Lista - Exercícios Extras de Implementação - Cálculo Numérico 2022 2

Exercício Extras de Implementação- Cálculo Numérico - 2022.2 1. (Parte da Nota O1) Neste exercício, você deverá implementar os métodos para o cálculo de zeros de função vistos em aula: Bissecção e Newton (Bônus: implemente também o método das secantes.). As implementações devem ser aplicadas ao problema abaixo e comparadas de acordo, no mínimo, com o número de iterações e o tempo de execução, por meio de uma tabela. Para isso, alguns parâmetros de entrada do problema devem variar: mude a tolerância (10−4, 10−5, . . . , 10−8, por exemplo); mude o ponto (intervalo) inicial. É obrigatório que as implementações apresentem 2 critérios de parada, em que um deles seja o número máximo de iterações. (Problema 1, Cengage, 2015.) Problemas que envolvam a quantia necessária para o pagamento de uma hipoteca empregam a seguinte fórmula: A = \frac{P}{i} \left[1−(1+i)^{−n} \right], em que A é o valor da hipoteca, P é o valor de cada pagamento e i é a taxa de juros por período para n períodos de pagamento. Suponha que uma quantia de R$1d1d2000,00 em 30 anos pela hipoteca de uma casa e que o mutuário possa pagar até R$1d1d{0},00 por mês pela casa. Qual deve ser a taxa de juros máxima para que ele possa pagar a hipoteca? Obs1: d1 e d2 são os dois últimos dígitos não nulos de seu RA. Por exemplo, se seu RA é 11200212340, d1 = 3 e d2 = 4. Obs2: repare que n é a quantidade de pagamentos! 2. (Parte da Nota O2) A vazão de água em uma tubulação está relacionada ao diâmetro e à inclinação da tubulação. Concluiu-se que essa relação é da forma V = a_{0} D^{a_{1}} i^{a_{2}}, em que V é a vazão em m³/s, I é a inclinação e D o diâmetro em m. A partir dos dados experimentais explicados na tabela a seguir, determine as constantes a0, a1 e a2 a partir do Método dos Mínimos Quadrados e estime a vazão para alguns valores não tabelados. # Experimento Diâmetro (m) Inclinação (rad) Vazão (m³/s) 1 1 0.001 1.4 2 2 0.001 8.3 3 3 0.001 24.2 4 1 0.01 4.7 5 2 0.01 28.9 6 3 0.01 84.0 7 1 0.05 11.1 8 2 0.05 69.0 9 3 0.05 200.0 (Exercício Extra) Neste exercício, implemente o método de Gauss-Seidel para resolução de sistemas lineares de forma a verificar se que há garantia de convergência em relação aos critérios de linhas e colunas (Bônus: verifique também para Sassenfeld!). Ou seja, a implementação deve conter uma função que avalie se a matriz de coeficientes satisfaz ao menos algum critério. O método deve ser aplicado aos sistemas como eles estão. Mude as aproximações iniciais e analise a convergência de acordo com o fato de haver ou não garantia de convergência para o sistema. É obrigatório que a implementação apresente 2 critérios de parada, em que um deles seja o número máximo de iterações. 1Adaptado de Análise Numérica, R. Burden, D. Faires, A. Burden 2Adaptado de Cálculo Numérico, N.M.B. Franco, Pearson, 2006. ⌒ 0.8964 3.9869 3 0 0 0 1.7820 0 4.4951 0 0 3.2698 3.9396 8.8009 5.9300 4 3.0188 3 0 0.7031 2.1647 7.6908 0 0 2.1976 7.3956 0.7600 0 0 1 0 0 3.9652 6.4914 6.6325 9.8050 0 0 0 3.1286 0 0 2.1647 0.6941 7.0159 0 0 7.5789 6.7871 0 1.1170 0 0 1.0279 6.9427 6.6492 ⌒ 6.5324 -0.7675 3.1178 0 0 0 0 0 1 0 3.3335 0.2649 8.4561 3.1804 0 3.9284 8.3510 0 0.5803 0 0 3.0354 A_1 = ⌒ 0 0 6.1627 0 8.2525 1.6780 8.0526 0 0 0 0.0606 9.0423 3.5403 8.4005 0 0 0.3675 0.7849 0 6.8080 0 0 3.6345 7.9230 0 0.0760 4.0633 0 6.3095 0 0 4.1449 0 0 0 0 2.9911 3.0255 3.4256 1.6893 6.6725 8.6999 7.6908 7.3699 0.5450 5.7747 0 0 0 0 10 0 8.7213 4.7303 3.4061 0 0 0 4.1495 3.3438 0.4277 0 5.1805 4.2596 6.2485 0 0 0.2981 0 0 0 0 2.2517 0 0 1.0750 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2.9351 0 0 0 3.1311 ⌒ 0 0 0 0.3938 0 0 0 0 0 1.4935 8.5917 0 0 0 0 0.3319 0 0 0 0 0 0 0.7518 0 3.9025 8.0265 0 0 0 0 0.0704 0 0 0.4956 1.7182 0 0 3.2588 0 A_2 = 0 0 0.6666 0.7936 7.1552 0 0 0 0 0 0.0453 0 0 9.0277 0 5.0939 2.2250 0 0.3837 0 0 3.2839 7.2636 0 0 0.0971 0.9702 0 0 0 7.5290 0.0239 0 6.522452.6662 0.6811 7.0712 6.9235 0 0 0 2.2399 5.1572 0 0 5.6932 4.9930 0 0 8.4507 0 8.2373 0 0 0 0 0.8454 0 0 0 0 0 0 0.1293 8.2489 0 1.3385 0 0 0 0 0 0 0 0.9184 0 9.9923 4.7570 0 0 0 0 0 0 0 5.2111 0 0 A_3 = ⌒ 0.2569 0 0 0 0 0 0 0 -2.4689 1.0000 0.0628 0 0 0 0 0 0 0.2987 0 1.7183 0 0.0162 0 0 0 1.2705 0.7983 0 0 0 0 5.8006 0 0 0 0 2.0000 0 0 0 0 0 0 0.1562 0.8016 0 0 0 -1.1713 0.3471 0 0.0157 0 0 0 0 -0.2469 0 0.0628 0 0 0 0 0 0 0 1.7338 1.1537 1.4310 0 0 -0.0170 0.8920 0 0 0 0 0 0.7084 0.7477 0 1.4706 1.9147 1.3044 1.9044 47.7426 0.572 0 0 0 0 0 -0.8622 0 0 1.0090 0.9305 - -5.0000 - 0 0 0 0.4322 0.0867 0.1200 0 1.7181 1.2396 0 0.535 0.0180 0.7145 1.0385 69.5018 0.37828 41.6747 0 0 0 0 0 0 0 0.2904 0.6065 0 0.1662 0.1923 0 1.6236 - 0. 0 0 0 0.2244 0 0 0 0 0 0 0.7043 4.6443 6.4942 0 - 0 0 0 1.807 0. 0 0 0 0 8.8812 3.411. 0.671 - 0.0 0 0 0 0 b_1 = 88.812 , b_2 = -36.2505 , b_3 = 15.5389 303.411 7.9086 1.0000 243.651 -47.5686 13.7495 71.717 - 31.6673 20.9198 312.422 -85.2260 -40.9415 242.724 -1.6657 -7.7435 229.552 18.5155 13.7590 203.349 -12.3866 -198905 312.732 -1.0522 -7.7391 46.107 -37.8280 41.6747 271.266 25.8972 60.6419 190.674 -1.6718 -6.9063 85.187 38.7352 -39.3511 63.159 29.2077 14.8931 58.526 31.6011 6.8823