E constante com seção transversal circular com raio variável no comprimento Ax e submetida a seu peso próprio Balanço de forças em x 0 dA A d f x Adx A 0 Ad dA f x A dx f x A A dx d Métodos Numéricos em Engenharia L R x r com 2 2 2 2 x L R L R x A x onde fx é o peso por unidade de volume adotado constante e igual a γ Lembrando a lei de Hooke dx E du x d E A x du x f x A x dx dx Temos ainda que SOLUÇÃO ANALÍTICA 2 2 2 2 2 2 x L R dx x du x L R dx E d Simplificando e integrando dos dois lados da igualdade vem x dx dx dx x du x dx d E 2 2 1 3 2 3 C x dx Ex du x Métodos Numéricos em Engenharia como 0 u x L E L C C E L L u x 6 6 0 2 2 2 2 Impondo a condição de contorno 1 0 0 0 E du x C dx E integrando novamente vem 2 3 x du x dx xdx dx E 2 2 2 2 3 2 x E x u x x u x dx C E E L E x u x 6 6 2 2 A equação dos deslocamentos será E para x0 temos E L u x 6 0 2 então Métodos Numéricos em Engenharia SOLUÇÃO PELO MÉTODO VARIACIONAL Por conveniência adotase a origem do sistema de referência no apoio d EA x du x f x A x dx dx x L L R r 0 0 x u 0 du x L E dx 2 2 2 x L L R A x L x para x 0 ζ 0 x L ζ 1 Coordenada homogênea Métodos Numéricos em Engenharia 2 2 1 1 2 2 x S x S du x U x E x dS dx E dS dx dx Em termos da coordenada homogênea ζ c x b x a u x 2 ENERGIA DE DEFORMAÇÃO 2 u x ax b x c Solução aproximada quadrática 2 2 2 2 2 0 0 2 2 L L E du x E R du x U x A x dx L x dx dx L dx A solução tentativa deve atender a condição de contorno natural 0 0 0 0 0 2 c c x b x a u x Métodos Numéricos em Engenharia assim L x e b a L dx d d u x d dx du x 1 2 1 0 2 2 2 2 2 4 4 1 2 d b ab a L E R x U 1 0 2 2 2 1 0 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 d b a L E R Ld b a L L L L E R U x Métodos Numéricos em Engenharia POTENCIAL DAS AÇÕES u q vol d n n V W x b x u x dV k u x t f u x t Neste problema a densidade volumétrica de carga é constante e equivale ao peso específico do material γ O deslocamento nulo para x0 e a ausência de ação externa no contorno anulam a segunda e a terceira parcelas a direita da igualdade assim L x S A x u x dx dS dx u x x W 0 0 0 1 0 2 2 2 1 0 2 2 2 2 2 1 1 d b a R L Ld b a L L R W x Métodos Numéricos em Engenharia FUNCIONAL ENERGIA POTENCIAL TOTAL W x U x x APLICANDO O PRINCÍPIO DA MÍNIMA ENERGIA POTENCIAL TOTAL 1 0 2 2 2 2 2 4 4 1 2 d b ab a L E R x 1 0 2 2 2 1 d b a L R Minimizar o funcional Π equivale a determinar o campo solução aproximada de deslocamentos u x a b Variações diferenciais arbitrárias nos entornos de a e b respectivamente δa e δb produzem as correspondentes variações diferenciais em U e W e consequentemente no funcional Π x U x W x Métodos Numéricos em Engenharia x a b a b 0 x Isso só ocorrerá quando e a forem simultaneamente nulos 1 2 2 2 0 1 W x R L a b d Lembrando que 1 0 2 2 2 2 2 4 4 1 2 d b ab a L E R x U 0 0 x U u x a b a b W u x a b a b f f E que devemos ter b Métodos Numéricos em Engenharia Aplicando o exposto ao nosso problema temos 1 0 2 2 2 1 0 2 1 0 2 2 2 1 1 4 1 8 2 1 0 d R L d b d a L R E a x 1 0 2 2 1 0 2 1 0 2 2 1 1 2 1 4 2 1 0 d R L d b d a L R E b x Que resulta no seguinte sistema de duas equações a duas incógnitas a e b E L b a E L b a 4 2 1 10 2 1 5 2 2 2 e que fornece E L b E L a 3 6 2 2 resultando na equação uζ x γ L 2 6 E ζ 2 γ L 2 3 E ζ uζ 0 ux0 0 uζ 1 uxL γ L 2 6 E Métodos Numéricos em Engenharia Solução MATRICIAL para o método variacional Consideramos o polinômio linear como solução tentativa x x a u 2 1 Então devemos ter 1 1 1 2 1 u x x u u x 2 2 1 2 2 u x x u u x 2 1 1 2 1 2 1 x u x u x x 2 1 2 2 1 u u x x 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 i x u x u u u u x u x x x x x x obtendo e com Colocando os parâmetros nodais em evidência 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 i x u x u u u x x x x u x u x x u u x x x x x x x x x x x x Métodos Numéricos em Engenharia 1 1 2 2 i u x u x u u x u x De modo que escolhemos com 2 1 2 1 x x x x x 1 2 2 1 x x x x x e que poderemos parametrizar 0 1 1 2 2 i n n u x u x u x u x u x u x SOLUÇÃO NA FORMA DE COMBINAÇÃO DE FUNÇÕES POLINOMIAIS 2 1 1 2 2 1 2 1 i x x x x u x u u u x x x x Agora temos e 1 2 2 1 2 1 1 1 du x ui u u dx x x x x Métodos Numéricos em Engenharia 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 1 1 1 2 2 x i x S x du x u E U x E dS dx A x u u dx dx x x x x ENERGIA DE DEFORMAÇÃO Com área constante A e 2 1 l e x x temos 2 1 2 1 2 2 2 x e x EA U x u u dx l POTENCIAL DAS AÇÕES 2 2 1 1 2 1 1 2 x x i e x x A W x A x u x u dx x x u x x u dx l FUNCIONAL ENERGIA POTENCIAL TOTAL x u U x u W x u Aplicamos a forma matricial ao problema com as seguintes condições Métodos Numéricos em Engenharia APLICANDO O PRINCÍPIO DA MÍNIMA ENERGIA POTENCIAL TOTAL 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 x x e e x x EA A x u u u u dx x x u x x u dx l l 1 2 1 2 0 x u u u u Minimizando o funcional 0 x u U x u W x u 0 x u ocorrerá quando os 12 i i u forem simultaneamente nulos em seguida 2 2 1 1 1 2 2 2 1 2 2 0 2 x x e e x x EA A u u dx x x dx u l l 2 2 1 1 1 2 1 2 2 2 2 0 2 x x e e x x EA A u u dx x x dx u l l Métodos Numéricos em Engenharia Montando as equações na forma de matrizes obtemos 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 1 2 2 1 x x x x x x e e x x x x x x dx dx x x dx u EA A u l l dx dx x x dx 1 2 1 1 1 1 1 1 2 e e u EA Al u l Resolvendo temos F L A u u L EA Ku 1 1 2 1 1 1 1 2 1 2 2 2 L u E Métodos Numéricos em Engenharia Designamos Ni as funções de forma Bi suas derivadas e a parametrização e e e i x x x x l N 1 2 1 1 1 1 e i i l dx dN B FUNÇÕES DE FORMA E SUAS DERIVADAS A UMA DIMENSÃO 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1 a x x x x u x a a a x x x x a x x x x x x Lembrar que e 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 a du x a a a a dx x x x x x x assim 1 2 L x 2 2 2 L L L L x Métodos Numéricos em Engenharia 2 1 1 1 x N 1 2 1 2 x N L dx d x N 1 2 1 1 L dx d x N 1 2 1 2 0 1 x N 0 2 x N FUNÇÕES DE FORMA E SUAS DERIVADAS Forma paramétrica i e e e u x N x u DESLOCAMENTOS E SUAS DERIVADAS i i e e e e e du x dN x u B x u dx dx Métodos Numéricos em Engenharia 2 2 1 1 2 0 x x i i x x du x a EA x dx f x A x u x a dx dx BARRA A UMA DIMENSÃO ui e N 1 N 2 a1 a2 d ui e dx dN 1 dx dN 2 dx a1 a2 As derivadas entram na montagem da matriz 2 2 1 1 0 e e T e e x x T T e e e e e eT x x u B EA x B dx u u N f x A x dx i e e e du x B x u dx Métodos Numéricos em Engenharia Continuando 2 2 1 1 0 e e T e e x x T e e e e eT x x u B EA x B dx u N f x A x dx 2 2 1 1 0 e e T e e x x e e e eT x x B EA x B dx u N f x A x dx E finalmente A integral entre colchetes e a segunda integral definem e e T x x e e EA x B dx B k 2 1 Matriz de rigidez do elemento k e e x x eT f x A x dx N f 2 1 Vetor de forças nodais equivalentes f Métodos Numéricos em Engenharia Aplicando ao cálculo da matriz de rigidez local k para a barra cônica e e e e T x x x x e e dx A x L E EA x N dx N k 2 1 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 x L R L R x A x e e x x dx x L R E k 2 1 1 1 1 1 2 4 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 2 1 1 1 1 8 d d d d L R E k 1 1 2 4 2 1 2 1 1 2 1 1 L d L L R E k 1 1 1 1 3 2 L R E k Métodos Numéricos em Engenharia Desenvolvendo o vetor de forças nodais f 2 2 1 1 2 2 2 e e e e x x eT eT e x x R f N f x A x dx N N x dx L 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 2 4 2 1 2 T R L L f d L Distribuição nodal das forças volumétricas fx mesmas funções de forma 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 f x Substituindo 2 2 3 2 1 2 2 3 2 2 2 1 1 1 1 1 1 16 24 1 1 24 96 1 32 32 15 1 1 1 1 R L R L f d Métodos Numéricos em Engenharia Escrevendo o vetor de ações nodais para o elemento 2 2 1 1 8 3 3 32 3 12 R L R L f Se a barra é formada por apenas um elemento a matriz global K e o vetor global de forças F confundemse com k e f de modo que 0 x T Ku x F com F Ku x Montando o sistema 2 2 1 2 1 1 1 1 1 3 3 12 u R E R L Ku x F u L Da forma como colocamos a referência devemos ter u2 0 logo 2 2 1 3 12 R E R L u L de modo que 2 1 4 L u E Métodos Numéricos em Engenharia Se a área da seção transversal da barra é constante AxA então 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 2 1 L EA d L L EA dx L EA EAN dx N k e e e e T x x x x e e 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 2 e e e e x x eT eT e x x A L f N f x A x dx A N N dx d 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 8 4 1 1 1 1 4 8 1 1 8 8 3 2 1 1 1 d d A L A L A L f d d Resolvendo 1 2 1 1 1 1 1 1 2 u EA A L Ku F u L 2 1 2 L u E