Lista de Exercícios Resolvidos - Métodos Matemáticos - Números Complexos

PRIMEIRA LISTA DE EXERCÍCIOS DE MÉTODOS MATEMÁTICOS Professor Ariosvaldo Marques Jatobá 2021 1 Verifique as igualdades a 2 i i 1 i2 2i b 51i2i3i 12 i c 2z 52 i 32z 5 d 12i34i 2i5i 25 e 1 i310 2111 i3 f 1 i22 i i 2 Represente graficamente os números z1 z2 z1 z2 e z1 z2 quando a z1 3 i z2 3 i2 b z1 3 1 z2 3 0 c z1 1i22 z2 1 3i 3 Mostre que cada um dos dois números z 1 i satisfaz a equação z2 2z 2 0 4 Mostre que 55i34i 2043i 3 i 5 Se z 1 i e w 4i expresse os seguintes números complexos na foram x yi a 2z iwz zw3 b 2w 1 iz z2 c wzwz d Imzw2 16iRezw1 6 Resolva as seguintes equações a z z 4 b z z 6i c z 2z 1 i 7 Mostre que a 1 i5 2i10 3i13 1 2i b 3i30 i192i 1 1 i 8 Calcule z1 Σ n1 to 201 in e z2 ii2i100 9 Critique o seguinte raciocínio 1 ii 1 1 1 1 1 1 10 Escreva na forma polar os seguintes números complexos a 1 i3 b 1 i c 3 i6 d 2 i 23 e 3i f 43 i g 1 i38 11 Sejam z1 3 3i e z2 3 i32 Escreva z1 z2 z1 z2 e z1z2 na forma polar 12 Usando a forma polar a 1 i7 81 i b 1 i310 211 1 i3 c 1 i4 4 d 1 i31000 13 Prove que a z é real se z z b z é real ou imaginário puro se z2 z2 14 Calcule as seguintes raízes complexas a 1 b 41 i3 c 1 i332 d 134 f 38i g 38 h 327 i 81 15 Determine as soluções das seguintes equações a z2 1 i3 b z5 1 c z2 2z 2 0 d z7 1 i 16 É verdade que z2 z2 para todo z C Dica considere z i 17 Mostre que a forma quadrática usual resolve a equação quadrática a z2 b z c 0 onde os coeficientes a 0 b c são números complexos a Use esta fórmula para encontrar as soluções de z2 4z 5 0 b Verifique que as raízes quadradas de 15 8i são 1 4i e 1 4i Dica chame z x iy e resolva x iy2 15 8i determinando x e y c Resolva a equação z2 2i 3z 5 i 0 18 Reduza à forma r eiθ cada um dos números complexos dados a 1 i b 1 i3 c i1i d 1 i 19 a Descreva geometricamente o conjunto S do números complexos z que satisfazem à condição z 1 2z 1 b Descreva geometricamente o conjunto S do números complexos z que satisfazem à condição z 3z 3 2 20 Represente graficamente os conjuntos dos pontos z C que satisfazem a Im z 3 b z 2i 2 c z 1 i 3 d Re 1z 12 e arg z π2 f 1 z 2i 2 g Re z2 0 h z 4 z 21 Mostre que a exp 0 1 b exp 2 3πi e2 c exp π2 i i d exp 2 πi4 e 1i2 e exp z πi exp z f exp nz 1exp zn n 12 22 Estabeleça as fórmulas de Euler cos θ eiθ eiθ2 e cos θ eiθ eiθ2i 23 Determine todos os números complexos z tais que a exp 2z 2 b exp z 1 i3 c exp 2z 1 1 24 Determine o conjunto dos z tais que exp z é imaginário puro 25 Mostre que exp iz exp iz a menos que z kπ onde k Z 26 Simplifique exp 2z i e exp iz2 e mostre que exp 2z i exp iz2 e2x e2xy onde z x iy 27 Mostre que exp 2z 1 se e somente se o ponto z se encontra no semiplano x 0