Exercícios de Métodos Numéricos

2ª PROVA DE MÉTODOS NUMÉRICOS EM ENGENHARIA 31072023 1ª2 Uma certa propriedade representada por uma função Fxy tem variação linear no domínio de um elemento finito triangular de três nós com vértices em 111 61 e 34 Os valores nodais dessa função são dados para esses vértices por FF1F2F3 900 600 1200 Utilizando as funções de forma Ni para esse elemento determine a função Fxy NF e calcule seu valor para a posição 32 2ª 2 Calcule o vetor das cargas nodais equivalentes para a chapa estrutural discretizada em elementos finitos triangulares de deformação constante conforme mostra a figura abaixo 3ª2 A estrutura abaixo foi discretizada através de elementos triangulares planos de três nós conforme mostrado Sabendo que a matriz de rigidez local para um elemento é designada por k e que a matriz global da estrutura é designada por K responda a Qual a dimensão das matrizes k e K b Quantas e quais são as condições de contorno aplicáveis a essa estrutura c Considerando q 02 kNcm calcule o vetor de cargas nodais equivalentes e d Se a malha fosse formada por quatro quadriláteros regulares quais seriam as ordens das matrizes k e K e como ficaria o vetor de cargas nodais equivalentes 4ª2 Calcule a matriz B para os elementos 2 e 4 de acordo com as incidências nodais 254 e 123 respectivamente Considerando a espessura igual a 1 cm o módulo de elasticidade E 20000 kNcm² e o coeficiente de Poisson v 025 determine a matriz de rigidez local para os mesmos dois elementos O problema na forma em que ele foi proposto se trata de um estado plano de tensões ou deformações Seria possível aproveitar a simetria no caso em questão 5ª2 Na estrutura da terceira questão substituíramse as condições de contorno mostradas por um apoio fixo no nó 1 que restringe os movimentos horizontais e verticais e um apoio móvel no nó 9 que restringe apenas o movimento vertical Os elementos têm espessura igual a 1 cm e a estrutura foi processada com o carregamento uniformemente distribuído q 02 kNcm Os deslocamentos obtidos para os nós 2 4 5 e 6 são dados na tabela abaixo Calcule as deformações e as tensões nos dois elementos Compare os resultados com os valores de deslocamento e tensões normais esperados quando se aplicam as fórmulas da teoria técnica da flexão Qual foi a diferença percentual Explique PROVA DE MÉTODOS NUMÉRICOS EM ENGENHARIA 05062013 1º2 Dada a viga da figura abaixo calcule pelo método matricial dos deslocamentos todos os deslocamentos nodais Dados M14000 kNcm e M21000 kNcm Considere a razão EIIL³10 2º2 Admita que para a viga da questão anterior são dados os giros dos nós 2 e 3 respectivamente θ26010³ e θ33010³ Nestas condições calcule as reações de apoio para a viga 3º2 Admita que para a viga da questão anterior são dados os giros dos nós 2 e 3 respectivamente θ26010³ e θ33010³ Supondo que o carregamento que produz esses giros é de mesma natureza que o carregamento da questão 1 ou seja é resultado de momentos concentrados aplicados aos nós 2 e 3 Determine os esforços de extremidade de barra para cada um dos três elementos que formam a viga utilizando a forma matricial 4º2 Para a viga mostrada abaixo conhecese a lista de deslocamentos nodais Com base nela determine usando as expressões deduzidas através do método dos Elementos Finitos os esforços de momento de flexão e cortante de extremidade para o elemento 34 Os seis elementos gerados tem comprimentos iguais a 25 cm São dados E20500 kNcm² I5140 cm⁴ e os carregamentos q040 kNcm e P100 kN Nó Deslocamento Giro 1 000000 000000 2 0005190 0000353 3 0014334 0000306 4 0016682 0000200 5 000000 6 0044054 0002185 7 0103801 5º2 Determine o giro do nó 2 as reações nos apoios em 1 2 e 3 e os esforços de extremidade nas duas barras quando se impõem um giro unitário no nó 3 da viga abaixo Desenhe os diagramas de esforços solicitantes São dados E e I PROVA DE MÉTODOS NUMÉRICOS EM ENGENHARIA 21052014 1º2 Aplique o PTV e resolva a viga Gerber abaixo para a reação de apoio em D e para o momento de flexão em B 2º2 Determine o deslocamento vertical na extremidade livre em C do balanço da viga mostrada abaixo aplicando o teorema de Castigliano Dados E20500 kNcm² e I 2000 cm⁴ 3º2 A viga mostrada na figura abaixo está engastada na extremidade em A e fixa a uma mola de torção com rigidez igual a 100 kNrd Dados E20500 kNcm² e I 2000 cm⁴ calcule o giro no apoio da extremidade em B e determine as reações de apoio nestas condições 4º2 Para a viga mostrada abaixo conhecese a lista de deslocamentos nodais Com base nela determine usando as expressões deduzidas através do método dos Elementos Finitos os esforços de momento de flexão e cortante de extremidade para o elemento 34 Os seis elementos gerados tem comprimentos iguais a 25 cm São dados E20500 kNcm² I5140 cm⁴ e os carregamentos q040 kNcm e P100 kN Nó Deslocamento Giro 1 000000 000000 2 0005190 0000353 3 0014334 0000306 4 0016682 0000200 5 000000 6 0044054 0002185 7 0103801 5º2 Determine os giros das seções nos pontos 5 e 7 e o deslocamento vertical da extremidade livre em 7 utilizando apenas dois elementos finitos para a viga do exercício anterior 2ª PROVA DE MÉTODOS NUMÉRICOS EM ENGENHARIA 20052015 12 Para a viga com o carregamento mostrado determine as rotações nos pontos 2 e 3 São dados E 200 GPa e I 4 x 10⁶ mm⁴ 22 Dados os giros θ2 20 x 10⁴ e θ3 40 x 10⁴ respectivamente sobre os apoios em 2 e 3 da viga da figura acima calcule os deslocamentos e giros a cada quarto de tramo para cada um dos dois tramos dessa viga O deslocamento em uma posição qualquer x é dado por vξ vξ wr com vξ abaixo e ξ xL vξ 1ξ²2ξ³ Lξ2ξ²ξ³ 3ξ²2ξ³ Lξ²ξ³ 32 A tabela abaixo mostra resultados de deslocamentos e giros para pontos de uma viga continua de dois tramos Cada tramo está discretizado por quatro elementos finitos de viga iguais e com 25 cm de comprimento Desenhe a própria viga e utilize as fórmulas para esforços de extremidade de barra resultantes da aplicação do MEF para desenhar os diagramas de momento fletor e força cortante São dados E 20000 kNcm² e I 400 cm⁴ NO Desl Vert cm Rotação 1 0000000 0000000 2 0001256 0000084 3 0003348 0000067 4 0003767 0000050 5 0000000 0000268 6 0008057 0000307 7 0012835 0000045 8 0009731 0000285 9 0000000 0000446 42 A viga da figura abaixo está engastada no ponto 1 e conectada a um pendural na sua extremidade em 2 Calcule o deslocamento vertical e o giro da extremidade da viga em 2 São dados E 20000 kNcm² e I 400 cm⁴ e as áreas Sxam 10 cm² e Sxgl 480 cm² 52 Resolva o problema da questão anterior considerando a carga concentrada de 10 kN aplicada no ponto 2 para baixo formando com a vertical um ângulo de 30 Quais serão os deslocamentos vertical e horizontal e o giro do ponto 2 2ª PROVA DE MÉTODOS NUMÉRICOS EM ENGENHARIA 05062019 12 Determine os esforços de extremidade de barra que formam o vetor de cargas nodais equivalentes para um carregamento vertical concentrado e aplicado em uma posição genérica x α L de um elemento finito de viga com comprimento L módulo de elasticidade E e inércia I 22 Utilizando dois elementos finitos de viga determine os deslocamentos e giros do ponto 2 onde estão aplicadas as ações P 10 kN e M 1000 kNcm Considere L 400 cm E 20500 kNcm² e I 1000 cm⁴ 3 2 Considere que as matrizes de rigidez dos elementos de viga e de 3ola da estrutura da figura abaixo são conhecidas Componha o sistema de equações que permite a solução da estrutura mostrada na figura abaixo e determine os deslocamentos nodais do ponto 2 Dados E 20500 kNcm² L 200 cm I 1000 cm⁴ k 10 kNcm e P 10 kN 42 Determine o giro do nó 2 as reações nos apoios em 1 2 e 3 e os esforços de extremidade nas duas barras quando se impõem um giro unitário antihorário no nó 3 da viga abaixo Desenhe os diagramas de esforços solicitantes São dados E e I 52 Para a viga abaixo conhecese a lista de deslocamentos e giros nodais Com base nela determine usando as expressões deduzidas através do método dos Elementos Finitos os esforços de momento de flexão e cortante de extremidade para os elementos 2 3 e 4 São dados E 20500 kNcm² I 5140 cm⁴ Nó Deslocamento Giro 1 0000 0001220 2 01771 0000216 3 00790 0000899 4 0000 0001039 5 04087 0001687 6 03836 0002034 7 0000 0000 2ª LISTA DE EXERCÍCIOS DE ELEMENTOS FINITOS 1º Considere a chapa em balanço mostrada abaixo com espessura igual a 254 mm O material tem módulo de Young igual a 207 104 MPa e coeficiente de Poison igual a 03 Considere a discretização através de dois elementos triangulares de três nós e determine os deslocamentos as deformações e as tensões 2º Para a mesma chapa da figura anterior determine as reações nos pontos 1 e 4 3º Recalcule a estrutura do primeiro problema considerandoa um estado plano de deformação Comente as diferenças observadas entre os dois casos 4º A chapa mostrada abaixo tem espessura igual a 10 cm O material tem módulo de Young igual a 106 kNcm2 e coeficiente de Poison igual a 025 Foram impostos os deslocamentos nas direções x e y de acordo com a tabela dada Determine os deslocamentos horizontal e vertical do nó 3 Nós Deslocamentos X Y 1 00025 00050 2 00075 00075 4 00000 00000 5 00050 00025 5º Refaça o problema anterior considerando como estado plano de deformação e comente as diferenças observadas nos resultados 6º Se as funções de forma para um certo elemento retangular são dadas em função das coordenadas dos vértices desse retângulo determine a Qual seria neste caso necessariamente a numeração e as coordenadas dos vértices desse retângulo E b Qual é a matriz B que relaciona as deformações com os parâmetros de deslocamentos nodais N 1 3x2y 6 N 2 x2y 6 N 3 xy 6 N 4 y3x 6 7º Verifique a validade do mapeamento jacobiano para os dois elementos mostrados abaixo a b As funções de forma para os elementos isoparamétricos quadrilaterais são dadas por 8º Utilizando a integração numérica via quadratura de Gauss determine o resultado da integral abaixo utilizando 1 2 3 e 4 pontos de integração e compare os resultados com o cálculo analítico I 1 1 8 x 77x 6dx 9º Uma placa quadrada com 200 200 cm e espessura igual a 01 cm é feita de um material cujo módulo de elasticidade longitudinal é dado por E 70000 kNcm2 e o coeficiente de Poison por ν 03 Aproveite a simetria e utilize dois elementos triangulares de três nós para determinar o campo de deslocamentos deformações e tensões O carregamento é σyy 100 kNcm2 10º A chapa plana abaixo com espessura h 100 cm está submetida a uma ação linearmente distribuída entre os pontos 2 e 5 com σx 10 kNcm2 conforme mostra a figura abaixo Calcule as forças nodais equivalentes e determine os deslocamentos nodais as deformações e as tensões nos elementos São dados o módulo de elasticidade longitudinal 106 kNcm2 e o coeficiente de Poison igual a 025 e a tensão normal 11º Considere que um certo elemento plano de quatro nós extraído de uma certa rede de elementos finitos está submetido a um estado plano de tensões Os números de nós globais são os mostrados na tabela de acordo com as suas incidências As coordenadas e os deslocamentos nodais obtidos para os vértices desse elemento estão dados na tabela apresentada Determine a O deslocamento no ponto 075 075 interpolando os deslocamentos nodais tabelados b O campo de deformações e c O campo de tensões Elemento nº Nó local 1 Nó local 2 Nó local 3 Nó local 4 27 51 52 63 64 Coordenada x 00 10 10 00 Coordenada y 00 00 10 10 Deslocamento x 000 010 010 000 Deslocamento y 000 000 010 000 12º A chapa plana parafusada mostrada foi discretizada usando elementos triangulares de trê nós e deformação constante A carga aplicada é vertical e vale P 20 kN Os resultados de deslocamentos nodais são mostrados em uma tabela Sabendo que a ordem de entrada dos nós para o elemento 442 é 139 145 e 141 calcule as deformações e as tensões nesse elemento Compare com a estimativa para as tensões de flexão da teoria de vigas considerando a altura da viga igual a 20 cm e sua espessura igual a 1 cm São dados E 21000 kNcm2 e coeficiente de Poison igual a 020