Prova de Recuperação de Calculo Numérico

Recuperação de Cálculo Numérico 1 a Considerando o Método do Ponto fixo suponha que ϕx seja uma função de iteração de classe C¹ para a equação fx 0 a qual possui uma raiz isolada ξ centrada em um intervalo I e que x₀ I Mostre que ϕx M 1 para todo x I então xₖ ξ Mᵏx₀ ξ onde xₖ ϕxₖ₁ k 1 2 Conclua que lim xₖ ξ b Como se sabe ξ 2 é a raiz positiva de fx x² 2 0 Obtenha uma aproximação para o valor de 2 utilizando o Método do Ponto Fixo e uma função de iteração da forma ϕx x Afx com A constante Escolha a constante A de modo que a condição de convergecia do método do ponto fixo ϕx M 1 esteja satisfeita no intervalo 12 Faça duas iterações 2 a Interpretação Geometrica do Método de Newton Mostre que no Método de Newton o ponto xₖ₁ é obtido pela intersecção do eixo Oₓ com a reta tangente ao gráfico de yfx no ponto xₖ fxₖ bInterpretação Geometrica do Método das Secantes Mostre que no Método das Secantes o ponto xₖ₁ é obtido pela intersecção do eixo Oₓ com a reta secante ao gráfico de yfx pelos pontos xₖ fxₖ e xₖ₁ fxₖ₁ 3 a Utilizando a tabela abaixo e a fórmula de Newton obtenha o polinomio Px de grau 2 que interpola a função fx senx no intervalo 0π e obtenha um limitante superior para o erro cometido em x 3π4 x 0 π2 π senx 0 1 0 4a Utilize o Método dos Mínimos Quadrados e Fatoração LU para obter o polinômio gx de grau 3 que melhor se ajusta aos dados da tabela abaixo x 2 1 0 1 2 fx 6 0 0 0 6 b Calcule a soma dos quadrados dos desvios Σᵢ₁⁵fxᵢ gxᵢ² e justifique o resultado 5 Obtenha uma aproximação para o valor da integral ₁³ dxx utilizando a Regra dos Trapézios com dois subintervalos Determine o menor número de subintervalos em que devemos dividir o intervalo 1 3 para que E 0001 1 a xₖ ξ Mᵏx₀ ξ lim xₖ ξ ε ϕε xₖ ϕxₖ₁ xₖ ε ϕxₖ₁ ϕε ϕxₖ₁ ϕε ϕcxₖ₁ ε xₖ ε M xₖ₁ ε x₁ ε M x₀ ε x₂ ε M x₁ ε M² x₀ ε x₃ ε M x₂ ε M³ x₀ ε xₖ ε Mᵏ x₀ ε limₖ Mᵏ 0 limₖ xₖ ε 0 limₖ xₖ ε b ε 2 fx x² 2 0 ϕx x Afx ϕx x Ax² 2 ϕx M 1 x 1 2 ϕx 1 A 2x 1 2Ax M 1 Para x 1 1 2A1 1 2A Para x 2 1 2A2 1 4A 1 2A 1 1 1 2A 1 1 1 4A 1 05 A 0 Interseção é 05 A 0 A 025 ϕx x 025x² 2 x₀ 15 x₁ ϕ15 15 02515² 2 14375 x₂ ϕ14375 14375 02514375² 2 142209 2 a xₖ₁ xₖ fxₖfxₖ y fxₖ Pxₖ fxₖ x xₖ 0 fxₖ fxₖx xₖ x xₖ fxₖfxₖ b xₖ₁ xₖ Pxₖxₖ xₖ₁fxₖ Pxₖ₁ Y fxₖ Pxₖ Pxₖ₁x xₖ xₖ xₖ₁ 0 fxₖ fxₖ fxₖ₁x xₖ x xₖ fxₖxₖ xₖ₁fxₖ fxₖ₁ 3 px senx x 0 π2 π P₂x fx₀ b₁x x₀ b₂x x₀x x₁ b₁ fx₁ fx₀ 1 0 2 π2 0 π P₂ b₁x₁ b₁x₁ 0 1 π π2 2 π² x₂ x₀ π 0 P₂x 0 2πx 2π² x x π2 2πx 2π² x x π2 Ex fⁿ¹ξ x x₀x x₁x x₂ 3 f³x cosx f³x 1 E3π4 16 3π4 03π4 π23π4 π 3π³384 4 a gx a₀ a₁x a₂x² a₃x³ Σ Σfxᵢ gxᵢ² Σ fxᵢxⁿ Σaₖxⁿ etc Σ x⁰ 5 Σ x¹ 0 Σ x³ 10 Σ x³ 0 Σ x⁴ 20 Σ x⁵ 0 Σ x⁶ 52 Σ fx 0 Σ x fx 0 Σ x² fx 36 Σ x³ fx 0 5 0 10 0 a₀ 0 a₀ 0 0 10 0 20 a₁ 0 a₁ 0 10 0 20 0 a₂ 36 a₂ 18 0 20 0 52 a₃ 0 a₃ 0 gx 0 0 x 18 x² 0 x³ 18 x² b Σᵢ₁⁵fxᵢ gxᵢ² gx 18 x² g2 1822 72 g1 1812 18 g1 1812 18 g2 1822 72 g0 1802 0 dx fx gx d0 0 0 0 d2 6 72 12 d1 0 18 18 d1 0 18 18 d2 6 72 12 S 1322 182 02 182 122 18216 Como o erro não é zero não passa exatamente em todos os pontos mas minimiza a soma dos erros quadráticos 5 I integral from 1 to 3 of dx I is approx h2 fx0 2 sum from i1 to n1 of fxi fxn h ban 312 1 xi a ih x0 1 x1 2 x2 3 fx 1x f1 1 f2 05 f3 03333 I2 12 1 205 03333 11667 E ba312n2 fc fx 2x3 max fx f1 213 2 E 313 212n2 43n2 E 0001 43n2 0001 n 365 n 37