Exercícios de Métodos Numéricos para Engenharia

PLANEJAMENTO MÉTODOS NUMÉRICOS EM ENGENHARIA20251 DATA A ASSUNTO Trab Provas 0204 1 Introdução Motivação Equações Diferencias de Governo para problemas de engenharia Histórico e Programas 0904 2 Métodos de solução aproximados Variacional e Resíduos Ponderados 1604 3 Métodos aproximados de solução Inclusão de nãolinearidade geométrica 2304 4 Métodos aproximados de solução Condução de calor a uma dimensão 7x 3sen π x x0 x1 d²Mx dx² sen π x wx d²Mxdx wx sen π xdx dx² assumindo que a função de peso obedece as mesmas condições de contorno wx d²Mxdx wx dMx dx dx² dx 0 0 dwx dMx dx dwx dMx dx dx dx dx formulação final wx Mx dx wx sen π x dx dx dx 0 0 calculando os integrais 1x² dx 1 4x 4x² dx 0 0 x 2x² 4x³ 3 0 1 1 2 43 13 xx² senπx 1π π² 4π³ 4 π³ 0 Sublinhamos os resultados M₁13 4π³ m₁ 12π³ M₂ 12π³ Solução aproximada Mx 12π³ x x² Mx m0 m1 x m2 x2 Sabese que M0 0 m0 0 e que M1 0 m1 m2 0 assim m1 m2 logo M m x x2 pelo método de galerkin wx seja a mesma forma que Mx wx c x x2 dMdx m 1 2x dwdx c 1 2x Substituindo na equação residual ponderada do método de galerkin c 1 2x m 1 2x dx c x x2 rm π x dx funcionando as constantes em uma só ms 1 2x2 dx x x2 rm π x dx a 3 nós x 2 GL por nó 6 GL logo K e 6 x 6 b São 10 nós com 2GL 20GL assim K e R20x20 c V vetor de deslocamento globais contem os deslocamentos em x e y da estrutura F vetor de forças nodais globais contem as forças aplicadas em cada grau de liberdade d os nó 1 3 9 e 10 tem apoio fixo total de restrições 4 x 2GL 8 8 condições de contorno μx 0 e μy 0 nos nós 1 3 9 e 10 Kc EALe 1 1 1 1 EALe 3000 x 10100 300 kNcm Kc 300 1 1 1 1 K 1 1 0 1 2 1 0 1 1 carga distribuida q x A 0001 x 10 001kNcm Força nodal equivalente por elemento Fe qLe2 11 001 x 1002 11 05 11 Vetor de forças global F 05 05 05 05 05 1 05 aplicando a condição de contorno no nó 1 fixo μj0 eliminase a primeira linha e coluna da K B apenas o nó 1 está livre logo o sistema fica reduzido 2 x 2 Kr 1000 0 0 1000 0 0 0 1000 35355 35355 35355 35355 135355 35355 35355 135355 C F 50 0 0 0 0 0 kN D 135355 35355 35355 135355μ1 N1 50 0 μ1 135355 50 1353552 353552 003693 cm N1 35355 50 1353552 353552 000965 cm elemento 1 l 100 θ 90 elemento 2 l 100 θ 0 elemento 3 l 14142 θ 45 A kc EA L elemento 1 k1 200005 100 1000 kNcm elemento 2 k2 200005 100 1000 kNcm elemento 3 k3 200005 14442 70711 kNcm k1 1000 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 k2 1000 1 0 1 0 0 6 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 k3 70711 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 Sistema reduzido 1 300 2 1 2 1 μ2 05 600 μ2 300 μ3 1 3200 μ1 300 μ3 05 Multiplica a segunda equação por 2 e soma com a primeira 300μ3 2 μ3 000667 cm substitui μ3 na equação 1 600μ2 300 000667 0 μ2 0005 cm