Análise de Fluxo de Potência em Sistemas Elétricos

Fluxo de Potência Análise de Sistemas Elétricos de Potência I Formulação Básica do Problema Warlley de Sousa Sales ASPECTOS GERAIS Variáveis envolvidas na análise de fluxo de potência 𝑉𝑘 Magnitude da tensão nodal 𝜃𝑘 Ângulo da tensão nodal 𝑃𝑘 Injeção líquida de potência ativa Geração menos carga 𝑄𝑘 Injeção líquida de potência reativa Incógnitas Dados de entrada ASPECTOS GERAIS Tipos básicos de barras PQ Barras de cargas PV Barras de geração com tensão controlada VƟ Barra de referência ASPECTOS GERAIS O conjunto de equações do problema de fluxo de potência é composto pelas seguintes equações para cada barra 𝑃𝑘 𝑚Ω𝑘 ሻ 𝑃𝑘𝑚𝑉𝑘 𝑉𝑚 𝜃𝑘 𝜃𝑚 𝑄𝑘 𝑄𝑘 𝑠ℎ𝑉𝑘ሻ 𝑚Ω𝑘 𝑄𝑘𝑚𝑉𝑘 𝑉𝑚 𝜃𝑘 𝜃𝑚ሻ FORMULAÇÃO BÁSICA As equações básicas do problema de fluxo de potência são 𝑃𝑘 𝑉𝑘 𝑚1 𝑁𝐵 𝑉𝑚 𝐺𝑘𝑚cos𝜃𝑘𝑚 𝐵𝑘𝑚sen𝜃𝑘𝑚 𝑄𝑘 𝑉𝑘 𝑚1 𝑁𝐵 𝑉𝑚 𝐺𝑘𝑚sen𝜃𝑘𝑚 𝐵𝑘𝑚cos𝜃𝑘𝑚 FORMULAÇÃO BÁSICA As equações do problema de fluxo de potência são divididas em dois subproblemas Subproblema 1 𝑃𝑘 𝑒𝑠𝑝 𝑉𝑘 𝑚1 𝑁𝐵 𝑉𝑚 𝐺𝑘𝑚cos𝜃𝑘𝑚 𝐵𝑘𝑚sen𝜃𝑘𝑚 0 Para barras PV e barras PQ 𝑄𝑘 𝑒𝑠𝑝 𝑉𝑘 𝑚1 𝑁𝐵 𝑉𝑚 𝐺𝑘𝑚sen𝜃𝑘𝑚 𝐵𝑘𝑚cos𝜃𝑘𝑚 0 Para barras PQ FORMULAÇÃO BÁSICA Subproblema 2 𝑃𝑘 𝑒𝑠𝑝 𝑉𝑘 𝑚1 𝑁𝐵 𝑉𝑚 𝐺𝑘𝑚cos𝜃𝑘𝑚 𝐵𝑘𝑚sen𝜃𝑘𝑚 0 Barra de referência 𝑄𝑘 𝑒𝑠𝑝 𝑉𝑘 𝑚1 𝑁𝐵 𝑉𝑚 𝐺𝑘𝑚sen𝜃𝑘𝑚 𝐵𝑘𝑚cos𝜃𝑘𝑚 0 Para barras PV e de referência FORMULAÇÃO BÁSICA As incógnitas do subproblema 1 podem ser agrupadas no seguinte vetor 𝒙 𝜽 𝑽 ሼ𝑁𝑃𝑉 𝑁𝑃𝑄 ሼ𝑁𝑃𝑄 As equações do subproblema 1 podem ser reescrita da seguinte forma 𝑃𝑘 𝑃𝑘 𝑒𝑠𝑝 𝑃𝑘 𝑽 𝜽 0 𝑄𝑘 𝑄𝑘 𝑒𝑠𝑝 𝑄𝑘 𝑽 𝜽 0 Para as barras PQ e PV Para as PQ Ou na forma matricial ሻ 𝑷 𝑷𝑒𝑠𝑝 𝑷𝑽 𝜽 𝑸 𝑸𝑒𝑠𝑝 𝑸𝑽 𝜽ሻ FORMULAÇÃO BÁSICA Seja agora 𝒈𝒙ሻ a função vetorial dada por 𝒈 𝒙 𝑷 𝑸 ሼ𝑁𝑃𝑄 𝑁𝑃𝑉 ሼ𝑁𝑃𝑄 O objetivo é encontrar os valores das variáveis que compõem o vetor 𝒙 que satisfaçam a seguinte condição 𝒈 𝒙 0 A seguir são abordadas as técnicas de solucionar o sistema de equações não lineares anterior MÉTODO DE NEWTON Considere inicialmente um sistema unidimensional 𝑓 𝑥 0 x0 x1 x2 fx 0 fx 1 fx 2 X fx Desejase encontrar o valor de 𝑥 para o qual a função 𝑓𝑥ሻ se anula Figura 1 Interpretação gráfica do método de Newton MÉTODO DE NEWTON Passos para solucionar uma equação não linear pelo método de Newton i Fazer 𝑖 0 e escolher uma solução inicial 𝑥 𝑥𝑖 𝑥0 ii Calcular o valor da função 𝑓𝑥ሻ no ponto 𝑥 𝑥𝑖 iii Comparar o valor de 𝑓𝑥𝑖ሻ com a tolerância especificada Se 𝑓𝑥𝑖ሻ 𝜀 𝑥 𝑥𝑖 será a solução procurada senão prossiga para o próximo passo iv Linearizar a função 𝑓𝑥ሻ em torno do ponto 𝑥 𝑓𝑥ሻ 𝑓 𝑥𝑖 𝑥𝑖 𝑓 𝑥𝑖 𝑓 𝑥𝑖 𝑥𝑖 v Resolver o problema linearizado 𝑓 𝑥𝑖 𝑓 𝑥𝑖 𝑥𝑖 0 𝑥𝑖 𝑓 𝑥𝑖 ሻ 𝑓𝑥𝑖 𝑥𝑖1 𝑥𝑖 𝑥𝑖 vi Fazer i i 1 e voltar ao passo ii MÉTODO DE NEWTON A variante do método de Newton mostrada na Figura 2 é obtida considerandose a derivada constante x0 x1 x2 fx 0 fx 1 fx 2 X fx x3 Figura 2 Variante do método de Newton MÉTODO DE NEWTON Exemplo Considere a função 𝑓 𝑥 2𝑥3 4𝑥2 3𝑥 4 Pretendese encontrar uma das raízes dessa função utilizando o método de Newton Considere 𝑥0 20 e a tolerância 𝜀 103 MÉTODO DE NEWTON Solução 1ª iteração 𝑖 0 e 𝑥0 20 𝑓 𝑥0 20 Como 𝑓2ሻ 2 103 continua o processo 𝑥0 𝑓 𝑥0 𝑓 𝑥0 01818 𝑥1 𝑥0 𝑥0 18182 2ª iteração 𝑖 1 e 𝑥1 18182 𝑓 𝑥1 02526 Como 𝑓18182ሻ 02526 103 continua o processo 𝑥1 𝑓 𝑥1 𝑓 𝑥1 00305 𝑥2 𝑥1 𝑥1 17877 MÉTODO DE NEWTON Solução 3ª 𝑖 2 e 𝑥2 17877 𝑓 𝑥2 00061 Como 𝑓17877ሻ 00061 103 continua o processo 𝑥2 𝑓 𝑥2 𝑓 𝑥2 77894 104 𝑥3 𝑥2 𝑥2 17869 4ª iteração 𝑖 3 e 𝑥3 17869 𝑓 𝑥3 16155 104 Como 𝑓 17869 16155 104 103 encerra o processo 𝑥 17869 é a solução do problema MÉTODO DE NEWTON Exercício Encontre a solução de 𝑓 𝑥 2𝑥3 4𝑥2 3𝑥 4 considerando que a derivada de 𝑓𝑥ሻ será constante e igual à derivada no ponto 𝑥0 ie 𝑓𝑥0ሻ Considere 𝑥0 2 e a tolerância 𝜀 103 A solução final foi a mesma O número de iterações aumentou MÉTODO DE NEWTON Considere agora a resolução de um sistema composto por 𝑛 equações algébricas 𝒇 𝒙 0 sendo 𝒇 𝒙 𝒇1 𝒙 𝒇2 𝒙 𝒇𝑛 𝒙 𝑇 𝒙 𝑥1 𝑥2 𝑥𝑛 𝑇 O processo de solução segue os mesmos passos do caso de uma equação unidimensional A principal diferença é na obtenção da derivada que agora aparece a matriz jacobiana MÉTODO DE NEWTON 𝒇 𝒙𝑖 𝒙𝑖 𝒇 𝒙𝑖 𝑱 𝒙𝑖 𝒙𝑖 sendo 𝑱 dada por 𝐽 𝑓 𝑥 𝑓1 𝑥1 𝑓1 𝑥2 𝑓1 𝑥𝑛 𝑓2 𝑥1 𝑓2 𝑥2 𝑓2 𝑥𝑛 𝑓𝑛 𝑥𝑛 𝑓𝑛 𝑥2 𝑓𝑛 𝑥𝑛 O vetor de correções é obtido de 𝒇 𝒙𝑖 𝑱 𝒙𝑖 𝒙𝑖 0 𝑥 𝑱 𝒙𝑖 1𝒇 𝒙𝒊 MÉTODO DE NEWTON Algoritmo i Fazer 𝑖 0 e escolher uma solução inicial 𝒙 𝒙𝑖 𝑥0 ii Calcular 𝑓𝒙𝑖ሻ iii Testar a convergência se max 𝑓 𝑥𝑖 𝜀 o processo convergiu senão prosseguir no passo iv iv Calcular a matriz jacobiana 𝑱𝒙𝑖ሻ v Determinar a nova solução 𝑥𝑖1 𝒙𝑖1 𝒙𝑖 𝒙𝑖 𝒙𝒊 𝑱 𝒙𝒊 1𝒇𝒙𝑖ሻ vi Fazer 𝑖 𝑖 1 e retornar para o passo ii MÉTODO DE NEWTON Exercício 1 Utilize o método de Newton para resolver o sistema a seguir ቊ𝑥 𝑦 2 0 𝑥𝑦 3 0 Considere uma tolerância de 103 e 𝑥0 2 e 𝑦0 1 FLUXO DE POTÊNCIA PELO MÉTODO DE NEWTON Considere o subsistema 1 de equações 𝑔 𝒙𝑖 𝑷𝑖 𝑸𝑖 𝑥 𝜽𝑖 𝑽𝑖 𝐽 𝒙𝑖 𝑷 𝜽 𝑷 𝑽 𝑸 𝜽 𝑸 𝑽 FLUXO DE POTÊNCIA PELO MÉTODO DE NEWTON Lembrando que 𝑃𝑘 𝑃𝑘 𝑒𝑠𝑝 𝑃𝑘 𝑽 𝜽 0 𝑄𝑘 𝑄𝑘 𝑒𝑠𝑝 𝑄𝑘 𝑽 𝜽 0 A matriz Jacobiana pode ser reescrita como 𝐽 𝑥𝑖 𝑷 𝜽 𝑷 𝑽 𝑸 𝜽 𝑸 𝑽 FLUXO DE POTÊNCIA PELO MÉTODO DE NEWTON As submatrizes que compõem a matriz Jacobiana são geralmente representadas por 𝑯 𝑷 𝜽 𝑵 𝑷 𝑽 𝑴 𝑸 𝜽 𝑳 𝑸 𝑽 FLUXO DE POTÊNCIA PELO MÉTODO DE NEWTON As componentes das submatrizes H e N são dadas por 𝑯 𝐻𝑘𝑚 𝑃𝑘 𝜃𝑚 𝑉𝑘𝑉𝑚 𝐺𝑘𝑚sen𝜃𝑘𝑚 𝐵𝑘𝑚cos𝜃𝑘𝑚 𝐻𝑘𝑘 𝑃𝑘 𝜃𝑘 𝑉𝑘 2𝐵𝑘𝑘 𝑉𝑘 𝑚1 𝑁𝐵 𝑉𝑚 𝐺𝑘𝑚sen𝜃𝑘𝑚 𝐵𝑘𝑚cos𝜃𝑘𝑚 𝑵 𝑁𝑘𝑚 𝑃𝑘 𝑉𝑚 𝑉𝑘 𝐺𝑘𝑚cos𝜃𝑘𝑚 𝐵𝑘𝑚sen𝜃𝑘𝑚 𝑁𝑘𝑘 𝑃𝑘 𝑉𝑘 𝑉𝑘𝐺𝑘𝑘 𝑚1 𝑁𝐵 𝑉𝑚 𝐺𝑘𝑚cos𝜃𝑘𝑚 𝐵𝑘𝑚sen𝜃𝑘𝑚 FLUXO DE POTÊNCIA PELO MÉTODO DE NEWTON As componentes das submatrizes M e L são dadas por 𝑴 𝑀𝑘𝑚 𝑄𝑘 𝜃𝑚 𝑉𝑘𝑉𝑚 𝐺𝑘𝑚cos𝜃𝑘𝑚 𝐵𝑘𝑚sen𝜃𝑘𝑚 𝑀𝑘𝑘 𝑄𝑘 𝜃𝑘 𝑉𝑘 2𝐺𝑘𝑘 𝑉𝑘 𝑚1 𝑁𝐵 𝑉𝑚 𝐺𝑘𝑚cos𝜃𝑘𝑚 𝐵𝑘𝑚sen𝜃𝑘𝑚 𝑳 𝐿𝑘𝑚 𝑄𝑘 𝑉𝑚 𝑉𝑘 𝐺𝑘𝑚sen𝜃𝑘𝑚 𝐵𝑘𝑚cos𝜃𝑘𝑚 𝐿𝑘𝑘 𝑄𝑘 𝑉𝑘 𝑉𝑘𝐵𝑘𝑘 𝑚1 𝑁𝐵 𝑉𝑚 𝐺𝑘𝑚sen𝜃𝑘𝑚 𝐵𝑘𝑚cos𝜃𝑘𝑚 FLUXO DE POTÊNCIA PELO MÉTODO DE NEWTON Algoritmo i Fazer 𝑖 0 e escolher os valores iniciais dos ângulos das tensões das barras PQ e PV 𝜽 𝜽0 e as magnitudes das tensões das barras PQ 𝑽 𝑽0 ii Calcular para 𝑷𝑽𝑖 𝜽𝑖ሻ para as barras PQ e PV e 𝑸𝑽𝑖 𝜽𝑖ሻ para as barras PQ e determinar os resíduos 𝑷 e 𝑸 iii Testar a convergência se max 𝑷𝒊 𝜀𝑝 e maxሼ𝑸𝑖 𝜀𝑞 o processo iterativo convergiu para a solução 𝑽𝑖 𝜽𝑖 caso contrário prossiga no passo iv iv Calcular a matriz Jacobiana 𝑱 𝑽𝑖 𝜃𝑖 𝑯𝑽𝑖 𝜽𝑖൯ ൯ 𝑵𝑽𝑖 𝜽𝑖 𝑴𝑽𝑖 𝜽𝑖൯ 𝑳𝑽𝑖 𝜽𝑖൯ FLUXO DE POTÊNCIA PELO MÉTODO DE NEWTON Algoritmo v Determinar a nova solução 𝑉𝑖1 𝜃𝑖1 𝜽𝑖1 𝜽𝑖 𝜽𝑖 𝑽𝑖1 𝑽𝑖 𝑽𝑖 Sendo 𝜽𝑖 𝑽𝑖 𝑖𝑛𝑣 𝐻𝑽𝑖 𝜽𝑖൯ ൯ 𝑁𝑽𝑖 𝜽𝑖 𝑀𝑽𝑖 𝜽𝑖൯ 𝐿𝑽𝑖 𝜽𝑖൯ ൯ 𝑃𝑽𝑖 𝜽𝑖 ൯ 𝑄𝑽𝑖 𝜽𝑖 vi Fazer 𝑖 𝑖 1 e voltar para o passo ii FLUXO DE POTÊNCIA PELO MÉTODO DE NEWTON Exemplo 1 Considere o sistema de potência a seguir Barra Tipo V pu Graus PGpu QG pu PLpu QLpu 1 V 10 00 00 00 2 PV 10 020 060 00 Dados das barras Linha r pu x pu bsh pu 1 2 02 10 002 Dados das linhas Faça uma análise de fluxo de potência Considere a tolerância igual 0003 pu FLUXO DE POTÊNCIA PELO MÉTODO DE NEWTON Solução Primeiramente constróise a matriz de admitância nodal do sistema 𝑌 𝐺 𝑗𝐵 01923 𝑗9415 01923 𝑗09615 01923 𝑗09615 01923 𝑗09415 𝐺 01923 01923 01923 01923 e 𝐵 09415 09615 09615 09415 A barra 1 é barra de referência e a barra 2 é do tipo PV logo será necessário o equacionamento do balanço de potência ativa na barra 2 𝑃2 𝑃2 𝑒𝑠𝑝 𝑃2 𝑐𝑎𝑙𝑐 𝑃2 𝑒𝑠𝑝 𝑃𝐺2 𝑃𝐿2 02 060 040 FLUXO DE POTÊNCIA PELO MÉTODO DE NEWTON Solução A equação para a injeção de potência ativa na barra 2 é 𝑃2 𝑉2 𝑚1 2 𝑉𝑚 𝐺2𝑚𝑐𝑜𝑠 𝜃2 𝜃𝑚 𝐵2𝑚𝑠𝑒𝑛 𝜃2 𝜃𝑚 Desenvolvendo o somatório da equação anterior lembrando que 𝜃1 0 temse 𝑃2 𝑉2𝑉1 𝐺21𝑐𝑜𝑠𝜃2 𝐵21𝑠𝑒𝑛𝜃2 𝑉2 2𝐺22 Substituindo os valores e rearranjando os termos chegase a 𝑃2 01923 1 cos𝜃2 09615sen𝜃2 FLUXO DE POTÊNCIA PELO MÉTODO DE NEWTON Solução Logo o desvio de potência na barra 2 é 𝑃2 040 01923 1 cos𝜃2 09615sen𝜃2 1ª iteração 𝑖 0 𝜃0 00 𝑃2 040 01923 1 𝑐𝑜𝑠𝜃2 0 09615𝑠𝑒𝑛𝜃2 0 040 𝑃2 040 0003 𝐽 𝜃2 0 𝑃2 𝜃2 01923𝑠𝑒𝑛𝜃2 0 09615𝑐𝑜𝑠𝜃2 0 09615 𝜃2 0 𝐽 𝜃2 0 1𝑃2 040 ሻ 09615 04160 FLUXO DE POTÊNCIA PELO MÉTODO DE NEWTON Solução 𝜃2 1 𝜃2 0 𝜃0 0 04160 04160 2ª Iteração 𝑃2 𝜃2 1 040 01923 1 cos𝜃2 1 09615sen𝜃2 1 00279 𝑃2 00279 0003 𝐽 𝜃2 1 01923sen𝜃2 1 09615cos𝜃2 1 08018 𝜃2 1 𝐽 𝜃2 1 1𝑃2 00279 08018 00347 𝜃2 2 𝜃2 1 𝜃2 1 04160 00347 04507 FLUXO DE POTÊNCIA PELO MÉTODO DE NEWTON Solução 3ª Iteração 𝑃2 𝜃2 2 040 01923 1 cos𝜃2 2 09615sen𝜃2 2 37731 104 𝑃2 37731 104 0003 Então 𝜃2 04507 rad é a solução do problema FLUXO DE POTÊNCIA PELO MÉTODO DE NEWTON Solução Agora resolvendo o subproblema 2 𝑃1 𝑉1 𝑚1 2 𝑉𝑚 𝐺1𝑚𝑐𝑜𝑠𝜃1𝑚 𝐵1𝑚𝑠𝑒𝑛𝜃1𝑚 𝑄1 𝑉1 𝑚1 2 𝑉𝑚 𝐺1𝑚𝑠𝑒𝑛𝜃1𝑚 𝐵1𝑚𝑐𝑜𝑠𝜃1𝑚 Substituindo os valores 𝑃1 04380 pu 𝑄1 00078 pu Barra de Referência FLUXO DE POTÊNCIA PELO MÉTODO DE NEWTON Solução Substituindo os valores Barra PV 𝑄2 𝑉2 𝑚1 2 𝑉𝑚 𝐺2𝑚𝑠𝑒𝑛𝜃2𝑚 𝐵2𝑚𝑐𝑜𝑠𝜃2𝑚 𝑄2 01598 pu FLUXO DE POTÊNCIA PELO MÉTODO DE NEWTON Exemplo 2 Considere o sistema a seguir Barra Tipo V pu Graus PGpu QG pu PLpu QLpu 1 V 10 00 00 00 2 PQ 00 00 030 007 Dados das barras Linha r pu x pu bsh pu 1 2 02 10 002 Dados das linhas Faça uma análise de fluxo de potência Considere 𝜀𝑝 𝜀𝑞 0003 pu FLUXO DE POTÊNCIA PELO MÉTODO DE NEWTON Solução Primeiramente constróise a matriz de admitância de barra 𝑮 01923 01923 01923 01923 e 𝑩 09415 09615 09615 09415 Escrevemse os desvios de potência ativa e reativa para a barra 2 𝑃2 𝑃2 𝑒𝑠𝑝 𝑃2 𝑐𝑎𝑙𝑐 030 𝑉2 𝑚1 2 𝑉𝑚 𝐺2𝑚 cos 𝜃2 𝜃𝑚 𝐵2𝑚𝑠𝑒𝑛 𝜃2 𝜃𝑚 0 𝑄2 𝑄2 𝑒𝑠𝑝 𝑄2 𝑐𝑎𝑙𝑐 007 𝑉2 𝑚1 2 𝑉𝑚 𝐺2𝑚𝑠𝑒𝑛 𝜃2 𝜃𝑚 𝐵2𝑚 cos 𝜃2 𝜃𝑚 0 FLUXO DE POTÊNCIA PELO MÉTODO DE NEWTON Solução Substituindo os valores e rearranjando os termos 𝑃2 030 01923𝑉2 𝑉2 cos𝜃2 09615𝑉2sen𝜃2 0 𝑄2 007 09415𝑉2 2 01923𝑉2sen𝜃2 09615𝑉2cos𝜃2 0 1ª iteração 𝑖 0 𝑉2 𝑖 10 𝑒 𝜃2 𝑖 0 𝑃2 𝑉2 𝑖 𝜃2 𝑖 030 𝑄2 𝑉2 𝑖 𝜃2 𝑖 009 𝑃2 030 0003 e 𝑄2 009 0003 FLUXO DE POTÊNCIA PELO MÉTODO DE NEWTON Solução 𝐻22 𝑃2 𝜃2 01923𝑉2sen𝜃2 09615𝑉2cos𝜃2 𝑁22 𝑃2 𝑉2 03846𝑉2 01923cos𝜃2 09615sen𝜃2 𝑀22 𝑄2 𝜃2 01923𝑉2cos𝜃2 09615𝑉2sen𝜃2 𝐿22 𝑄2 𝑉2 18830𝑉2 01923sen𝜃2 09615cos𝜃2 𝐽 𝑉2 𝑖 𝜃2 𝑖 09615 01923 01923 09215 𝜃2 𝑖 𝑉2 𝑖 𝐽 𝑉2 𝑖 𝜃2 𝑖 1 𝑃2 𝑉2 𝑖 𝜃2 𝑖 𝑄2 𝑉2 𝑖 𝜃2 𝑖 03183 00313 𝜃2 𝑖1 𝑉2 𝑖1 𝜃2 𝑖 𝑉2 𝑖 𝜃2 𝑖 𝑉2 𝑖 03183 10313 FLUXO DE POTÊNCIA PELO MÉTODO DE NEWTON Solução 2ª iteração 𝑖 1 ൯ 𝑃2𝑉2 𝑖 𝜃2 𝑖 ൯ 𝑄2𝑉2 𝑖 𝜃2 𝑖 00058 00516 𝑃2 00058 0003 e 𝑄2 00516 0003 𝐽 𝑉2 𝑖 𝜃2 𝑖 08511 00869 04987 10889 𝜃2 𝑖 𝑉2 𝑖 𝐽 𝑉2 𝑖 𝜃2 𝑖 1 𝑃2 𝑉2 𝑖 𝜃2 𝑖 𝑄2 𝑉2 𝑖 𝜃2 𝑖 00123 00530 𝜃2 𝑖1 𝑉2 𝑖1 𝜃2 𝑖 𝑉2 𝑖 𝜃2 𝑖 𝑉2 𝑖 03306 09783 FLUXO DE POTÊNCIA PELO MÉTODO DE NEWTON Solução 3ª iteração 𝑖 2 ൯ 𝑃2𝑉2 𝑖 𝜃2 𝑖 ൯ 𝑄2𝑉2 𝑖 𝜃2 𝑖 00008 00025 𝑃2 00008 0003 e 𝑄2 00025 0003 Neste caso tanto 𝑃2 quanto 𝑄2 são menores que a tolerância Portanto a solução do problema é 𝜃2 𝑉2 03306 09783 FLUXO DE POTÊNCIA PELO MÉTODO DE NEWTON Solução Agora resolvese o subproblema 2 𝑃1 𝑉1 𝑚1 2 𝑉𝑚 𝐺1𝑚𝑐𝑜𝑠𝜃1𝑚 𝐵1𝑚𝑠𝑒𝑛𝜃1𝑚 𝑄1 𝑉1 𝑚1 2 𝑉𝑚 𝐺1𝑚𝑠𝑒𝑛𝜃1𝑚 𝐵1𝑚𝑐𝑜𝑠𝜃1𝑚 Substituindo os valores 𝑃1 03197 pu 𝑄1 00093 pu FLUXO DE POTÊNCIA PELO MÉTODO DE NEWTON Explicando a derivada de 𝑃𝑘 𝜃𝑘 𝑃𝑘 𝑉𝑘 𝑚1 𝑁𝐵 𝑉𝑚 𝐺𝑘𝑚𝑐𝑜𝑠𝜃𝑘𝑚 𝐵𝑘𝑚𝑠𝑒𝑛𝜃𝑘𝑚 𝑃𝑘 𝜃𝑘 𝑉𝑘 𝑚1 𝑁𝐵 𝑉𝑚 𝐺𝑘𝑚𝑠𝑒𝑛𝜃𝑘𝑚 𝐵𝑘𝑚𝑐𝑜𝑠𝜃𝑘𝑚 𝑃𝑘 𝜃𝑘 𝑉𝑘 𝑚1 𝑁𝐵 𝑉𝑚 𝐺𝑘𝑚𝑠𝑒𝑛𝜃𝑘𝑚 𝐵𝑘𝑚𝑐𝑜𝑠𝜃𝑘𝑚 Quando k m aparece o termo 𝑉𝑘 2𝐵𝑘𝑘 que não deve estar presente na derivada Logo 𝑃𝑘 𝜃𝑘 𝑉𝑘 2𝐵𝑘𝑘 𝑉𝑘 𝑚1 𝑁𝐵 𝑉𝑚 𝐺𝑘𝑚𝑠𝑒𝑛𝜃𝑘𝑚 𝐵𝑘𝑚𝑐𝑜𝑠𝜃𝑘𝑚 FLUXO DE POTÊNCIA PELO MÉTODO DE NEWTON Explicando a derivada de 𝑃𝑘 𝑉𝑘 𝑃𝑘 𝑉𝑘 𝑚1 𝑁𝐵 𝑉𝑚 𝐺𝑘𝑚𝑐𝑜𝑠𝜃𝑘𝑚 𝐵𝑘𝑚𝑠𝑒𝑛𝜃𝑘𝑚 𝑃𝑘 𝑉𝑘 2𝑉𝑘𝐺𝑘𝑘 𝑚1𝑚𝑘 𝑁𝐵 𝑉𝑚 𝐺𝑘𝑚𝑐𝑜𝑠𝜃𝑘𝑚 𝐵𝑘𝑚𝑠𝑒𝑛𝜃𝑘𝑚 Ou 𝑃𝑘 𝑉𝑘 𝑉𝑘𝐺𝑘𝑘 𝑚1 𝑁𝐵 𝑉𝑚 𝐺𝑘𝑚𝑐𝑜𝑠𝜃𝑘𝑚 𝐵𝑘𝑚𝑠𝑒𝑛𝜃𝑘𝑚 FLUXO DE POTÊNCIA PELO MÉTODO DE NEWTON Explicando a derivada de 𝑄𝑘 𝜃𝑘 𝑄𝑘 𝑉𝑘 𝑚1 𝑁𝐵 𝑉𝑚 𝐺𝑘𝑚𝑠𝑒𝑛𝜃𝑘𝑚 𝐵𝑘𝑚𝑐𝑜𝑠𝜃𝑘𝑚 𝑄𝑘 𝜃𝑘 𝑉𝑘 𝑚1 𝑁𝐵 𝑉𝑚 𝐺𝑘𝑚𝑐𝑜𝑠𝜃𝑘𝑚 𝐵𝑘𝑚𝑠𝑒𝑛𝜃𝑘𝑚 Quando m k aparece o termo 𝑉𝑘 2𝐺𝑘𝑘 o qual não faz parte da derivada Logo 𝑄𝑘 𝜃𝑘 𝑉𝑘 2𝐺𝑘𝑘 𝑉𝑘 𝑚1 𝑁𝐵 𝑉𝑚 𝐺𝑘𝑚𝑐𝑜𝑠𝜃𝑘𝑚 𝐵𝑘𝑚𝑠𝑒𝑛𝜃𝑘𝑚 FLUXO DE POTÊNCIA PELO MÉTODO DE NEWTON Explicando a derivada de 𝑄𝑘 𝑉𝑘 𝑄𝑘 𝑉𝑘 𝑚1 𝑁𝐵 𝑉𝑚 𝐺𝑘𝑚𝑠𝑒𝑛𝜃𝑘𝑚 𝐵𝑘𝑚𝑐𝑜𝑠𝜃𝑘𝑚 𝑄𝑘 𝑉𝑘 2𝑉𝑘𝐵𝑘𝑘 𝑚1𝑚𝑘 𝑁𝐵 𝑉𝑚 𝐺𝑘𝑚𝑠𝑒𝑛𝜃𝑘𝑚 𝐵𝑘𝑚𝑐𝑜𝑠𝜃𝑘𝑚 Ou 𝑄𝑘 𝑉𝑘 𝑉𝑘𝐵𝑘𝑘 𝑚1 𝑁𝐵 𝑉𝑚 𝐺𝑘𝑚𝑠𝑒𝑛𝜃𝑘𝑚 𝐵𝑘𝑚𝑐𝑜𝑠𝜃𝑘𝑚