Lista de Exercícios - Transformada de Laplace e Delta de Dirac

Métodos Matemáticos 5ª LISTA DE EXERCÍCIOS TRANFORMADA DE LAPLACE Professor Ariosvaldo Marques Jatobá Tanformada de Laplace da função impulso Delta de Dirac Definição 01 A função delta de Dirac pode ser caracterizada por duas propriedades i 𝛿ₜ₀t 𝛿tt₀ t t₀ 0 t t₀ ii ₀ 𝛿ₜ₀t dt 1 Teorema 02 Transformada de função Delta de Dirac 𝓛𝛿ₜ₀t eˢᵗ₀ 𝓛𝛿t 1 1 SOLUÇÃO Resolva y 3y 𝛿₂t y0 0 2 SOLUÇÃO Resolva y y 4𝛿₂ᵨt sujeita a i y0 1 y0 0 ii y0 0 y0 0 3 SOLUÇÃO Resolva y 4y 5y 𝛿₂ᵨt sujeita a y0 0 y0 0 Sistema de Equações 4 SOLUÇÃO Resolva via transformada de Laplace o sistema de equações diferenciais dxdt x y dydt 2x sujeita a x0 0 y0 1 Resposta xt 13e²ᵗ 13eᵗ e yt 13e²ᵗ 23eᵗ 5 SOLUÇÃO Resolva via transformada de Laplace o sistema de equações diferenciais dxdt x 2y dydt 5x y sujeita a x0 1 y0 2 Resposta xt cos3t 53sen3t e yt 2cos3t 73sen3t METODOS MATEMATICOS FAMATUFU 6 SOLUC AO Resolva via transformada de Laplace o sistema de equacoes diferenciais x 2y 4t y 2y 4x 4t 2 sujeita a x0 4 y0 5 Resp xt 3e4t e2t e yt 6e4t e2t 2t 7 SOLUC AO Resolva via transformada de Laplace o sistema de equacoes diferenciais x 1 10x1 4x2 0 4x1 x 2 4x2 0 sujeita a x10 0 x 10 1 x20 0 e x 20 1 Resposta x1t 2 10 sen 2t 3 5 sen 2 3t x2t 2 5 sen 2t 3 10 sen 2 3t 8 SOLUC AO Ache uma solucao geral para x 3x 4y 1 y 4x 7y 10t utilizando o operador D Resp xt 1 2c1e5t2c2et8t5 yt c1e5tc2et6t2 9 SOLUC AO Ache uma solucao geral para x y x y 1 x y x t2 utilizando o operador D Resposta xt c1et c2tet c3et t2 4t 6 yt c2et 2c3et t2 2t 3 2 Aplicações 10 SOLUÇÃO Uma massa presa a uma mola é liberados do repouso 1m abaixo da posição de equilíbrio para o sistema do tipo massamola e começa a vibrar Após π2 segundos a massa é atingida por um martelo exercendo um impulso sobre a massa O sistema é controlado pelo problema de valor inicial simbólico x x 3δₚᵢ2t x0 1 x0 0 em que xt indica o deslocamento a partir do equilíbrio no instante t Determine xt 11 SOLUÇÃO Considere um circuito elétrico em série RLC com R 110 Ω ohms L 1 H henries C 0001 F farads e bateria fornecendo E 90 V volts Suponha que o circuito está inicialmente passivo desligado e sem carga No instante t 0 o interruptor é fechado e no instante t 1 segundos ele é aberto e deixado aberto Encontre a corrente It no circuito no instante t 12 SOLUÇÃO Considere um circuito elétrico em série LC com L 1H henries C 001 F farads e bateria fornecendo E 10 V volts Suponha que o circuito está inicialmente passivo desligado e sem carga No instante t 0 o interruptor é fechado e no instante t 1 ele é aberto e deixado aberto a SOLUÇÃO Mostre que este circuito satisfaz o problema de valor inicial Q 100Q 10 10u₁t Q0 0 Q0 b SOLUÇÃO Encontre a corrente It dQdt no circuito no instante t 13 SOLUÇÃO Um certo sistema molamassa satisfaz ao problema de valor inicial u 4u u kgt u0 0 u0 0 onde gt u₃₂t u₅₂t e k 0 é um parâmetro Resposta yt 04 02e3t125 02μt 101 et 10125 14 SOLUÇÃO Encontre o sistema de equações diferenciais e condições iniciais para as correntes nos circuito dado pelos diagramas esquemáticos as correntes iniciais são todas consideradas como zero resolva para as correntes em cada ramo do circuito Encontre via transformada de Laplace as três correntes nos diversos ramos da rede em qualquer instante t 0 GABARITO SOLUÇÃO DA QUESTÃO 1 Retornar na questão 1 1 y 3y 𝛿₂t y0 0 yt μ₂te3t2 Aplicando a transformada em ambos os lados da equação e utilizando 𝓛y Ys obtendo 𝓛y 3y 𝓛𝛿₂t s𝓛y y0 3𝓛y e2s y0 0 sYs 3Ys e2s Ys e2s s 3 Tomando a Transformada de Laplace inversa e utilizando 𝓛easFs μₐtft a obtemos yt L1 e2s s 3 μ₂te3t 2 SOLUÇÃO DA QUESTÃO 2 Retornar na questão 2 2a y y 4𝛿₂ᵨt y0 1 y0 0 yt cost 4μ₂ᵨtsent Aplicando a transformada em ambos os lados da equação e utilizando 𝓛y Ys obtendo 𝓛y y 𝓛4𝛿₂ᵨt s²𝓛y sy0 y0 𝓛y 4e2πs y0 1 y0 0 s²Ys s Ys 4e2πs Ys s s² 1 4e2πs s² 1 Tomando a Transformada de Laplace inversa e utilizando 𝓛easFs μₐtft a obtemos yt 𝓛Ys 𝓛 s s² 1 4e2πs s² 1 𝓛 s s² 1 𝓛 4e2πs s² 1 cost 4μ₂ᵨtsent 2π cost 4μ₂ᵨtsent cost se 0 t 2π cost 4sent se t 2π 2b y y 4δ2πt y0 0 y0 0 yt 4μ2πtsen t Aplicando a transformada em ambos os lados da equação e utilizando Ly Ys obtendo L y y L 4δ2πt s2L y sy0 y0 L y 4e2πs y0 0 y0 0 s2Ys Ys 4e2πs Ys 4 e2πs s2 1 Tomando a Transformada de Laplace inversa e utilizando LeasFs μatft a obtemos yt LYs L 4 e2πs s2 1 4L 4e2πs s2 1 4μ2πtsen t 2π 4μ2πtsen t 0 se 0 t 2π 4sen t se t 2π SOLUÇÃO DA QUESTÃO 3 Retornar na questão 3 3 y 4y 5y δ2πt y0 0 y0 0 yt Aplicando a transformada em ambos os lados da equação e utilizando Ly Ys obtendo Ly 4y 5y Lδ2πt s2L y sy0 y0 4sL y 4y0 5L y e2πs y0 0 y0 0 s2Ys 4Ys 5ys e2πs Ys e2πs s2 4s 5 Tomando a Transformada de Laplace inversa e utilizando LeasFs μatft a obtemos yt LYs L e2πs s2 4s 5 L e2πs s 22 1 μ2πte2t2πsen t 2π Foi utilizado que L 1 s22 1 e2t sen t SISTEMA DE EQUAÇÕES SOLUÇÃO DA QUESTÃO 4 Retornar na questão 4 4 dxdt x y dydt 2x x0 0 y0 1 Aplicando a transformada Laplace em ambos os lados das equações diferenciais e utilizando L x Xs e L y Ys temos L x L x L y sXs x0 Xs Ys L y 2L x sYs y0 2Xs Utilizando x0 0 e y0 1 e simplificamos achamos s 1Xs Ys 0 2Xs sYs 1 Na forma matricial s 1 1 2 1 Xs Ys 0 1 Resolvendo pela regra Cramer temos os determinantes s 1 1 2 s ss 1 2 s2 s 2 s 2s 1 0 1 1 s 1 s 1 0 2 1 s 1 Assim temos Xs 1 s 2s 1 13 1s 2 13 1s 1 e Ys s 1 s 2s 1 13 1s 2 23 1s 1 Portanto xt L1 Xs L1 13 1s 2 13 1s 1 13 e2t 13 et e yt L1 Ys L1 13 1s 2 23 1s 1 13 e2t 23 et SOLUÇÃO DA QUESTÃO 5 Retornar na questão 5 5 dxdt x 2y dydt 5x y x0 1 y0 2 Aplicando a transformada Laplace em ambos os lados das equações diferenciais e utilizando L x Xs e L y Ys temos L x Lx 2Ly sXs x0 Xs 2Ys L y 5Lx Ly sYs y0 5Xs Ys Utilizando x0 1 e y0 2 e simplificamos achamos s 1Xs 2Ys 1 5Xs s 1Ys 2 Na forma matricial s 1 2 5 s 1 Xs Ys 1 2 Resolvendo pela regra Cramer temos os determinantes s 1 2 5 s 1 s 1s 1 10 s2 33 1 2 2 s 1 s 1 4 s 5 s 1 1 5 2 2s 1 5 2s 7 Assim temos Xs s5s233 ss233533s233 e Ys 2s7s233 2ss233733s233 Portanto xt L1Xs L1 ss233 533s233 cos3t 53sen3t e yt L1Ys L12ss233 733s233 2cos3t 73sen3t SOLUÇÃO DA QUESTÃO 6 Retornar na questão 6 x 2y 4t 1 y 2y 4x 4t 2 2 sujeita a x0 4 y0 5 Aplicando a transformada de Laplace em 1 e 2 temos sXs x0 2Ys 4s2 sXs 2Ys 4 4s2 sYs y0 2Ys 4Xs 4s2 2s 4Xs s 2Ys 4s2 2s 5 4sXs 8Ys 16 16s2 4sXs s2 2sYs 4s 2 5s Somando as equações temos Yss2 2s 8 16s2 4s 5s 14 16 5s3 4s 14s2s2 Portanto Ys 16 5s3 4s 14s2s2s2s4 As Bs2 Cs2 Ds4 Utilizando a igualdade 5s3 14s2 4s 16 Ass2s4 Bs2s4 Cs2s4 Ds2s2 Obtemos A0 B2 C1 D6 Aplicando a transformada inversa em Ys yt L1 2s2 1s2 6s4 2t e2t 6e4t 1 Substituindo yt na equação y 2y 4x 4t 2 obtemos xt e2t 3e4t SOLUÇÃO DA QUESTÃO 7 Retornar na questão 7 x1 10x1 4x2 0 4x1 x2 4x2 0 sujeita a x10 0 x10 1 x20 0 e x20 1 Calculando a transformada de Laplace das duas equações temos s2 X1s sx10 x10 10X1s 4X2s 0 4Xs 1s s2 X2s sx20 x20 4X2s 0 Substituindo os valores dados e manipulando as equações temos s2 10X 1s 4X2s 1 4X1s s2 4X2s 1 Na forma matricial s2 10 4 4 s2 4 X1s X2s 1 1 Resolvendo pela regra Cramer temos os determinantes s2 10 4 4 s2 4 s2 10s2 4 16 s4 14s2 24 s2 12s2 2 1 4 1 s2 4 s2 4 4 s2 s2 10 1 4 1 s2 10 4 s2 6 Assim X1s s2s2 12s2 2 As Bs2 12 Cs Ds2 2 65s2 12 15s2 2 Portanto x1t L1X1s L165s2 12 15s2 2 sqrt35 sen2sqrt3 t 15 sqrt2 sensqrt2 t Agora calculando o determinante da X2s Gs s2 6s2 12s2 2 As Bs2 Cs Ds2 2 35s2 12 25s2 2 Portanto x2t L1X2s L135s2 12 25s2 2 3L115s2 12 2L115s2 2 sqrt310 sen2 sqrt3 t sqrt25 sensqrt2 t SOLUÇÃO DA QUESTÃO 8 Retornar na questão 8 x 3x 4y 1 y 4x 7y 10t Aplicando o operador D D 3x 4y 1 I 4x D 7y 10t II Multiplica por 4 a linha I e D 3 na Linha II 4D 3x 16y 4 I 4D 3x D 3D 7y D 310t II Somando as duas equações D 3D 7y 16y D 310t 4 ou seja D2 4D 21y 16y D 310t 4 y 4y 5y 14 30t Yh C1 et C2 e5t ypt Ax B Resolvendo a solução particular METODOS MATEMATICOS FAMATUFU A6 e B2 logo ypt 6t 2 Y C1et C2e5t 6t 2 Como y 4x 7y 10t x y 4 7 4y 10 4 t Portanto xt 2C1et 1 2C2e5t 8t 5 SOLUC AO DA QUESTAO 9 Retornar na questao 9 x y x y 1 I x y x t2 II Para I x y xy 1 D2xDy1x1y 1 D2 1xD1y 1 Para II x y x t2 Dx Dy 1x t2 D 1x Dy t2 ou seja D2 1x D 1y 1 a D 1x Dy t2 b Multiplica por D 1 a equacao b e subtraindo de a obtemos D 1Dy D 1y D 1t2 1 Obtendo y y 2t t2 1 Solucao yt yht ypt onde yht c1et c2et e ypt t2 2t 3 logo y c1et c2et t2 2t 3 Calculando xt 11 Multiplica por D 1 a equação b e D em a e subtraindo obtemos D² 1Dx D 1D 1x D1 D 1t² ou seja x x x x 2t t² Assim xt xh xp Para xh x x x x 0Pr r³ r² r 1 0 Cujas raízes são r1 1 r2 1 r3 1 Portanto xh a1 et a2 t et a3 et Considerando xpt At² Bt C Obtemos xpt t² 4t 6 Assim xt a1 et a2 t et a3 et t² 4t 6 Agora serão calculadas as derivadas de xt e yt para substituir na equação x y x t² Esse procedimento é necessário para achar uma relação entre os coeficientes xt e yt respectivamente Portanto xt a1 et a2 t et a3 et t² 4t 6 yt a2 et 2 a3 et t² 2t 3 SOLUÇÃO DA QUESTÃO 10 Retornar na questão 10 x x 3 δπ2 t x0 1 x0 0 Aplicando a transformada de Laplace obtemos Xs ss² 1 3 eπ2 ss² 1 Aplicando a inversa xt cost 3 μπ2 t sen t π2 SOLUÇÃO DA QUESTÃO 12 Retornar na questão 12 a Q 100Q 10 10 u1 t Q0 0 Q0 Aplicando a transformada de Laplace obtemos s² Qs 100 Qs 10s 10 ess Logo Qs 10ss² 10² 10 esss² 10² Aplicando a inversa Qt L¹ 10ss² 10² 10 esss² 10² L¹ Hs L¹ es Hs Calculando ht L¹ Hs L¹ 10ss² 10² 110 110 cos 10 t Portanto Qt 110 110 cos 10 t μ1t 110 110 cos 10t 1 b It dQdt SOLUÇÃO DA QUESTÃO 14 Retornar na questão 14 2 I1 01 I3 02 I1 6 I2 01 I3 0 I1 I2 I3 0 I10 I2 0 I3 0 0 Aplicando a transformada na equação obtemos o sistema algébrico 2 I1 s 01s I3 s 02 I1 s 6s I2 s 01 s I3 s 0 I1 s I2 s I3 s 0 METODOS MATEMATICOS FAMATUFU Resolvendo o sistema no wxmaxima algsys2sx20xsz60s 10ysz0 xy z0 xyz Obtemos I1s x 30s 300 s3 25s2 100s 30s 300 ss 5s 20 I2s y 30 s2 25s 100 30 s 5s 20 I3s z 300 s3 25s2 100s 300 ss 5s 20 Aplicando a inversa no wxmaximo ilt300s325s2100s s t ilt30s225s100 s t ilt30s300s325s2100s s t Obtemos I1t e20t 2e5t 3 I2t 2e20t 2e5t I3t e20t 4e5t 3 14