Lista de Exercícios Resolvidos - Números Complexos e Métodos Matemáticos

PRIMEIRA LISTA DE EXERCÍCIOS DE MÉTODOS MATEMÁTICOS Professor Ariovaldo Marques Jatobá 2021 1 SOLUÇÃO Verifique as igualdades a sqrt2i i 1 isqrt2 2i b frac51i2i3i frac12i c 2z 5sqrt2 i sqrt3 2z 5 d frac12i34i frac2i5i frac25 e 1 isqrt310 211 1 isqrt3 f frac1isqrt2sqrt2 i i 2 Represente graficamente os números z1 z2 z1 z2 e z1 z2 quando a z1 3 i z2 3 fraci2 b z1 sqrt3 1 z2 sqrt3 0 c z1 frac1i2sqrt2 z2 1 sqrt3 i 3 SOLUÇÃO Mostre que cada um dos dois números z 1 pm i satisfaz a equação z2 2z 2 0 4 SOLUÇÃO Mostre que frac55i34i frac2043i 3 i 5 SOLUÇÃO Se z 1 i e w 4i expresse os seguintes números complexos na forams x yi a 2z iwz zoverlinew3 b 2w 1 iz z2 c fracwzwz d Imoverlinezw2 16i Rezw1 6 SOLUÇÃO Resolva as seguintes equações a z overlinez 4 b z overlinez 6i c z 2overlinez 1 i 7 SOLUÇÃO Mostre que a 1 i5 2i10 3i13 1 2i b frac330 i192i 1 1 i 8 SOLUÇÃO Calcule z1 sumn1201 in e z2 ii2 ldots i100 1 9 SOLUÇÃO Critique o seguinte raciocínio 1 ii sqrt1 cdot sqrt1 sqrt1 cdot 1 sqrt1 1 10 SOLUÇÃO Escreva na forma polar os seguintes números complexos a 1 i sqrt3 b 1 i c sqrt3 i6 d 2 i2 sqrt3 e 3i f frac4sqrt3 i g 1 i sqrt38 11 SOLUÇÃO Sejam z1 sqrt3 3i e z2 frac3 i sqrt32 Escreva z1 z2 z1 cdot z2 e fracz1z2 na forma polar 12 SOLUÇÃO Usando a forma polar a 1 i7 81 i b 1 i sqrt310 211 1 i sqrt3 c 1 i4 4 d 1 i sqrt31000 13 SOLUÇÃO Prove que a z é real se z overlinez b z é real ou imaginário puro se z2 overlinez2 14 SOLUÇÃO Calcule as seguintes raízes complexas a sqrt31 b sqrt41 i sqrt3 c 1 i sqrt3frac32 d 1frac34 f sqrt38i g sqrt38 h sqrt327 i sqrt81 15 SOLUÇÃO Determine as soluções das seguintes equações a z2 1 i sqrt3 b z5 1 c z2 2z 2 0 d z7 1 i 16 SOLUÇÃO É verdade que sqrt3z2 sqrt3z2 para todo z in mathbbC Dica considere z i 17 SOLUÇÃO Mostre que a forma quadrática usual resolve a equação quadrática az2 bz c 0 onde os coeficientes a eq 0 b c são números complexos a Use esta fórmula para encontrar as soluções de z2 4z 5 0 b Verifique que as raízes quadradas de 15 8i são 1 4i e 1 4i Dica chame z x iy e resolva x iy2 15 8i determinando x e y c Resolva a equação z2 2i 3z 5 i 0 2 18 SOLUÇÃO Reduza à forma r ei heta cada um dos números complexos dados a 1 i b 1 i sqrt3 c fraci1i d 1 i 19 SOLUÇÃO a Descreva geometricamente o conjunto S do números complexos z que satisfazem à condição z 1 2z 1 b Descreva geometricamente o conjunto S do números complexos z que satisfazem à condição leftfracz3z3right 2 20 SOLUÇÃO Represente graficamente os conjuntos dos pontos z in mathbbC que satisfazem a Imz 3 b z 2i geq 2 c z 1 i 3 d Re left frac1z right frac12 e arg z fracpi2 f 1 z 2i leq 2 g Re leftz2right 0 h z 4 z 21 SOLUÇÃO Mostre que a exp0 1 b exp2 pm 3 pi i e2 c exp leftfracpi2 i right i d exp leftfrac2 pi i4right sqrte frac1isqrt2 e exp leftz pi iright exp z f expnz frac1exp zn n 12 ldots 22 SOLUÇÃO Estabeleça as fórmulas de Euler cos heta fracei heta ei heta2 e sin heta fracei heta ei heta2i 23 SOLUÇÃO Determine todos os números complexos z tais que a exp 2z 2 b exp z 1 i sqrt3 c exp 2z 1 1 24 SOLUÇÃO Determine o conjunto dos z tais que exp z é imaginário puro 25 SOLUÇÃO Mostre que exp i overlinez eq exp iz a menos que z k pi onde k in mathbbZ 26 SOLUÇÃO Simplifique exp 2z i e exp i z2 e mostre que exp 2z i exp i z2 leq e2x e2xy onde z x iy 27 SOLUÇÃO Mostre que exp 2z 1 se e somente se o ponto z se encontra no semiplano x 0 3 Solução 2 z1 i i2 i3 i4 i197 i198 i199 i200 i201 iz1 i2 i3 i4 i5 i198 i199 i200 i201 i202 Logo z1 iz1 i i202 z11 i i i202 Portanto z1 i i2021 i i i45021 i i 11 i 1 i1 i 1 i1 i 1 2i 12 i b z2 i i2 i100 i123100 i1001012 i50101 i100150 i42550 i50 1i4122 1 SOLUÇÃO DA QUESTÃO 9 RETORNAR NA QUESTÃO 9 A critica é que 1 i i e também a propriedade a b a b só é válido para a b 0 Ou seja 1 1 1 1 SOLUÇÃO DA QUESTÃO 10 RETORNAR NA QUESTÃO 10 a z 1 i3 Encontrando o raio e o ângulo r 12 32 4 2 sin θ br 32 cos θ ar 12 Assim θ π3 Escrevendo em coordenadas polares temos z 2cosπ3 i sinπ3 b z 1 i Encontrando o raio e o ângulo r 12 12 2 sin θ 12 22 cos θ 12 22 e θ 5π4 Portanto z 2cos 5π4 i sin 5π4 c 3 i6 Faremos primeiro para z 3 i Observe que z está no quarto quadrante r 3 1 2 cos θ 32 e sin θ 12 θ 11π6 Assim a fórmula polar é METODOS MATEMATICOS FAMATUFU 3 wz wz 4i1i 4i1i 13i 15i 15i 15i 15i3i15i2 125 148i 26 7 13 4 13i 4 Temos zw2 1 i4i2 16 16i e zw1 1i 4i 1 4 1 4i Logo Imzw2 16iRezw1 16 16i 1 4 16 4i SOLUC AO DA QUESTAO 6 RETORNAR NA QUESTAO 6 Tome z a bi entao a z z a bi a bi 4 o que implica que 2a 4 ou seja a 2 Portanto z 2 bi b z z a bi a bi 2bi 6i ou seja b 3 Portanto z a 3i c z 2z 1 i a bi 2a bi 1 i 3a bi 1 i Portanto a 1 3 e b 1 Portanto z 1 3 i SOLUC AO DA QUESTAO 7 RETORNAR NA QUESTAO 7 Neste exercıcios utilizaremos i4k 1 i4k1 i i4k2 1 i4k3 i k 0 1 2 3 aMostremos que 1 i5 2i10 3i13 1 2i 1 i5 2i10 3i13 1 i41 2i422 3i431 1 i 21 3i 1 2i b Mostremos que 3i30 i19 2i 1 1 i Temos 3i30 i19 2i 1 3i472 i443 2i 1 31 i 2i 1 3 i 2i 1 2i 1 2i 1 6i 3 2i2 i 12 4 5 5i 5 1i SOLUC AO DA QUESTAO 8 RETORNAR NA QUESTAO 8 aSolucao 1 Temos um ciclo de 4 em 4 cuja soma e zero z1 i i2 i3 i4 i197 i198 i199 i200 i201 z1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 0 0 i i 5 Gabarito SOLUÇÃO DA QUESTÃO 1 RETORNAR NA QUESTÃO 1 1 2 i i 1 i2 2 i i i22 2 2i 2 2i 2 51i2i3i 52i2ii23i 5 13i3i 53i9i3i2 510i 510i i 12 i 3 2z 52 i 2z 5 2 i 2z 522 12 2z 53 4 12i34i 34i 2i5i 34i6i8i23242 2i5i 5i5i 510i25 510i25 1025 25 5 Utilizando que 1 i3 2 cosπ3 i sinπ3 temos 1 i310 11 i310 12 cosπ3 i sinπ310 1210 cos10π3 i sin10π3 1210 cos2π π π3 i sin2π π π3 1210 cosπ π3 i sinπ π3 1210 12 i32 2111 i3 6 1i22i 1i22i 2i2i 22ii2 i221 3i3 i SOLUÇÃO DA QUESTÃO 3 RETORNAR NA QUESTÃO 3 Temos z² 2z 2 0 Logo 4 42 4 e solução é z 2i42 22i2 1 i SOLUÇÃO DA QUESTÃO 4 RETORNAR NA QUESTÃO 4 55i34i 2043i 55i34i 34i34i 2043i 43i43i 35i525 80i6025 7525i25 3 i SOLUÇÃO DA QUESTÃO 5 RETORNAR NA QUESTÃO 5 Se z 1 i e w 4i expresse os seguintes números complexos na foram x yi 1 2z iwz zw3 21 i i4i1 i 1 i4i3 2 2i 4 4i 1 i64i3 2 2i 1 i64i 2 2i 64i 64 66 62i 2 2w1izz2 24i1i1i1i2 8111i2 101 12 12 z6 2 cos11π6 i sin11π66 26cos611π6 i sin611π6 26cos11π i sin11π 26cosπ i sinπ 26 d z 2 23i r z cos θ ar sin θ br r a2 b2 o que implica que r 22 232 16 4 Assim cos θ 12 sin θ 32 Logo θ π3 z 4cos π3 i sin π3 e z 3i Assim a 0 b 3 Portanto r 0 32 3 e cosθ 03 sinθ 33 1 Portanto θ π π2 3π2 e z 3cos 3π2 i sin 3π2 f z 43 i Solução 1 43 i 43 i 3 i3 i 43 4i3 1 43 4i4 3 i Calculando r 32 12 2 cos θ 32 sen θ 12 θ π π6 7π6 Portanto z 2 cos7π6 isen7π6 Solução 2 Utilizando z₂ 3 i 2 cos11π6 i sin11π6 e z₁ 4 4 cos π i sin π Portanto 43 i z₁z₂ 42 cosπ 11π6 i sinπ 11π6 2 cos5π6 i sin5π6 2 cos7π6 i sin7π6 f 1 i3⁸ r 2 n 8 arctg31 θ π3 z 2⁸ cos 8π3 i sin 8π3 2⁸ cos 2π3 i sin 2π3 2⁷ 1 3i SOLUÇÃO DA QUESTÃO 11 RETORNAR NA QUESTÃO 11 i Para z₁ 3 3i temos r 3² 3² 12 23 Portanto cosθ 323 12 sinθ 323 323 33 sinθ 32 Logo θ π3 E assim z₁ 23 cosπ3 i sen π3 ii Para z₂ 3 i32 temos r 32² 32² 3 cosθ 32 3 32 3 3 32 sinθ 32 3 32 3 3 12 Portanto θ 2π π6 11π6 E assim z₂ 3 cos11π6 isen11π6 iii Para z₁ z₂ temos z₁z₂ 23 3 cos11π6 π3 i sin11π6 π3 6 cos13π6 i sin13π6 33 i iv Para z₁z₂ temos z₁z₂ 233 cosπ3 11π6 isinπ3 11π6 2 cos3π2 i sin3π2 2 cos2π 3π2 i sin2π 3π2 2 cosπ2 i sinπ2 2i SOLUÇÃO DA QUESTÃO 12 RETORNAR NA QUESTÃO 12 a Mostre que 1 i⁷ 81 i Para z 1 i na forma polar obtemos r 2 θ 3π4 Fazendo a potência obtemos z⁷ 2⁷ cos7 3π4 i sin7 3π4 82 cos5π4 4π i sin5π4 4π 82 cos5π4 i sin5π4 82 cosπ4 π i sinπ4 π 82 22 i 22 81 i b Mostre que 1 i3¹⁰ 2¹¹ 1 i3 r 1² 3² 1 3 4 2 Assim cosθ 12 e sinθ 32 Logo cos¹12 π3 e sin¹32 π3 Daí 1 i3¹⁰ 2 cos π3 i sin π3¹⁰ 2¹⁰ cos10 π3 i sin10 π3 2¹⁰ cos4π 2π3 i sin4π 2π3 2¹⁰ cos2π3 i sin2π3 2¹⁰ 12 i 32 2¹¹ 1 i 3 c Mostre que 1 i⁴ 4 Para z 1 i temos que r 1² 1² 2 e cosθ 22 sinθ 22 θ 7π4 Portanto z⁴ 2⁴ cos 4 7π4 i sin 4 7π4 1 i0 4 cos 7π i sin 7π 4 cos π i sin π 4 d Solução 1 Utilizando do item b que 1 i3 2 cos π3 i sin π3 temos 1 i3¹⁰⁰⁰ 2 cos π3 i sin π3¹⁰⁰⁰ 2¹⁰⁰⁰ cos1000 π3 i sin1000 π3 2¹⁰⁰⁰ cos332π 4π3 i sin332π 4π3 2¹⁰⁰⁰ cos2 166 4π3 i sin2 166 4π3 2¹⁰⁰⁰ cos4π3 i sin4π3 2¹⁰⁰⁰ 12 i 32 2⁹⁹⁹ 1 i 3 Solução 2 Observe que 1 i3³ 2 cos π3 i sin π3³ 2³ cos 3π3 i sin 3π3 8 Então 1 iv31000 1 iv333331 1 iv33333 1 iv3 8333 1 iv3 83331 iv3 29991 iv3 SOLUÇÃO DA QUESTÃO 13 RETORNAR NA QUESTÃO 13 a Mostre z é real se z z Sendo z a bi então z a bi Supondo que z z temos b Imz z z2i a bi a bi2i 02i 0 Portanto b Imz 0 ou seja z é real b z é real ou imaginário puro se z2 z2 Vamos supor que z2 z2 Assim a ib2 a ib2 a2 2abi b2 a2 2abi b2 2abi b2 2abi b2 4abi 0 Neste caso ou b 0 ou a 0 Se b 0 então z é real Se a 0 então z é imaginário puro SOLUÇÃO DA QUESTÃO 14 RETORNAR NA QUESTÃO 14 a 1 z3 1 Para 1 temos r 1 θ π E as soluções são zk 1cosπ 2kπ3 i sinπ 2kπ3 k 012 Para k 2 z2 cos5π3 i sin5π3 12 i 32 Para k 0 z0 cosπ3 i sinπ3 12 i 32 Para k 1 z1 cos3π3 i sin3π3 1 Portanto 1 1 12 i 32 12 i 32 b 1 iv3 Para z0 1 iv3 temos r 2 n 4 θ 2π3 E as soluções são zk 42 cos2π3 2kπ4 i sin2π3 2kπ4 k 0123 k 0 z0 42 cosπ6 i sinπ6 42 32 i 12 k 1 z1 42 cos2π3 2π4 i sin2π3 2π4 42 cos2π3 i sin2π3 42 12 i 32 k 2 z2 42 cos7π6 i sin7π6 42 32 i2 k 3 z3 42 cos10π6 isen 10π6 42 12 i 32 1 iv3 42 32 i 12 42 12 i 32 42 32 i2 42 12 i 32 c d 134 13 1 r1 n4 Θπ E as soluções são zk 1 cosπ 2kπ4 i sinπ 2kπ4 k 0123 k 0 z0 cosπ4 i sinπ4 22 i 22 k 1 z1 cos3π4 i sin3π4 22 i 22 k 2 z2 cos5π4 i sin5π4 22 i 22 k 3 z2 cos7π4 i sin7π4 22 i 22 Portanto 134 22 i22 22 i22 22 i22 22 i22 f 8i z3 8i w8i r8 θπ2 Então as soluções são zk 8 cosπ2 2kπ3 i sinπ2 2kπ3 k012 Para k0 z0 8 cosπ6 i sinπ6 2 32 i 12 Para k1 z1 8 cos5π6 i sin5π6 2 32 i 12 Para k2 z2 8 cos3π2 i sin3π2 2i Portanto 8i 2 32 i 12 2 32 i 12 2i g 8 z3 8 w8 r8 θ0 Então as soluções são zk ³8 cos 0 2kπ 3 i sin 0 2kπ 3 k 0 1 2 Para k 0 z0 ³8 cos 0 i sin 0 2 Para k 1 z1 ³8 cos 2π 3 i sin 2π 3 2 12 i 32 Para k 2 z2 ³8 cos 4π 3 i sin 4π 3 2 12 i 32 Portanto ³8 2 1 i3 1 i3 h ³27 ³3³ 3 ³1 3 1 12 i 32 i 32 3 32 i 33 2 32 i 33 2 i ⁸1 ou z⁸ 1 w 1 r 1 θ 0 Então as soluções são zk cos kπ 4 i sin kπ 4 k 0 1 2 3 4 5 6 7 Para k 0 z0 cos 0 i sin 0 1 Para k 1 z1 cos π 4 i sin π 4 2 2 i 2 2 Para k 2 z2 cos π 2 i sin π 2 i Para k 3 z3 cos 3π 4 i sin 3π 4 2 2 i 2 2 Para k 4 z4 cos π i sin π 1 Para k 5 z5 cos 5π 4 i sin 5π 4 2 2 i 2 2 14 Para k 6 z6 cos 3π 2 i sin 3π 2 i Para k 7 z1 cos 7π 4 i sin 7π 4 2 2 i 2 2 Portanto ⁸1 1 1 i i 2 2 i 2 2 2 2 i 2 2 2 2 i 2 2 2 2 i 2 2 SOLUÇÃO DA QUESTÃO 15 RETORNAR NA QUESTÃO 15 a z² 1 i3 ou seja 1 i3 Neste caso w 1 i3 r 2 n 2 θ 5π 3 Assim as soluções são zk 2 cos 5π 3 2kπ 2 i sin 5π 3 2kπ 2 k 0 1 Para k 0 z0 2 cos 5π 6 i sin 5π 6 2 3 2 12 i Para k 1 z1 2 cos 11π 6 i sin 11π 6 2 3 2 12 i Portanto z 2 3 2 12 i 2 3 2 12 i b z⁵ 1 ⁵1 Para 1 temos r 1 θ π E as soluções são zk 1 cos π 2kπ 5 i sin π 2kπ 5 k 0 1 2 3 4 Para k 0 z0 cos π 5 i sin π 5 15 Para k 1 z1 cos 3π 5 i sin 3π 5 Para k 2 z2 cos 5π 5 i sin 5π 5 1 Para k 3 z3 cos 7π 5 i sin 7π 5 cos 7π 5 5 1 4 Para k 4 z4 cos 9π 5 i sin 7π 5 cos 9π 5 1 5 4 e sin 9π 5 2 5 5 4 c z² 2z 2 0 Resolvendo como equação de 2 grau 4 8 4 z 2 4 2 Temos então z1 1 i z2 1 i d z⁷ 1 i ou z ⁷1 i Para w 1 i r 2 n 7 θ 5π 4 Então as soluções são zk cos 5π 4 2kπ 7 i sin 5π 4 2kπ 7 k 0 1 2 3 4 5 6 SOLUÇÃO DA QUESTÃO 16 RETORNAR NA QUESTÃO 16 É verdade que z² z² para todo z C Para z i temos i² 1 1 12 i32 12 i32 z² i² i 32 12 i 32 12 i² i² i32 12 i i32 12 i 32 12 i² 32 12 i² 32 12 i32 12 i 1 12 32 i 12 32 i É verdade SOLUÇÃO DA QUESTÃO 17 RETORNAR NA QUESTÃO 17 a z² 4z 5 0 Δ 4 z 4 2i 2 z₁ 2 i e z₂ 2 i b 1 4i² 1 214i 16 15 8i e 1 4i² 1 214i 16 15 8i c z² 2i 3z 5 i 0 temos Δ 15 8i e z 2i 3 1 4i 2 z₁ 1 i e z₂ 2 3i SOLUÇÃO DA QUESTÃO 18 RETORNAR NA QUESTÃO 18 a Coordenadas polares obtemos r 2 sin θ 2 2 cos θ 2 2 θ π 4 forma exponencial 1 i 2 cos π4 i sin π4 2 eiπ4 b Coordenadas polares obtemos r 2 sin θ 12 cos θ 32 θ π6 forma exponencial 1 i3 2 eπi6 c Coordenadas polares obtemos z i1i i1i 1 i1 i 12 12 i r 12 θ π4 forma exponencial z 12 eπ4 i d Coordenadas polares para z 1 i obtemos r 2 sin θ 22 cos θ 22 θ 7π4 forma exponensial z 2 e7π4 i SOLUÇÃO DA QUESTÃO 19 RETORNAR NA QUESTÃO 19 a Seja z a bi então z 1 2z 1 a bi 1 2a bi 1 a 1² b² 2 a 1² b² a² 2a 1 b² 4 a² 2a 1 b² 4a² 8a 4 4b² 3a² 10a 3b² 3 0 a² 103 a b² 1 0 a 53² a b² 43² Circunferência de R 43 e centro O 53 0 b Seja z x iy z 3 2 z 3 x 3² y² 2 x 3² y² x² 6x 9 y² 4x² 24x 36 4y² 3x² 30x 3y² 27 0 x² 10x y² 9 0 x 5² y² 4² O conjunto interior da circunferência de raio R 4 e centro 0 5 0 SOLUÇÃO DA QUESTÃO 20 RETORNAR NA QUESTÃO 20 a Im z 3 Seja z x iy se y 3 então temos o conjunto solução S x y R² x R y 3 b Seja z x iy e z 2i 2 então temos x iy 2i 2 x² y 2² 2² O conjunto solução é os pontos exteriores a circunferência de raio R 2 e centro 0 0 2 c Seja z x iy e z 1 i 3 então z yi 1 i 3 ou x 1² y 1² 3² O conjunto solução é os pontos interiores a circunferência de raio R 3 e centro 0 1 1 d e análogos SOLUÇÃO DA QUESTÃO 21 RETORNAR NA QUESTÃO 21 Definição ez ex cosy iseny Logo a e⁰ e⁰ cos 0 i sin 0 1 0i 1 b e2 3πi e² cos3π isen3π e² c eπ2 i cos π2 isen π2 i d exp2 πi4 e12 πi4 e12 cosπ4 i senπ4 e12 sqrt22 sqrt2i2 sqrte 1 i sqrt2 e Temos que eziπ ez eiπ eiπ e0 cosπ i senπ 1 Então eziπ ez f Mostrar que enz 1 ezn Seja z x iy então enz enxiy enxnyi enx cosnx i sennx enx cosnx i sennx enx cosnx i sennx cosnx i sennx cosnx i sennx 1 enx cosnx i sennx 1 ex cos x i sin x n 1 ezn SOLUÇÃO DA QUESTÃO 22 RETORNAR NA QUESTÃO 22 cosθ eiθ eiθ2 e sinθ eiθ eiθ2i Temos que eiθ cosθ i sinθ e eiθ cosθ i sinθ Somando as equações obtemos eiθ eiθ 2 cosθ cosθ eiθ eiθ2 Subtraindo as equações obtemos eiθ eiθ 2 i sinθ sinθ eiθ eiθ2i SOLUÇÃO DA QUESTÃO 23 RETORNAR NA QUESTÃO 23 Utilizaremos a Proposição ez ew se somente se z w 2kπi para algum k Z a e2z 2 e2z 2 eπi e2z eln 2 eπi e2z eln 2 πi Temos que 2z ln 2 πi 2kπi k Z ou seja z ln 2 2 2k 1 πi 2 k Z O conjunto solução é S z C z ln 2 2 2k 1 πi 2 k Z b ez 1 i3 ez 2 cosπ3 i sinπ3 ez eln 2 eπ3 i ez eln 2 π3 i ou seja z ln 2 π3 i 2kπi k Z O conjunto solução é S z C z ln 2 π3 i 2kπi k Z c e2z1 1 e2z1 e0 Assim 2z 1 0 2kπi k Z ou seja z 12 kπi k Z O conjunto solução é S z C z 12 kπi k Z SOLUÇÃO DA QUESTÃO 24 RETORNAR NA QUESTÃO 24 Seja z x iy então ez ex cos y iex sin y Como expz é imaginário puro então ex cos y 0 cosy 0 y π2 kπ k Z Portanto o conjunto solução é S z C z x π2 kπ i x R k Z SOLUÇÃO DA QUESTÃO 25 RETORNAR NA QUESTÃO 25 Seja z x iy então eiz eixiy ey ix ey cosx i senx eiz eix iy ey ix ey cosx i senx ey cosx i senx Vamos supor que eiz eiz então das equações acimas temos ey cosx i senx ey cosx i senx ou seja ey cosx ey cosx e ey sinx ey sinx Assim y 0 e sin x 0 o que implica que x kπ Z Portanto z kπ onde k Z SOLUÇÃO DA QUESTÃO 26 RETORNAR NA QUESTÃO 26 Seja z x iy então e2xiy i e2x i2y1 e2x cos2y 1 i e2x sin2y 1 sqrt e2x cos2y 1 2 e2x sin2y 1 2 sqrt e2x 2 cos2y 12 sin22y 1 e2x e eiz2 eix2 y2 2xyi e2xy ix2 y2 e2xy ex2 y2 i e2xy Portanto pela desigualdade triangular exp 2z i exp iz2 e2z i eiz2 e2x e2xy SOLUÇÃO DA QUESTÃO 27 RETORNAR NA QUESTÃO 27 Seja z x iy então e2xiy e2x2iy e2x cos2y ie2x sin2y e2x cos2y2 e2x sin2y2 e2x2 cos2y2 sin22y e2x Logo se e2xiy e2x 1 então e2x 1 e2x 1 x 0