Fluxo de Potência em Sistemas Elétricos de Potência

Warlley de Sousa Sales Representação Matricial Fluxo de Potência Análise de Sistemas Elétricos de Potência I k l m n Considere uma barra k qualquer de um sistema 𝑆𝑘 𝑃𝑘 𝑗𝑄𝑘 𝑖1 𝑛 𝑆𝑘𝑚 A injeção líquida de potência na barra k é dada por Supondo inicialmente que a barra esteja conectada a outras barras por meio de linhas de transmissão temse 𝑃𝑘 𝑉𝑘 2 𝑔𝑘𝑙 𝑔𝑘𝑚 𝑔𝑘𝑛 𝑉𝑘 𝑚Ω𝑘 ሻ 𝑉𝑚𝑔𝑘𝑚cos𝜃𝑘𝑚 𝑏𝑘𝑚sen𝜃𝑘𝑚 𝑄𝑘 𝑉𝑘 2 𝑏𝑘 𝑠ℎ 𝑏𝑘𝑙 𝑠ℎ 𝑏𝑘𝑚 𝑠ℎ 𝑏𝑘𝑛 𝑠ℎ 𝑏𝑘𝑙 𝑏𝑘𝑚 𝑏𝑘𝑛 𝑉𝑘 𝑚Ω𝑘 ሻ 𝑉𝑚𝑏𝑘𝑚 cos 𝜃𝑘𝑚 𝑔𝑘𝑚𝑠𝑒𝑛𝜃𝑘𝑚 𝐺𝑘𝑘 𝐺𝑘𝑚 𝑔𝑘𝑚 𝐵𝑘𝑚 𝑏𝑘𝑚 𝐵𝑘𝑘 𝐵𝑘𝑚 𝑏𝑘𝑚 𝐺𝑘𝑚 𝑔𝑘𝑚 As equações de injeção de potência em termos dos elementos da matriz de admitância de barra são 𝑃𝑘 𝑉𝑘 2𝐺𝑘𝑘 𝑉𝑘 𝑚Ω𝑘 ሻ 𝑉𝑚𝐺𝑘𝑚𝑐𝑜𝑠𝜃𝑘𝑚 𝐵𝑘𝑚𝑠𝑒𝑛𝜃𝑘𝑚 𝑄𝑘 𝑉𝑘 2𝐵𝑘𝑘 𝑉𝑘 𝑚Ω𝑘 ሻ 𝑉𝑚𝐺𝑘𝑚𝑠𝑒𝑛𝜃𝑘𝑚 𝐵𝑘𝑚𝑐𝑜𝑠𝜃𝑘𝑚 𝑚Ω𝑘 Conjunto das barras vizinha à barra k excluindose a barra k Para tornar as equações anteriores mais eficientes do ponto de vista computacional elas podem ser reescrita da forma a seguir 𝑃𝑘 𝑉𝑘 𝑚1 𝑛 ሻ 𝑉𝑚𝐺𝑘𝑚cos𝜃𝑘𝑚 𝐵𝑘𝑚sen𝜃𝑘𝑚 𝑄𝑘 𝑉𝑘 𝑚1 𝑛 𝑉𝑚𝐺𝑘𝑚sen𝜃𝑘𝑚 𝐵𝑘𝑚cos𝜃𝑘𝑚ሻ Exemplo Determine as expressões literais para as potências ativa e reativa injetadas nas barras do sistema a seguir Com base nas equações desenvolva um algoritmo para a obtenção das matrizes de condutância e susceptância do sistema Exemplo Dados do sistema De Para 𝒈𝒌𝒎 𝒃𝒌𝒎 ൘ 𝒃𝒌𝒎 𝒔𝒉 𝟐 𝒂𝒌𝒎 𝝋𝒌𝒎 1 2 𝑔12 𝑏12 0 𝑎12 0 1 3 𝑔13 𝑏13 0 1 𝜑13 2 3 𝑔23 𝑏23 𝑏23 𝑠ℎ 1 0 Exemplo Solução Fluxo de potência no transformador entre as barras 1 e 2 𝑽𝑝 𝑽1 𝑎12 𝑽𝑝 𝑎12𝑽1 Exemplo Solução Aplicando a conservação de potência 𝑽1𝑰12 𝑽𝑝𝑰21 0 𝑽1𝐼12 𝑎12𝑽1𝐼21 0 𝑰12 𝑎12𝐼21 𝑰21 𝑽2 𝑽𝑝 𝑔12 𝑗𝑏12 𝑰12 𝑎12 𝑽2 𝑎12𝑽1 𝑔12 𝑗𝑏12 A potência complexa no sentido 𝑺12 é dada por 𝑺12 𝑽1 𝑰12 𝑺12 𝑽1 𝑎12 𝑽2 𝑎12𝑽1 𝑔12 𝑗𝑏12 Exemplo Solução Sejam 𝑽1 𝑉1𝜃1 𝑽2 𝑉2𝜃2 e 𝜃12 𝜃1 𝜃2 𝑺12 𝑉1𝜃1 𝑉2 𝜃2 𝑎12𝑉1 𝜃1 𝑔12 𝑗𝑏12 𝑺12 𝑎12𝑉1𝑉2𝜃12 𝑎12 2 𝑉1 2 𝑔12 𝑗𝑏12 𝑺12 𝑎12𝑔12𝑉1𝑉2𝜃12 𝑗𝑎12𝑏12𝑉1𝑉2𝜃12 𝑔12 𝑎12𝑉1 2 𝑗𝑏12 𝑎12𝑉1 2 Como 𝑉1𝑉2𝜃12 𝑉1𝑉2 𝑐𝑜𝑠𝜃12 𝑗𝑠𝑒𝑛𝜃12 obtémse 𝑃12 𝑔12 𝑎12𝑉1 2 𝑎12𝑔12𝑉1𝑉2𝑐𝑜𝑠𝜃12 𝑎12𝑏12𝑉1𝑉2𝑠𝑒𝑛𝜃12 𝑄12 𝑏12 𝑎12𝑉1 2 𝑎12𝑏12𝑉1𝑉2𝑐𝑜𝑠𝜃12 𝑎12𝑔12𝑉1𝑉2𝑠𝑒𝑛𝜃12 Exemplo Solução Fluxo de potência 𝑆21 𝑺21 𝑽2 𝑰21 𝑺21 𝑽2 𝑽2 𝑎12𝑽1 𝑔12 𝑗𝑏12 𝑆21 𝑉2𝜃2 𝑉2 𝜃2 𝑎12𝑉1 𝜃1 𝑔12 𝑗𝑏12 𝑺21 𝑔12𝑉2 2 𝑗𝑏12𝑉2 2 𝑎12𝑔12𝑉2𝑉1𝜃21 𝑗𝑎12𝑏12𝑉2𝑉1𝜃21 𝑃21 𝑔12𝑉2 2 𝑎12𝑔12𝑉2𝑉1𝑐𝑜𝑠𝜃21 𝑎12𝑏12𝑉2𝑉1𝑠𝑒𝑛𝜃21 𝑄21 𝑏12𝑉2 2 𝑎12𝑏12𝑉2𝑉1𝑐𝑜𝑠𝜃21 𝑎12𝑔12𝑉2𝑉1𝑠𝑒𝑛𝜃21 Exemplo Solução Fluxo de potência no defasador entre as barras 1 e 3 𝑽𝑝 𝑽1 𝑒𝑗𝜑13 𝑽𝑝 𝑒𝑗𝜑13𝑽1 Exemplo Solução Aplicando a conservação de energia 𝑽1𝐼13 𝑽𝑝𝐼31 0 𝑰13 𝑒𝑗𝜑13𝑰31 𝑉1𝐼13 𝑒𝑗𝜑13𝑉1𝐼31 0 A corrente 𝐼31 é dada por 𝑰31 𝑽3 𝑽𝑝 𝑔13 𝑗𝑏13 𝑰31 𝑽3 𝑒𝑗𝜑13𝑽1 𝑔13 𝑗𝑏13 𝑰13 𝑒𝑗𝜑13 𝑽3 𝑒𝑗𝜑13𝑽1 𝑔13 𝑗𝑏13 𝑰13 𝑒𝑗𝜑13𝑽3 𝑽1 𝑔13 𝑗𝑏13 Exemplo Solução A potência complexa 𝑆13 é dada por 𝑺13 𝑽1 𝑰13 𝑺13 𝑽1 𝑒𝑗𝜑13𝑽3 𝑽1 𝑔13 𝑗𝑏13 𝑺13 𝑉1𝜃1 𝑒𝑗𝜑13𝑉3 𝜃3 𝑉1 𝜃1 𝑔13 𝑗𝑏13 𝑺13 𝑔13𝑒𝑗𝜑13𝑉1𝑉3𝜃13 𝑗𝑏13𝑒𝑗𝜑13𝑉1𝑉3𝜃13 𝑔13𝑉1 2 𝑗𝑏13𝑉1 2 Aplicando as transformação 𝑉1𝑉3𝜃13 𝑉1𝑉3 𝑐𝑜𝑠𝜃13 𝑗𝑠𝑒𝑛𝜃13 𝑃13 𝑔13𝑉1 2 𝑔13𝑒𝑗𝜑13𝑉1𝑉3𝑐𝑜𝑠𝜃13 𝑏13𝑒𝑗𝜑13𝑉1𝑉3𝑠𝑒𝑛𝜃13 𝑄13 𝑏13𝑉1 2 𝑏13𝑒𝑗𝜑13𝑉1𝑉3𝑐𝑜𝑠𝜃13 𝑔13𝑒𝑗𝜑13𝑉1𝑉3𝑠𝑒𝑛𝜃13 Exemplo Solução Por fim as equações de fluxo de potências ativa e reativa podem ser reescritas como 𝑃13 𝑔13𝑉1 2 𝑔13𝑉1𝑉3𝑐𝑜𝑠 𝜃13 𝜑13 𝑏13𝑉1𝑉3𝑠𝑒𝑛 𝜃13 𝜑13 𝑄13 𝑏13𝑉1 2 𝑏13𝑉1𝑉3𝑐𝑜𝑠 𝜃13 𝜑13 𝑔13𝑉1𝑉3𝑠𝑒𝑛 𝜃13 𝜑13 Potência complexa 𝑆31 𝑺31 𝑽3 𝑰31 𝑺31 𝑽3 𝑽3 𝑒𝑗𝜑13𝑽1 𝑔13 𝑗𝑏13 𝑺31 𝑉3𝜃3 𝑉3 𝜃3 𝑒𝑗𝜑13𝑉1 𝜃1 𝑔13 𝑗𝑏13 𝑺31 𝑉3 2 𝑒𝑗𝜑13𝑉3𝑉1𝜃31 𝑔13 𝑗𝑏13 Exemplo Solução 𝑺31 𝑔13𝑉3 2 𝑗𝑏13𝑉3 2 𝑔13𝑒𝑗𝜑13𝑉3𝑉1𝜃31 𝑗𝑒𝑗𝜑13𝑉3𝑉1𝜃31 Aplicando a transformação 𝑉3𝑉1𝜃31 𝑉3𝑉1 𝑐𝑜𝑠𝜃31 𝑗𝑠𝑒𝑛𝜃31 𝑺31 𝑔13𝑉3 2 𝑗𝑏13𝑉3 2 𝑔13𝑒𝑗𝜑13𝑉3𝑉1 𝑐𝑜𝑠𝜃31 𝑗𝑠𝑒𝑛𝜃31 𝑗𝑏13𝑒𝑗𝜑13𝑉3𝑉1 𝑐𝑜𝑠𝜃31 𝑗𝑠𝑒𝑛𝜃31 𝑃31 𝑔13𝑉3 2 𝑔13𝑒𝑗𝜑13𝑉3𝑉1𝑐𝑜𝑠𝜃31 𝑏13𝑒𝑗𝜑13𝑉3𝑉1𝑠𝑒𝑛𝜃31 𝑄31 𝑏13𝑉3 2 𝑏13𝑒𝑗𝜑13𝑉3𝑉1𝑐𝑜𝑠𝜃31 𝑔13𝑒𝑗𝜑13𝑉3𝑉1𝑠𝑒𝑛𝜃31 ou 𝑃31 𝑔13𝑉3 2 𝑔13𝑉3𝑉1𝑐𝑜𝑠 𝜃31 𝜑13 𝑏13𝑉3𝑉1𝑠𝑒𝑛 𝜃31 𝜑13 𝑄31 𝑏13𝑉3 2 𝑏13𝑉3𝑉1𝑐𝑜𝑠 𝜃31 𝜑13 𝑔13𝑉3𝑉1𝑠𝑒𝑛 𝜃31 𝜑13 Exemplo Solução Fluxo na linha 23 𝑰23 𝑽2 𝑽3 𝑔23 𝑗𝑏23 𝑗𝑏23 𝑠ℎ𝑽2 𝑰32 𝑽3 𝑽2 𝑔23 𝑗𝑏23 𝑗𝑏23 𝑠ℎ𝑽3 Exemplo Solução Fluxo na linha 23 𝑺23 𝑽2 𝑰23 𝑺23 𝑽2 𝑽2 𝑽3 𝑔23 𝑗𝑏23 𝑗𝑏23 𝑠ℎ𝑽2 𝑺23 𝑉2𝜃2 𝑉2 𝜃2 𝑉3 𝜃3 𝑔23 𝑗𝑏23 𝑗𝑏23 𝑠ℎ𝑉2 𝜃2 𝑺23 𝑉2 2 𝑉2𝑉3𝜃23 𝑔23 𝑗𝑏23 𝑗𝑏23 𝑠ℎ𝑉2 2 𝑆23 𝑔23𝑉2 2 𝑗𝑏23𝑉2 2 𝑔23𝑉2𝑉3𝜃23 𝑗𝑏23𝑉2𝑉3𝜃23 𝑗𝑏23 𝑠ℎ𝑉2 2 Fazendo 𝑉2𝑉3𝜃23 𝑉2𝑉3 𝑐𝑜𝑠𝜃23 𝑗𝑠𝑒𝑛𝜃23 𝑃23 𝑔23𝑉2 2 𝑔23𝑉2𝑉3𝑐𝑜𝑠𝜃23 𝑏23𝑉2𝑉3𝑠𝑒𝑛𝜃23 𝑄23 𝑏23 𝑏23 𝑠ℎ 𝑉2 2 𝑏23𝑉2𝑉3𝑐𝑜𝑠𝜃23 𝑔23𝑉2𝑉3𝑠𝑒𝑛𝜃23 Exemplo Solução Fluxo 𝑆32 𝑺32 𝑽3 𝑰32 𝑺32 𝑽3 𝑽3 𝑽2 𝑔23 𝑗𝑏23 𝑗𝑏23 𝑠ℎ𝑽3 𝑺32 𝑉3𝜃3 𝑉3 𝜃3 𝑉2 𝜃2 𝑔23 𝑗𝑏23 𝑗𝑏23 𝑠ℎ𝑉3 𝜃3 𝑺32 𝑉3 2 𝑉3𝑉2𝜃32 𝑔23 𝑗𝑏23 𝑗𝑏23 𝑠ℎ𝑉3 2 𝑆32 𝑔23𝑉3 2 𝑗𝑏23𝑉3 2 𝑔23𝑉3𝑉2𝜃32 𝑗𝑏23𝑉3𝑉2𝜃32 𝑗𝑏23 𝑠ℎ𝑉3 2 Fazendo 𝑉3𝑉2𝜃32 𝑉3𝑉2 𝑐𝑜𝑠𝜃32 𝑗𝑠𝑒𝑛𝜃32 𝑃32 𝑔23𝑉3 2 𝑔23𝑉3𝑉2𝑐𝑜𝑠𝜃32 𝑏23𝑉3𝑉2𝑠𝑒𝑛𝜃32 𝑄32 𝑏23 𝑏23 𝑠ℎ 𝑉3 2 𝑏23𝑉3𝑉2𝑐𝑜𝑠𝜃32 𝑔23𝑉3𝑉2𝑠𝑒𝑛𝜃32 Exemplo Solução Aplicando a conservação da energia às barras 𝑃1 𝑃12 𝑃13 𝑃2 𝑃21 𝑃23 𝑃3 𝑃31 𝑃32 𝑄1 𝑄12 𝑄13 𝑄2 𝑄21 𝑄23 𝑄3 𝑄31 𝑄32 𝑃1 𝑔12 𝑎12𝑉1 2 𝑎12𝑔12𝑉1𝑉2𝑐𝑜𝑠𝜃12 𝑎12𝑏12𝑉1𝑉2𝑠𝑒𝑛𝜃12 𝑔13𝑉1 2 𝑔13𝑒𝑗𝜑13𝑉1𝑉3𝑐𝑜𝑠𝜃13 𝑏13𝑒𝑗𝜑13𝑉1𝑉3𝑠𝑒𝑛𝜃13 𝑃1 𝑎12 2 𝑔12 𝑔13 𝑉1 2 𝑎12𝑔12𝑉1𝑉2𝑐𝑜𝑠𝜃12 𝑔13𝑒𝑗𝜑13𝑉1𝑉3𝑐𝑜𝑠𝜃13 𝑎12𝑏12𝑉1𝑉2𝑠𝑒𝑛𝜃12 𝑏13𝑒𝑗𝜑13𝑉1𝑉3𝑠𝑒𝑛𝜃13 Exemplo Solução 𝑃2 𝑔12𝑉2 2 𝑎12𝑔12𝑉2𝑉1𝑐𝑜𝑠𝜃21 𝑎12𝑏12𝑉2𝑉1𝑠𝑒𝑛𝜃21 𝑔23𝑉2 2 𝑔23𝑉2𝑉3𝑐𝑜𝑠𝜃23 𝑏23𝑉2𝑉3𝑠𝑒𝑛𝜃23 𝑃2 𝑔12 𝑔23 𝑉2 2 𝑎12𝑔12𝑉2𝑉1𝑐𝑜𝑠𝜃21 𝑔23𝑉2𝑉3𝑐𝑜𝑠𝜃23 𝑎12𝑏12𝑉2𝑉1𝑠𝑒𝑛𝜃21 𝑏23𝑉2𝑉3𝑠𝑒𝑛𝜃23 𝑃3 𝑔13𝑉3 2 𝑔13𝑒𝑗𝜑13𝑉3𝑉1𝑐𝑜𝑠𝜃31 𝑏13𝑒𝑗𝜑13𝑉3𝑉1𝑠𝑒𝑛𝜃31 𝑔23𝑉3 2 𝑔23𝑉3𝑉2𝑐𝑜𝑠𝜃32 𝑏23𝑉3𝑉2𝑠𝑒𝑛𝜃32 𝑃3 𝑔13 𝑔23 𝑉3 2 𝑔13𝑒𝑗𝜑13𝑉3𝑉1𝑐𝑜𝑠𝜃31 𝑔23𝑉3𝑉2𝑐𝑜𝑠𝜃32 𝑏13𝑒𝑗𝜑13𝑉3𝑉1𝑠𝑒𝑛𝜃31 𝑏23𝑉3𝑉2𝑠𝑒𝑛𝜃32 Exemplo Solução 𝑄1 𝑏12 𝑎12𝑉1 2 𝑎12𝑏12𝑉1𝑉2𝑐𝑜𝑠𝜃12 𝑎12𝑔12𝑉1𝑉2𝑠𝑒𝑛𝜃12 𝑏13𝑉1 2 𝑏13𝑒𝑗𝜑13𝑉1𝑉3𝑐𝑜𝑠𝜃13 𝑔13𝑒𝑗𝜑13𝑉1𝑉3𝑠𝑒𝑛𝜃13 𝑄1 𝑎12 2 𝑏12 𝑏13 𝑉1 2 𝑎12𝑏12𝑉1𝑉2𝑐𝑜𝑠𝜃12 𝑏13𝑒𝑗𝜑13𝑉1𝑉3𝑐𝑜𝑠𝜃13 𝑎12𝑔12𝑉1𝑉2𝑠𝑒𝑛𝜃12 𝑔13𝑒𝑗𝜑13𝑉1𝑉3𝑠𝑒𝑛𝜃13 𝑄2 𝑏12𝑉2 2 𝑎12𝑏12𝑉2𝑉1𝑐𝑜𝑠𝜃21 𝑎12𝑔12𝑉2𝑉1𝑠𝑒𝑛𝜃21 𝑏23 𝑏23 𝑠ℎ 𝑉2 2 𝑏23𝑉2𝑉3𝑐𝑜𝑠𝜃23 𝑔23𝑉2𝑉3𝑠𝑒𝑛𝜃23 𝑄2 𝑏12 𝑏23 𝑏23 𝑠ℎ 𝑉2 2 𝑎12𝑏12𝑉2𝑉1𝑐𝑜𝑠𝜃21 𝑏23𝑉2𝑉3𝑐𝑜𝑠𝜃23 𝑎12𝑔12𝑉2𝑉1𝑠𝑒𝑛𝜃21 𝑔23𝑉2𝑉3𝑠𝑒𝑛𝜃23 Exemplo Solução 𝑄3 𝑏13𝑉3 2 𝑏13𝑒𝑗𝜑13𝑉3𝑉1𝑐𝑜𝑠𝜃31 𝑔13𝑒𝑗𝜑13𝑉3𝑉1𝑠𝑒𝑛𝜃31 𝑏23 𝑏23 𝑠ℎ 𝑉3 2 𝑏23𝑉3𝑉2𝑐𝑜𝑠𝜃32 𝑔23𝑉3𝑉2𝑠𝑒𝑛𝜃32 𝑄3 𝑏13 𝑏23 𝑏23 𝑠ℎ 𝑉3 2 𝑏13𝑒𝑗𝜑13𝑉3𝑉1𝑐𝑜𝑠𝜃31 𝑏23𝑉3𝑉2𝑐𝑜𝑠𝜃32 𝑔13𝑒𝑗𝜑13𝑉3𝑉1𝑠𝑒𝑛𝜃31 𝑔23𝑉3𝑉2𝑠𝑒𝑛𝜃32 Exemplo Solução Das expressões de injeção líquida de potência verificase que 𝐺 𝑎12 2 𝑔12 𝑔13 𝑎12𝑔12 𝑔13𝑒𝑗𝜑13 𝑎12𝑔12 𝑔12 𝑔23 𝑔23 𝑔13𝑒𝑗𝜑13 𝑔23 𝑔13 𝑔23 𝐵 𝑎12 2 𝑏12 𝑏13 𝑎12𝑏12 𝑏13𝑒𝑗𝜑13 𝑎12𝑏12 𝑏12 𝑏23 𝑏23 𝑠ℎ 𝑏23 𝑏13𝑒𝑗𝜑13 𝑏23 𝑏13 𝑏23 𝑏23 𝑠ℎ Exercício Obtenha as matrizes de condutância e susceptância para o sistema do exemplo anterior considerando os valores mostrados a seguir De Para 𝒓𝒌𝒎 𝒙𝒌𝒎 ൘ 𝒃𝒌𝒎 𝒔𝒉 𝟐 𝒂𝒌𝒎 𝝋𝒌𝒎 1 2 001 010 00 098 0 1 3 002 020 00 1 30 2 3 003 060 005 1 0 Exercício Solução Construção das matrizes de condutância e susceptância Dados dos Ramos BranchData 1 2 001 010 000 098 00 1 3 002 020 000 100 300 2 3 003 060 005 100 000 nrowncol sizeBranchData aux maxBranchData1nrow12 nbus maxaux ybus1nbus1nbus 0 for ic 1nrow Barra na posição k k BranchDataic1 Barra na posição m m BranchDataic2 admitância série ykm 1BranchDataic3 BranchDataic41i susceptãncia shunt bsh BranchDataic51i Tap tap BranchDataic6 Defasagem em radianos phi BranchDataic7pi180 Elemento da posição kk ybuskk ybuskk tap2ykm bsh Elemeneto da posição km ybuskm tapexp1iphiykm Elemento da posição mk ybusmk tapexp1iphiykm Elemento da posição mm ybusmm ybusmm ykm bsh end Gbus realybus Bbus imagybus Exercício Solução Exercício Solução 𝐺 14459 09703 29040 09703 10732 00831 20465 00831 05782 𝐵 144594 97030 40397 97030 115135 16625 45348 16625 65630