Lista de Exercícios Resolvidos - Séries de Fourier e Aplicações

Métodos Matemáticos Lista 06 parte 2 semana 05 2020 Prof Ariosvaldo Séries de Fourier 01 Derivada e Integral da série de Fourier 1 A série de Fourier de f é a série 𝓕𝒻 𝑥 𝑛1𝑛𝜋𝐿 𝑏𝑛 cos 𝑛𝜋𝑥𝐿 𝑛𝜋𝐿 𝑎𝑛 sin 𝑛𝜋𝑥𝐿 𝑥ℝ obtida por diferenciação termo a termo da série de Fourier 𝓕𝒻 𝑥 𝑎0 2 𝑛1𝑎𝑛 cos 𝑛𝜋𝑥𝐿 𝑏𝑛 sin 𝑛𝜋𝑥𝐿 𝑥ℝ 1 2 A função 𝐹𝑥 0𝑥 𝑓𝑢 𝑎0 2 𝑑𝑢 0𝑥 𝑓𝑢 𝑑𝑢 𝑎0 2 𝑥 2 é continuamente diferenciável por parte e 2𝐿periódica sendo representada por sua Série de Fourier 𝐹𝑥 𝐴0 2 𝑛1 𝐴𝑛 cos 𝑛𝜋𝑥𝐿 𝐵𝑛 sin 𝑛𝜋𝑥𝐿 Com 𝐴0 2 𝑛1𝐿 𝑛𝜋 𝑏𝑛 1 𝐿 𝐿𝐿 𝐹𝑥 𝑑𝑥 𝐴𝑛 1 𝐿 𝐿𝐿 𝐹𝑥 cos 𝑛𝑥 𝑑𝑥 𝐿𝑏𝑛 𝑛𝜋 𝑛 1 𝐵𝑛 1 𝐿 𝐿𝐿 𝐹𝑥 cos 𝑛𝑥 𝑑𝑥 𝐿𝑎𝑛 𝑛𝜋 𝑛 1 Ou seja 𝐹𝑥 0𝑥 𝑓𝑢 𝑎0 2 𝑑𝑢 1 2𝐿 𝐿𝐿 𝐹𝑥 𝑑𝑥 𝑛1 𝐿 𝑛𝜋 𝑏𝑛 cos 𝑛𝜋𝑥𝐿 𝐿 𝑛𝜋 𝑎𝑛 sin 𝑛𝜋𝑥𝐿 𝑥ℝ 3 1 Seja 𝑓𝑥 definida por 𝑓𝑥 𝑥2 para o intervalo 𝜋 𝜋 e 𝑓𝑥 2𝜋 𝑓𝑥 a Esboce o gráfico de 𝑓 b Verifique se 𝑓 é par ou ímpar c Ache a série de Fourier para 𝑓𝑥 d Fazendo 𝑓𝜋 no resultado do item d mostre que 𝑛1 1 𝑛2 1 1 4 1 9 1 16 𝜋2 6 1 e Derivando a série de Fourier de 𝑓𝑥 𝑥2 para o intervalo 𝜋 𝜋 e 𝑓𝑥2𝜋 𝑓𝑥 obtenha a série de 𝑔𝑥 𝑥 no intervalo 𝜋 𝜋 e 𝑔𝑥 2𝜋 𝑔𝑥 f Integre a série de 𝑥2 para obter 𝑛1 1𝑛 sin𝑛𝑥 𝑛3 1 12 𝑥𝑥2 𝜋2 2 Desenvolva 𝑓𝑡 sin2𝑡 cos3𝑡 em série de Fourier Rsp 1 16 2 cos 𝑡 3 cos3𝑡 cos 5𝑡 3 Seja 𝑓𝑥 3𝑥2 se 𝜋 𝑥 𝜋 𝑓𝑥2𝜋 𝑓𝑥 cuja série de Fourier é dada por 𝑓𝑥 𝜋2 𝑛1 12 1𝑛 cos 𝑛𝑥 𝑛2 a Seja 𝑔𝑥 𝑥 se 𝜋 𝑥 𝜋 𝑔𝑥2𝜋 𝑔𝑥 Determine a série de Fourier de 𝑔𝑥 a partir de 𝑓𝑥 b Seja 𝒉𝑥 𝑥3 se 𝜋 𝑥 𝜋 ℎ𝑥2𝜋 𝑓𝑥 Determine a série de Fourier de ℎ𝑥 utilizando 𝑓𝑥 e 𝑔𝑥 c Use a série de Fourier de 𝑓𝑥 para mostrar que 𝑛1 1𝑛1 𝑛2 𝜋2 12 02 Teorema de Parseval Seja 𝑓𝑥 contínua e 𝑓𝑥 seccionalmente contínua em 𝐿 𝑥 𝐿 Se 𝑓𝑥 𝑎0 2 𝑛1 𝑎𝑛 cos 𝑛𝑤0𝑡 𝑏𝑛 sin 𝑛𝑤0𝑡 onde 𝑎𝑛 1 𝐿 𝐿𝐿 𝑓𝑥 cos𝑛𝑤0𝑥 𝑑𝑥 e 𝑏𝑛 1 𝐿 𝐿𝐿 𝑓𝑥 sin𝑛𝑤0𝑥 𝑑𝑥 e 𝑤0 𝜋 𝐿 Então 1 𝐿 𝐿𝐿 𝑓𝑥2 𝑑𝑥 𝑎02 2 𝑛1 𝑎𝑛2 𝑏𝑛2 Teorema de Parseval 4 Use o Teorema de Parseval para 𝑓𝑥 1 𝐿 𝑥 0 1 0 𝑥 𝐿 𝑓𝑥 2𝐿 𝑓𝑡 e mostre que 𝑛1 1 2𝑛 12 𝜋2 8 5 Use o Teorema de Pareseval para 𝑓𝑥 𝑥 para 𝜋 𝑡 𝜋 e 𝑓𝑥2𝜋 𝑓𝑥 e mostre que 𝑛1 1 𝑛2 1 1 4 1 9 1 16 𝜋2 6 6 Utilizem o item 1𝑓 e o Teorema de Parserval para obter 𝑛1 1 𝑛6 𝜋6 945 Forma complexa da Série de Fourier 𝑓𝑡 ℱ𝑓𝑡 𝑛 𝑐𝑛𝑒 𝑖𝑛𝜋𝑥 𝐿 4 𝑐𝑛 𝑐𝑛 𝑒 𝑖𝜃𝑛 𝑐𝑛 1 2𝐿 𝐿𝐿 𝑓𝑡 𝑒 𝑖𝑛𝜋𝑥 𝐿 𝑑𝑡 𝑛ℤ 5 7 Encontre a série de Fourier complexa de 𝑓𝑡 sin4𝑡 para 𝑡0 𝜋 e 𝑓𝑡 𝜋 𝑓𝑡 Resposta 1 16 𝑒4𝑡𝑖 4𝑒2𝑡𝑖 6 4𝑒2𝑡𝑖 𝑒4𝑡𝑖 8 Utilize o item anterior e determine a série de fourier de 𝑓𝑡 sin4𝑡 para 𝑡0 𝜋 e 𝑓𝑡 𝜋 𝑓𝑡 9 Mostre que se 𝑓 é uma função periódica com período 𝑇 então 1 𝐿 𝐿𝐿 𝑓𝑥2 𝑑𝑥 𝑛 𝑐𝑛2