Análise de Fluxo de Potência em Sistemas Elétricos

Warlley de Sousa Sales Modelos dos Equipamentos Fluxo de Potência Análise de Sistemas Elétricos de Potência I INTRODUÇÃO Fonte engenhariasnetbr Para que serve a análise de fluxo de potência INTRODUÇÃO Horizonte 2024 Fonte Energescombr INTRODUÇÃO Aplicações da ferramenta de cálculo de fluxo de potência Planejamento da Expansão dos Sistemas Elétricos de Potência Planejamento da Operação dos Sistemas Elétricos de Potência Coordenação da Proteção dos Sistemas Elétricos de Potência Equipamentos do sistema representados na análise de fluxo de potência Linhas de Transmissão Transformadores em Fase Transformadores Defasadores Geradores e Compensadores Síncronos Cargas Capacitores e Indutores em Derivação LINHAS DE TRANSMISSÃO Fonte engmasterengbr z r jx km km km jbkm jbkm k m Imk Ikm sh sh Sejam 𝑬𝒌 𝑉𝑘𝜃𝑘 Tensão fasorial da barra k 𝑬𝒎 𝑉𝑚𝜃𝑚 Tensão fasorial da barra m 𝒛𝒌𝒎 𝑟𝑘𝑚 𝑗𝑏𝑘𝑚 Impedância série da linha m 𝑗𝑏𝑘𝑚 𝑠ℎ Susceptância shunt da linha LINHAS DE TRANSMISSÃO A corrente que flui da barra k para a barra m pode ser dada por 𝑰𝒌𝒎 1 𝒛𝑘𝑚 𝑬𝑘 𝑬𝑚 𝑗𝑏𝑘𝑚 𝑠ℎ 𝑬𝑘 ou 𝑰𝒌𝒎 𝒚𝑘𝑚 𝑬𝑘 𝑬𝑚 𝑗𝑏𝑘𝑚 𝑠ℎ 𝑬𝑘 A potência complexa que flui da barra k para m é dada por 𝑺𝒌𝒎 𝑬𝑘 𝑰𝑘𝑚 LINHAS DE TRANSMISSÃO Substituindo 𝑰𝑘𝑚 na expressão anterior 𝑺𝑘𝑚 𝑉𝑘𝜃𝑘 𝑔𝑘𝑚 𝑗𝑏𝑘𝑚 𝑉𝑘𝜃𝑘 𝑉𝑚𝜃𝑚 𝑗𝑏𝑘𝑚 𝑠ℎ 𝑉𝑘𝜃𝑘 𝑺𝑘𝑚 𝑉𝑘𝜃𝑘 𝑔𝑘𝑚 𝑗𝑏𝑘𝑚 𝑉𝑘 𝜃𝑘 𝑉𝑚 𝜃𝑚 𝑗𝑏𝑘𝑚 𝑠ℎ 𝑉𝑘 𝜃𝑘 𝑺𝑘𝑚 𝑉𝑘 2𝑔𝑘𝑚 𝑉𝑘𝑉𝑚𝑔𝑘𝑚𝜃𝑘𝑚 𝑗𝑉𝑘 2𝑏𝑘𝑚 𝑗𝑉𝑘𝑉𝑚𝑏𝑘𝑚𝜃𝑘𝑚 𝑗𝑉𝑘 2𝑏𝑘𝑚 𝑠ℎ em que 𝜃𝑘𝑚 𝜃𝑘 𝜃𝑚 LINHAS DE TRANSMISSÃO Aplicando a fórmula de Euler 𝑉𝑘𝜃𝑘 𝑉𝑘𝑒𝑗𝜃𝑘 𝑉𝑘 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑘 𝑗𝑠𝑒𝑛𝜃𝑘 Separandose a parte real e a parte imaginária temse 𝑃𝑘𝑚 𝑉𝑘 2𝑔𝑘𝑚 𝑉𝑘𝑉𝑚𝑔𝑘𝑚𝑐𝑜𝑠𝜃𝑘𝑚 𝑉𝑘𝑉𝑚𝑏𝑘𝑚𝑠𝑒𝑛𝜃𝑘𝑚 𝑄𝑘𝑚 𝑉𝑘 2𝑏𝑘𝑚 𝑏𝑘𝑚 𝑠ℎ 𝑉𝑘𝑉𝑚𝑏𝑘𝑚𝑐𝑜𝑠𝜃𝑘𝑚 𝑉𝑘𝑉𝑚𝑔𝑘𝑚𝑠𝑒𝑛𝜃𝑘𝑚 LINHAS DE TRANSMISSÃO Exercício Suponha a linha de transmissão a seguir 𝑉1 105 3137 𝑝𝑢 𝑉2 105 7526 𝑝𝑢 Determine a Corrente que flui na linha b Fluxo de potência ativa c Fluxo de potência reativa LINHAS DE TRANSMISSÃO Solução Corrente que flui pela linha 𝑰𝑘𝑚 𝒚𝑘𝑚 𝑬𝑘 𝑬𝑚 𝑗𝑏𝑘𝑚 𝑠ℎ 𝑬𝑘 𝑰𝑘𝑚 00831 𝑗16625 105 3137 105 7526 𝑗015 105 3137 𝑰𝑘𝑚 020794678 Fluxos de Potência 𝑺𝑘𝑚 𝐸𝑘 𝐼𝑘𝑚 𝑺𝑘𝑚 105 3137 02079 4678 𝑺𝑘𝑚 01405 𝑗01670 pu pu 𝑃𝑘𝑚 01405 𝑄𝑘𝑚 𝑗0167 TRANSFORMADORES EM FASE ykm k m Imk Ikm 1t p Fonte brdepositphotoscom Sejam 𝑬𝑘 𝑉𝑘𝜃𝑘 𝑬𝑚 𝑉𝑚𝜃𝑚 𝒚𝑘𝑚 𝑔𝑘𝑚 𝑗𝑏𝑘𝑚 Tensão fasorial na barra k Tensão fasorial na barra m Admitância do transformador 1 𝑡 Relação entre as espiras TRANSFORMADORES EM FASE Para um transformador em fase temse t akm 𝑎𝑘𝑚 𝑬𝑝 𝑬𝑘 𝑉𝑝𝜃𝑝 𝑉𝑘𝜃𝑘 Considerando um transformador ideal 𝑬𝑘 𝑰𝑘𝑚 𝑬𝑝 𝑰𝑚𝑘 0 Da expressão anterior obtémse 𝑰𝑘𝑚 𝑎𝑘𝑚 𝑰𝑚𝑘 Notase da expressão anterior que as correntes Ikm e Imk estão defasadas em 180 e suas magnitudes estão na razão akm1 TRANSFORMADORES EM FASE A corrente que flui da barra m para a barra K é dada por 𝑰𝑚𝑘 𝒚𝑘𝑚 𝑬𝑚 𝑬𝑃 𝑎𝑘𝑚𝒚𝑘𝑚 𝑬𝑘 𝒚𝑘𝑚𝑬𝑚 Substituindo a corrente Imk na relação 𝑰𝑘𝑚 𝑎𝑘𝑚 𝑰𝑚𝑘 temse 𝑰𝑘𝑚 𝑎𝑘𝑚𝑰𝑚𝑘 𝑎𝑘𝑚 2 𝒚𝑘𝑚 𝑬𝑘 𝑎𝑘𝑚𝒚𝑘𝑚𝑬𝑚 Ou na forma matricial 𝑰𝑘𝑚 𝑰𝑚𝑘 𝑎𝑘𝑚 2 𝒚𝑘𝑚 𝑎𝑘𝑚𝑦𝑘𝑚 𝑎𝑘𝑚𝑦𝑘𝑚 𝑦𝑘𝑚 𝑬𝑘 𝑬𝑚 TRANSFORMADORES EM FASE A potência complexa que flui da barra k para a barra m é dada por 𝑺𝑘𝑚 𝑬𝑘 𝑰𝑘𝑚 Efetuandose o produto indicado e separando os termos real e imaginário obtémse 𝑃𝑘𝑚 𝑎𝑘𝑚𝑉𝑘 2𝑔𝑘𝑚 𝑎𝑘𝑚𝑉𝑘𝑉𝑚𝑔𝑘𝑚cos𝜃𝑘𝑚 𝑎𝑘𝑚𝑉𝑘𝑉𝑚𝑏𝑘𝑚sen𝜃𝑘𝑚 𝑄𝑘𝑚 𝑎𝑘𝑚𝑉𝑘 2𝑏𝑘𝑚 𝑎𝑘𝑚𝑉𝑘𝑉𝑚𝑏𝑘𝑚cos𝜃𝑘𝑚 𝑎𝑘𝑚𝑉𝑘𝑉𝑚𝑔𝑘𝑚sen𝜃𝑘𝑚 TRANSFORMADORES EM FASE Exercício Considere o transformador a seguir 𝑉1 095 2630 𝑝𝑢 𝑉2 094 1088 𝑝𝑢 Determine a As correntes I12 e I21 b Os fluxos de potências ativa e reativa TRANSFORMADORES EM FASE Solução Empregando a formulação matricial 𝑰12 𝑰21 𝑎12 2 𝒚12 𝑎12𝒚𝟏𝟐 𝑎12𝒚𝟏𝟐 𝒚𝟏𝟐 𝑽1 𝑽2 Substituindo os valores 𝑰12 𝑰21 0952 03265 𝑗119100 95 03295 𝑗119100 95 03295 𝑗119100 03265 𝑗119100 095 2630 094 1088 𝐼12 𝐼21 28315443 298 2557 A potência complexa é dada por 𝑺𝟏𝟐 𝑽1 𝑰12 𝑺𝟏𝟐 269 𝑗003 pu pu TRANSFORMADORES DEFASADORES Fonte tseaenergiacombr ykm k m Imk Ikm 1t p 𝑬𝑘 𝑉𝑘𝜃𝑘 𝑬𝑚 𝑉𝑚𝜃𝑚 𝑡 𝑒𝑗𝜙𝑘𝑚 𝒚𝑘𝑚 𝑔𝑘𝑚 𝑗𝑏𝑘𝑚 𝑬𝑝 𝑬𝑘 𝑒𝑗𝜙𝑘𝑚 𝜃𝑝 𝜙𝑘𝑚 𝑬𝑝 𝑉𝑝𝜃𝑝 TRANSFORMADORES DEFASADORES Aplicando o princípio da conservação da potência 𝑬𝑘 𝑰𝑘𝑚 𝑬𝑝 𝑰𝑚𝑘 0 𝑰𝑘𝑚 𝑒𝑗𝜙𝑘𝑚𝑰𝑚𝑘 Escrevendo a corrente Imk em função das tensões temse 𝑰𝑚𝑘 𝒚𝑘𝑚 𝑬𝑚 𝑬𝑝 𝑒𝑗𝜙𝑘𝑚𝒚𝑘𝑚𝑬𝑘 𝒚𝑘𝑚𝑬𝑚 Aplicando a relação entre Ikm e Imk chegase a 𝑰𝑘𝑚 𝑒𝑗𝜙𝑘𝑚𝑰𝑚𝑘 𝒚𝑘𝑚𝑬𝑘 𝑒𝑗𝜙𝑘𝑚𝒚𝑘𝑚𝑬𝑚 TRANSFORMADORES DEFASADORES Fazendose o produto da tensão pela conjugado da corrente e separandose os termos reais e imaginários chegase a ൯ 𝑃𝑘𝑚 𝑉𝑘 2𝑔𝑘𝑚 𝑉𝑘𝑉𝑚𝑔𝑘𝑚 cos 𝜃𝑘𝑚 𝜙𝑘𝑚 𝑉𝑘𝑉𝑚𝑏𝑘𝑚𝑠𝑒𝑛𝜃𝑘𝑚 𝜙𝑘𝑚 ൯ 𝑄𝑘𝑚 𝑉𝑘 2𝑏𝑘𝑚 𝑉𝑘𝑉𝑚𝑏𝑘𝑚 cos 𝜃𝑘𝑚 𝜙𝑘𝑚 𝑉𝑘𝑉𝑚𝑔𝑘𝑚𝑠𝑒𝑛𝜃𝑘𝑚 𝜙𝑘𝑚 Na forma matricial 𝐼𝑘𝑚 𝐼𝑚𝑘 𝑦𝑘𝑚 𝑦𝑘𝑚𝑒𝑗𝜑𝑘𝑚 𝑦𝑘𝑚𝑒𝑗𝜑𝑘𝑚 𝑦𝑘𝑚 𝐸𝑘 𝐸𝑚 Obs Como o fluxo de potência envolve o conjugado da corrente os elementos da diagonal secundária da matriz de admitância mostrada anteriormente terão os termos invertidos Assim o termo 𝑦𝑘𝑚𝑒𝑗𝜑𝑘𝑚 aparecerá na equação de fluxo no sentido de k para m TRANSFORMADORES DEFASADORES Exercício Considere o trecho de um sistema de potência a seguir contendo um transformador defasador 𝑉1 1000 pu 𝑉2 10 13743 pu Determine a corrente que flui no transformador e os fluxos de potências ativa e reativa TRANSFORMADORES DEFASADORES Solução Da equação matricial do transformador temse 𝐼𝑘𝑚 𝐼𝑚𝑘 100 𝑗300 100 𝑗300 𝑒𝑗15 100 𝑗300 𝑒𝑗15 100 𝑗300 100 10 13743 𝑦𝑘𝑚 1 001 𝑗003 100 𝑗300 𝐼𝑘𝑚 𝐼𝑚𝑘 06938 1609366 0693840634 𝐼𝑘𝑚 𝐼𝑚𝑘 100 𝑗300 174238 𝑗263896 18947 𝑗315660 100 𝑗300 100 10 13743 𝑆𝑘𝑚 𝑉𝑘 𝐼𝑘𝑚 06557 𝑗02266 pu GERADORES E COMPENSADORES SÍNCRONOS Fonte hardmobcombr G P Q Modelo potência constante Elementos externos à rede CARGAS Fonte contabeiscombr P Q Modelo potência constante Elementos externos à rede CARGAS Exercício Para o sistema a seguir determine a Potência ativa gerada b Potência reativa gerada c Potência ativa consumida pela carga d Potência reativa consumida pela carga e Perda de potência ativa f Perda de potência reativa CARGAS Solução Primeiramente calculamse as correntes na linha nos dois sentidos 𝑰𝑘𝑚 𝒚𝑘𝑚 𝑬𝑘 𝑬𝑚 𝑗𝑏𝑘𝑚 𝑠ℎ 𝑬𝑘 𝑰𝑘𝑚 00831 𝑗16625 100 091 81 𝑗015 100 𝑰𝑘𝑚 02214 𝑗00041 pu 𝑰𝑚𝑘 𝒚𝑘𝑚 𝑬𝑚 𝑬𝑘 𝑗𝑏𝑘𝑚 𝑠ℎ 𝑬𝑚 𝐼𝑚𝑘 00831 𝑗16625 091 81 100 𝑗015 091 81 𝐼𝑚𝑘 02022 𝑗02892 pu CARGAS Solução Posteriormente calculamse os fluxos de potência nos dois sentidos 𝑺𝑘𝑚 𝑬𝑘 𝑰𝑘𝑚 𝑺𝑘𝑚 02214 𝑗00041 pu 𝑺𝑚𝑘 𝑬𝑚 𝑰𝑚𝑘 𝑺𝑚𝑘 021922 𝑗02346 pu Potências ativa e reativa gerada Aplicando a conservação da potência à barra 1 temse que 𝑺𝐺 𝑺𝑘𝑚 0 𝑆𝐺 𝑆𝑘𝑚 02214 𝑗00041 pu CARGAS Solução Pela convenção passiva de sinais quando a corrente sai pelo terminal de maior potência o elemento fornece potência logo Potências ativa e reativa consumidas pela carga 𝑺𝑚𝑘 𝑺𝐿 0 𝑺𝐺 02214 𝑗00041 Aplicando a conservação de energia na barra 2 𝑺𝐿 𝑺𝑚𝑘 02192 𝑗02346 CARGAS Solução Perdas de potências ativa e reativa 𝑺𝑃𝑒𝑟𝑑𝑎𝑠 𝑺𝑘𝑚 𝑺𝑚𝑘 𝑆𝑃𝑒𝑟𝑑𝑎𝑠 00022 𝑗02306 CAPACITORES E INDUTORES EM DERIVAÇÃO Fonte jkcapacitorcombr 𝑏𝑘 𝑠ℎ ൯ 𝑄𝑘 𝑠ℎ 𝑉𝑘 2 A susceptância do banco de capacitorindutor é inserida na matriz de admitância de barra CAPACITORES E INDUTORES EM DERIVAÇÃO No sistema a seguir determine a potência associada ao elemento em derivação O elemento é um capacitor ou um indutor Obtenha a matriz de admitância do sistema Obs A carga é representada pelo modelo de potência constante Exercício CAPACITORES E INDUTORES EM DERIVAÇÃO Solução Determinandose a corrente I12 e I21 𝑰12 𝒚12 𝑬1 𝑬2 𝑗𝑏12 𝑠ℎ𝑬1 𝐼12 00831 𝑗16625 100 10 75 𝑗015 100 𝑰12 02177 𝑗01466 𝑰21 𝒚12 𝑬2 𝑬1 𝑗𝑏12 𝑠ℎ𝑬2 00831 𝑗16625 10 75 100 𝑗015 10 75 𝐼21 01981 𝑗01521 CAPACITORES E INDUTORES EM DERIVAÇÃO Solução Determinado as potências complexas 𝑺12 𝑬1 𝑰12 𝑺12 02177 𝑗01466 𝑺21 𝑬2 𝑰21 𝑺21 02163 𝑗01249 CAPACITORES E INDUTORES EM DERIVAÇÃO Solução Pela conservação de energia 𝑺21 𝑺𝐿 𝑸𝑠ℎ𝑢𝑛𝑡 02163 𝑗01249 022 𝑗023 𝑄𝑠ℎ 𝑄𝑠ℎ 𝑗01051 pu O elemento em derivação é um capacitor A admitância do capacitor pode ser obtida por 𝑄𝑠ℎ 𝑉2𝑏𝐶 𝑏𝐶 01051 102 01051 CAPACITORES E INDUTORES EM DERIVAÇÃO Solução Matriz de admitância do sistema é dada por 𝑌11 𝑦12 𝑏12 𝑠ℎ 𝑌11 1 003 𝑗06 𝑗015 00831 𝑗15125 𝑌12 𝑌21 𝑦12 00831 𝑗16625 𝑌22 𝑦12 𝑏12 𝑠ℎ 𝑏𝑐 𝑌22 1 003 𝑗06 𝑗015 𝑗01051 00831 𝑗14074 CAPACITORES E INDUTORES EM DERIVAÇÃO Solução 𝑌 00831 𝑗15125 00831 𝑗16625 00831 𝑗16625 00831 𝑗14074 EXERCÍCIO Para o sistema mostrado na Figura 1 cujos parâmetros são apresentados nas Tabela 1 e 2 determine a Potência ativa e reativa geradas pelos geradores b Potência ativa e reativa consumidas pela carga c As relações de transformação dos transformadores a14 a25 e a36 EXERCÍCIO De Para R pu Reat pu Susc total pu 1 4 000 025 000 2 5 000 025 000 3 6 000 025 4 5 003 025 000 4 7 002 020 005 5 6 004 040 000 6 7 002 020 005 Tabela 1 Parâmetros dos circuitos de transmissão EXERCÍCIO Tabela 1 Tensões nodais Barra Tensão pu Ângulo 1 105 00 2 105 1151 3 105 806 4 099 031 5 102 482 6 103 209 7 092 485 EXERCÍCIO Figura 1 Diagrama unifilar do sistema