Lista de Exercícios Resolvidos - Transformada de Laplace e Funções Degrau

Métodos Matemáticos 4ª LISTA DE EXERCÍCIOS TRANFORMADA DE LAPLACE Professor Ariosvaldo Marques Jatobá 1 SOLUÇÃO Em cada um dos problemas use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado a SOLUÇÃO y y 6y 0 y0 1 y0 1 b SOLUÇÃO y y 2 cos5t y0 0 c SOLUÇÃO y 2y 5y 8et y0 12 y0 12 d SOLUÇÃO y 4y 5y 8et y0 12 y0 12 e SOLUÇÃO y 2y 2y 0 y0 0 y0 1 f SOLUÇÃO y 2y 2y cos t y0 1 y0 0 g SOLUÇÃO y 2y y 4et y0 2 y0 1 h SOLUÇÃO y 3ty 6y 1 y0 0 y0 0 i SOLUÇÃO y y e3t cos2t y0 0 j SOLUÇÃO y 4y 6y 1 et y0 0y0 0 k SOLUÇÃO ty ty y 2 y0 2 y0 1 l SOLUÇÃO ty 2y ty 0 y0 1 y0 0 Dica L1frac1s212t fracsen t t cos t2 m SOLUÇÃO y 2y y 2y sen 3t y0 0 y0 0 y0 1 n SOLUÇÃO 2y 3y 3y 2y et y0 0 y0 0 y0 1 o SOLUÇÃO y 4y 5y tet y0 1 y0 0 p SOLUÇÃO y 5y 6y 6te2t y0 a y0 b Teorema 01 i Se Fs Lft existe para s a e se a é uma constante positiva então L μatft a easLft easFs s a Reciprocamente se ft L1Fs então μatft a L1easFs ii Lμatgt easLgt a s a 2 SOLUÇÃO Em cada um dos casos esboce o gráfico da função dada no intervalo t 0 a SOLUÇÃO gt μ1t 2μ3t 6μ4t b SOLUÇÃO gt t 3μ2t t 2μ3t c SOLUÇÃO gt t 1μ2t d SOLUÇÃO gt t 1μ1t 2t 2μ2t t 3μ3t 3 SOLUÇÃO Em cada um dos casos esboce o gráfico da função dada e expresse ft em termos da função degrau unitário μat a ft 0 0 t 3 2 3 t 5 2 5 t 7 1 t 7 b ft 1 0 t 1 1 1 t 2 1 2 t 3 1 3 t 4 0 t 4 c ft t2 0 t 2 1 t 2 d ft cos t 0 t 2π sen t cos t t 2π 4 SOLUÇÃO Encontre a transformada de Laplace da função dada a SOLUÇÃO ft 0 t 2 t 22 t 2 b SOLUÇÃO ft 0 t 1 t2 2t 2 t 1 c SOLUÇÃO ft μ1t 2μ3t 6μ4t d SOLUÇÃO ft t 3μ2t t 2μ3t t 0 e SOLUÇÃO ft t μ1tt 1 t 0 f SOLUÇÃO ft 2 0 t 2 e3t 2 t 3 t2 e3t t 3 5 SOLUÇÃO Encontre a transformada de Laplace inversa da função dada a SOLUÇÃO L1frace2ss2 s 2 Dica frace2ss2 s 2 frace2s3s1 frace2s3s 2 b SOLUÇÃO L1fracs 2ess2 4s 3 dica fracs2ess2 4s 3 fraces2s 1 fraces2s 3 6 SOLUÇÃOUse a transformada de Laplace para resolver a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas a SOLUÇÃO y y ft em que ft t 0 t 1 0 t 1 y0 0 b SOLUÇÃO y y ft em que ft 0 0 t π 3sen t t π y0 5 c SOLUÇÃO y 4y ft em que ft 1 0 t 1 0 t 1 y0 0 y0 1 d SOLUÇÃO y 5y 6y ft em que ft 0 0 t 1 t 1 t 5 1 t 5 y0 0 y0 2 e SOLUÇÃO y 2y 10y ft em que ft 10 0 t 10 20 10 t 20 0 t 20 y0 1 y0 0 7 SOLUÇÃODetermine L1Fs a SOLUÇÃO s2 Fs 4Fs 5s 1 b SOLUÇÃO s2 Fs sFs 6Fs fracs2 4s2 2 c SOLUÇÃO sFs 2Fs frac10s2 12s 14s2 2s 2 d SOLUÇÃO sFs Fs frac2s 5s2 2s 1 Teorema 02 Transformadas de funções periódicas Suponha que ft ft T para todo t 0 e para algum número positivo fixo T f é dita periódica com período T em 0 t Então Lft fracint0T estft dt1 esT 8 SOLUÇÃO Calcule a transformada de Laplace usando o resultado o Teorema acima Se possível esboce o gráfico a SOLUÇÃO ft 1 0 t 1 0 1 t 2 ft2 ft b SOLUÇÃO ft 1 0 t 1 1 1 t 2 ft2 ft c SOLUÇÃO ft t 0 t 1 e ft1 ft d SOLUÇÃO ft sen t 0 t π e ftπ ft Teorema 03 Teorema de Convolução Se Fs Lft e Gs Lgt existem para s a 0 então Hs FsGs Lf gt s a onde f gt int0t ftτgτ dτ int0t fτgt τ dτ A função f g é conhecida como a convolução de f e g Assim temos que L1FsGs f gt int0t ft τgτ dτ int0t fτgt τ dτ 9 SOLUÇÃO Encontre a transformada de Laplace da função dada sem resolver a integral a ft ₀ᵗ t τ eᵗ dτ b ft ₀ᵗ τ etτ dτ c ft ₀ᵗ t τ² cos 2τ dτ d ft ₀ᵗ cos τ dτ e ft ₀ᵗ sen τ cost τ dτ f ft 1 t³ g ft t² e2t h ft et eᵗ cos t 10 SOLUÇÃO Use o Teorema de Convolução para encontrar ft a SOLUÇÃO L¹ 1 ss 1 b SOLUÇÃO L¹ 1 s 1s 2 c SOLUÇÃO L¹ 1 s² a²² d SOLUÇÃO L¹ s s² a²² e SOLUÇÃO L¹ s² s² a²² f SOLUÇÃO L¹ 1 ss² 1 g SOLUÇÃO L¹ 1 s 1² h SOLUÇÃO L¹ s s² 4² i SOLUÇÃO L¹ 1 s⁴ s² 1² j SOLUÇÃO L¹ s s 1s² 4 11 SOLUÇÃO Expresse a solução do problema de valor inicial dado em função de uma convolução a y 2y 2y sen αt y0 0 y0 0 b y 3y 2y cos αt y0 1 y0 0 GABARITO SOLUÇÃO DA QUESTÃO 1 Solução da questão 1a Retornar na questão 1 1a y y 6y 0 y0 1 y0 1 yt 45e²ᵗ 15e³ᵗ Aplicando a Transformada de Laplace na equação Ly y 6y L0 s² Ly s y0 y0 s Ly y0 6 Ly 0 Condição inicial y0 1 y0 1 s² Ly s 1 1 s Ly 1 6 Ly 0 s² Ly s Ly s 2 6 Ly 0 Ly s 2 s² s 6 Aplicando a Transformada inversa yt L¹ s 2 s² s 6 Aplicando fração parcial s 2 s² s 6 s 2 s 2s 3 A s 2 B s 3 45 s 2 15 s 3 Portanto yt L¹ s 2 s² s 6 45 e²ᵗ 15 e³ᵗ Solução da questão 1b Retornar na questão 1 1b y y 2 cos5t y0 0 yt 113 cos5t 5 sen5t 13 113eᵗ Aplicando a Transformada de Laplace na equação Ly y L2 cos5t s Ly y0 Ly 2s s² 25 Condição inicial y0 0 Ly 2s s² 25s 1 Aplicando a Transformada inversa yt L¹ 2s s² 25s 1 Aplicando fração parcial 2s s 1s² 5² As 5B s² 5² C s 1 113 s 55 113 1s 1 Portanto yt L¹ 2s s² 25s 1 L¹ 113 s 55 s² 5² 113 1s 1 113 L¹ s s² 5² 513 L¹ 5 s² 5² 113 L¹ 1 s 1 113 cos5t 5 sen5t 13 113 eᵗ Solução da questão 1c Retornar na questão 1 1c y 2y 5y 8 eᵗ y0 12 y0 12 yt eᵗ 13 eᵗ cos2t eᵗ sen2t Aplicando a Transformada de Laplace na equação L y 2y 5y L 8 eᵗ s² Ly s y0 y0 2 s Ly y0 5 Ly 8 s 1 C inicial y0 12 y0 12 s² Ly s 12 12 2 s Ly 12 5 Ly 8 s 1 Ly 12 s² 20 s 1 s² 2s 5 Aplicando a Transformada inversa yt L¹ 12 s² 20 s 1 s² 2s 5 Aplicando fração parcial 12 s² 20 s 1 s² 2s 5 12 s² 20 s 1 s 1² 2² A s 1 B s 1 2C s 1² 2² 1 s 1 13 s 1 2 s 1² 2² Portanto yt L112s2 20 s1s2 2s 5 L11s1 13s1s12 22 L11s1 13 L1s1s12 22 L12s12 22 et 13 et cos 2t et sen 2t Solução da questão 1d Retornar na questão 1 1d y 4y 5y 8et y0 12 y0 12 yt et 343 et 13 e5t Aplicando a Transformada de Laplace na equação Ly 4y 5y L8et s2 Ly sy0 y0 4sLy y0 5Ly 8s1 C inicial y0 12 y0 12 s2 Ly 4sLy 12s 5Ly 60 8s1 Ly 12s2 72s 52s1s2 4s 5 Aplicando a Transformada inversa yt L112s2 72s 52 s1s2 4s 5 Aplicando fração parcial 12s2 72s 52 s1s2 4s 5 As1 Bs1 Cs5 1s1 343 s1 13 s5 Portanto yt L112s2 72s 52s1s2 4s 5 L11s1 343 1s1 13 1s5 et 343 et 13 e5t Solução da questão 1e Retornar na questão 1 1e y 2y 2y 0 y0 0 y0 1 yt et sen t Aplicando a Transformada de Laplace na equação Ly 2y 2y L0 s2 Ly sy0 y0 2sLy y0 2Ly 0 Condição inicial y0 0 y0 1 s2 Ly 2Ly 2sLy 1 0 Ly 1s2 2s 2 Portanto yt L11s2 2s 2 L11s12 1 et sen t Solução da questão 1f Retornar na questão 1 1f y 2y 2y cos t y0 1 y0 0 yt 15 cos t 25 sen t 45 et cost 25 et sen t Aplicando a Transformada de Laplace na equação Ly 2y 2y Lcost s2 Ly sy0 y0 2sLy y0 2Ly ss2 1 Condição inicial y0 1 y0 0 s2 Ly s 2sLy 1 2Ly ss2 1 Ly s3 2s2 2s 2 s2 1s2 2s 2 Aplicando a Transformada inversa yt L1s3 2s2 2s 2s2 1 s2 2s 2 Aplicando fração parcial s3 2s2 2s 2 s2 1 s2 2s 2 As B5 s2 1 Cs1 Ds12 1 15 s2s2 1 45 s1 2s2 2s 2 1i y y e3t cos2t y0 0 yt 14 e3t cos2t 14 e3t sen2t 14 et Aplicando a Transformada de Laplace na equação L y y L e3t cos2t s L y y0 L y s3s32 22 Condição inicial y0 0 s L y L y s3s32 22 L y s3s32 22 s1 Aplicando a Transformada inversa yt L1 s3s32 22 s1 Aplicando fração parcial s 3s32 22 s1 As3 2Bs32 22 Cs1 14 1s3 2s32 22 14 1s1 14 s3s32 22 14 2s32 22 14 1s1 Portanto yt L1 14 s3s32 22 14 2s32 22 14 1s1 14 L1 s3s32 22 14 L1 2s32 22 14 L 1s1 14 e3t cos2t 14 e3t sen2t 14 et Solução da questão 1j Retornar na questão 1 Solução da questão 1h Retornar na questão 1 1h y 3ty 6y 1 y00 y00 yt t22 Aplicando a Transformada de Laplace na equação L y 3ty 6y L 1 Ly 3L ty 6L y 1s Usando L ty s dds L y L y s2L y 3 s dds L y L y 6L y 1s Usando L y Y s dds Y s Ys s2Y s 3 sYs Ys 6Y s 1s 3sYs s2 9Y s 1s Temos então uma EDO de primeira ordem na variável Ys 3sYs s2 9Y s 1s2 ou seja uma equação linear Ys s3 3s Ys 13s2 yx px y qx Fator integrante μs e psds e s3 3s ds es26 3 ln s s3 es26 Escrevendo na forma μsY s μsgs temos s3 es26 Y s s3 es26 13s2 ses263 Integrando ambos os lados obtemos es26 s3 Y s ses263 ds es26 k Portanto Y s 1s3 kes26 s3 Logo yt L1 1s3 kes26 s3 t22 kL1 1es26 s3 t22 kgt Não existe gt pois lim n 1es26 s3 Portanto k 0 Assim yt t22 1j y 4y 6y 1 et y00 y00 yt 16 13 et 16 e2t cos2 t Aplicando a Transformada de Laplace na equação L y 4y 6y L 1 et s2 L y sy0 y0 4 s L y y0 6L y 1s y0 0 y0 s2 L y 4s L y 6L y 1s s 1 L y 1s s 1 s2 4s 6 Aplicando a Transformada inversa yt L1 1s s 1 s2 4s 6 Aplicando fração parcial 1s s 1 s2 4s 6 As Cs1 Ds 2 F2 s22 22 16s 13s1 16 s2s22 22 Portanto yt L1 1s s 1 s2 4s 6 L1 16s 13s1 16 s2s22 22 16 L1 1s 13 L1 1s1 16 L1 s2s22 22 16 13 et 16 e2t cos2 t Solução da questão 1k Retornar na questão 1 1k ty ty y 2 y02 y01 yt 2 t Aplicando a Transformada de Laplace na equação Lty ty y L2 Lty Lty Ly 2s Usando Lty s dds Ly Ly Lty s dds Ly Ly Ly 1s Usando Lty s2 dds Ly 2sLy y0 s2 dds L y 2sL y y 0 s dds L y L y L y 2s Usando y0 2 s2 dds L y 2sL y 2 s dds L y L y L y 2s Ly Ys dds Ys Ys s2 Ys 2sYs 2 sYs Ys Ys 2s s2 sYs 2s 1Ys 2s 2 2s 2ss Temos então uma EDO de primeira ordem na variável Ys ss 1Ys 2s 1Ys 2s 1s ou seja uma equação linear Ys 2s Ys 2s2 yx px y qx Fator integrante μs e ps ds e 2s ds e2 ln s eln s2 s2 Escrevendo na forma μsYs μs qs temos s2 Ys 2 Integrando ambos os lados obtemos s2 Ys 2s k Portanto Ys 2s ks2 Logo yt L1 2s ks2 2 kt Como temos que 1 y0 k Portanto yt 2 t Solução da questão 1l Retornar na questão 1 1l ty 2y ty 0 y0 1 y0 0 yt cos t t sen t k sen t t cos t k arbitrário Solução da questão 1m Retornar na questão 1 1m y 2y y 2y sen 3t y0 0 y0 0 y0 1 yt yt 3130 cos 3t sen 3t65 1360 et 1320 et 1639 e2t Aplicando a Transformada de Laplace na equação e utilizando as condições iniciais obtemos s3 L y 2s2 L y s L y 2L y 1 3s2 9 Isolando Ly Ys temos Ys s2 12s2 9s1s1s2 Portanto yt L1 s212s29s1s1s2 Utilizando fração parcial s2 12s2 9s 1s 1s 2 3s 23130 s2 9 1360 s1 1320 s1 1639 s2 Aplicando tabela temos yt 3130 cos 3t sen 3t65 1360 et 1320 et 1639 e2t Solução da questão 1n Retornar na questão 1 1m 2y 3y 3y 2y et y 0 0 y 0 0 y 0 1 yt 12 et 518 et 89 et2 19 e2t Aplicando a Transformada de Laplace na equação obtemos 2 s3 L y 1 3s2 L y 3s L y 2L y 1s1 Isolando Ly Ys temos Ys 2s 3s 12s3 3s2 3s 2 Fatorando 2s3 3s2 3s 2 2s 1s 12s 2 Portanto yt L1 2s32s1s1s12s2 Utilizando fração parcial 2s 32 s 1 s 1s 12s 2 As1 Bs1 Cs12 Ds2 12s1 518 s1 89 s 12 19 s2 Aplicando tabela temos yt 12 et 518 et 89 et2 19 e2t Solução da questão 1o Retornar na questão 1 1m y 4y 5y tet y 0 1 y 0 0 yt 132 et et t8 1924 et 1796 e5t Aplicando a Transformada de Laplace na equação obtemos s2 L y sy0 y0 4 s L y y0 5L y 1s12 Utilizando as condições iniciais s2 L y s 4 s L y 1 5L y 1s12 Isolando Ly Ys temos s2 4s 5 Ys 1s12 s 4 Ys 1s12 s1s5 s4s1s5 Ys s3 6s2 9s 3s12 s1s5 Utilizando fração parcial s3 6s2 9s 3s12 s1s5 As1 Bs12 Cs1 Ds5 132 s1 18 s12 1924 s1 1796 s5 Portanto yt L¹132s 1 L¹18s 1² L¹1924s 1 L¹1796s 5 132 eᵗ eᵗt8 1924 eᵗ 1796 5ᵗ Solução da questão 1p Retornar na questão 1 1j y 5y 6y 6te²t y0 a y0 b yt Aplicando a Transformada de Laplace na equação Ly 5y 6y L6te²t s² Ly sy0 y0 5 s Ly y0 6 Ly 6s 2² Usando y0 a y0 b s² Ly as b 5sLy 5a 6Ly 6s 2² Usando Ly Ys Ys 6s 2² s² 5s 6 as b 5as² 5s 6 6s 2² s 2s 3 as b 5as 2s 3 Aplicando a Transformada inversa yt L¹ 6s 2³s 3 as b 5as 2s 3 L¹ 6s 2³s 3 L¹as b 5as 2s 3 Aplicando fração parcial 6s 2³s 3 6s 2³ 6s 2² 6s 2³ 6s 3 Portanto L¹ 6s 2³s 3 L¹6s 2 6s 2² 6s 2³ 6s 3 6e²t e²t6t e²t3t² 6e³t Para L¹as b 5as 2s 3 escrevemos a fração parcial as b 5as 2s 3 As 2 Bs 3 As 3 Bs 2s 2s 3 Portanto as b 5a As 3 Bs 2 para 16 s 2 A 3a b s 3 B 2a b Assim L¹as b 5as 2s 3 3a b L¹1s 2 b 2a L¹1s 3 3a b e²t b 2a e³t Concluímos que yt 6e²t e²t 6t e²t 3t² 6e³t 3a b e²t b 2a e³t 3a b 6 e²t b 2a 6 e³t e²t 6t 3t² 6e³t SOLUÇÃO DA QUESTÃO 2 Solução da questão 2a Retornar na questão 2 gt μ₁t 2μ₃t 6μ₄t 0 0 t 1 1 1 t 3 3 3 t 4 3 t 4 Solução da questão 2b Retornar na questão 2 gt t 3μ₂t t 2μ₃t 0 0 t 2 t 3 2 t 3 1 t 3 Solução da questão 2c Retornar na questão 2 gt t 1μ₂t 0 0 t 2 t 1 t 2 Solução da questão 2c Retornar na questão 2 METODOS MATEMATICOS FAMATUFU gt t 1µ1t 2t 2µ2t t 3µ3t 0 0 t 1 t 1 1 t 2 t 3 2 t 3 0 t 3 SOLUC AO DAS QUESTOES 3a 3b 3c 3d Retornar na questao 3 18 METODOS MATEMATICOS FAMATUFU Figura 1 2c 19 METODOS MATEMATICOS FAMATUFU Figura 2 3a ft 0 0 t 3 2 3 t 5 2 5 t 7 1 t 7 2µ3t 4µ5t µ7t Figura 3 3b ft 1 0 t 1 1 1 t 2 1 2 t 3 1 3 t 4 0 t 4 1 2µ1t 2µ2t 2µ3t µ4t 20 Figura 4 3c ft t² 0 t 2 1 t 2 t² 1 t²μ₂t Figura 5 3d ft cos t 0 t 2π sen t cos t t 2π cost sen tμπt SOLUÇÃO DA QUESTÃO 4 Solução da questão 4a Retornar na questão 4 Utilizaremos ii Lµatgt easLgt a s a 4a Escrevemos ft utilizando a função degrau ft 0 t 2 t22 t 2 t22 µ2t Logo Lft Lt22 µ2t e2s Lt2 2e2s s3 Solução da questão 4b Retornar na questão 4 4b ft 0 t 1 t2 2t 2 t 1 Escrevemos ft utilizando a função degrau ft 0 t 1 t2 2t 2 t 1 t2 2t 2 µ1t Logo Lft Lt2 2t 2µ1t esLt 12 2t 1 2 esLt2 2t 1 2t 2 2 esLt2 1 es2s3 1s Solução da questão 4c Retornar na questão 4 4c ft µ1t 2µ3t 6µ4t Lft Lµ1t 2µ3t 6µ4t Lµ1t 2Lµ3t 6Lµ4t ess 2 e3ss 6 e4ss Solução da questão 4d Retornar na questão 4 4d ft t3µ2t t2µ3t t 0 Lft Lt3µ2t t2µ3t Lt3µ2t Lt2µ3t e2sLt2 3 e3sLt3 2 e2sLt 1 e3sLt 1 e2s1s2 1s e3s1s2 1s e2s e3s s2 e2s e3s s Solução da questão 4e Retornar na questão 4 4e ft t µ1tt 1 t 0 Lft Lt µ1tt1 Lt Lµ1tt1 1s2 esLt 1 1 1s2 esL t 1s2 es s2 Solução da questão 4f Retornar na questão 4 4f ft 2 0 t 2 e3t 2 t 3 t2 e3t t 3 Escrevemos ft utilizando a função degrau ft 2 0 t 2 e3t 2 t 3 t2 e3t t 3 2 e3t 2µ2t t2 µ3t Lft L2 e3t 2µ2t t2 µ3t 2L1 Le3t 2µ2t Lt2 µ3t 2s e2sLe3t2 2 e3sLt2 6t 9 2s e2s e6 Le3t 2 e2s L1 e3s Lt2 6t 9 2s e2s 6 s 3 e2s s e3s 2s3 6s2 9s SOLUÇÃO DA QUESTÃO 5 Solução da questão 5a Retornar na questão 5 5a L1 e2s s2 s 2 Escrevemos fração parcial 1s2 s 2 13s1 13s2 Multiplicamos por e2s obtendo a dica e2s s2 s 2 e2s3s1 e2s3s2 Portanto por linearidade e propriedades Leat 1sa e µatfta L1 eas Fs L1 e2s s2 s 2 L1 e2s3s1 e2s3s2 13 L1 e2ss1 13 L1 e2ss2 13 µ2tet1 13 µ2te2t2 Solução da questão 5a Retornar na questão 5 5b L1 s2es s2 4s 3 Escrevemos fração parcial s2 s2 4s 3 12s1 12s3 Multiplicamos por es obtendo a dica s2es s2 4s 3 es2s1 es2s3 Portanto por linearidade e propriedades Leat 1sa e µatfta L1 eas Fs L1 s2es s2 4s 3 L1 es2s1 es2s3 12 L1 ess1 12 L1 e2s3 12 µ1tet1 12 µ1te3t1 SOLUÇÃO DA QUESTÃO 6 Solução da questão 6a Retornar na questão 6 6a y y ft em que ft t 0 t 1 0 t 1 y0 0 Escrevemos ft em termos da função degrau μat ft t 0 t 1 0 t 1 t tμ1t Assim Lft Lt tμ1t Lt Ltμ1t 1s² es Lt 1 1s² es 1s² 1s 2 Logo quando consideramos a transformada de Laplace na equação e usamos 2 obtemos Ly y Lft sYs y0 Ys 1s² es 1s² 1s y0 0 Ys 1s 1 1s² es 1s² 1s Ys 1s²s 1 1s²s 1 es esss 1 Ys Gs es Gs es Hs Onde Hs 1ss 1 e Gs 1s²s 1 Calculando a transformada de Hs e Gs temos gt L1 1ss 1 L11s 1s 1 1 et ht L1 1s²s 1 L1 1s 1s² 1s 1 1 t et Pela propriedade de Translação obtemos yt L1Gs es Gs es Hs L1Gs L1es Gs L1es Hs 1 et μ1t gt 1 μ1t ht 1 1 et μ1t 1 et1 μ1t 1 t 1 et1 1 et μ1tt 1 Solução da questão 6b Retornar na questão 6 6b y y ft em que ft 0 0 t π 3sent t π y0 5 Escrevemos ft em termos da função degrau μat ft 0 0 t π 3sent t π 3sent μπt Utilizando que sent π sent obtemos Lft L3sentμπt 3eπ s Lsent π 3 eπ s Lsent 3 eπ s s² 1 Logo quando consideramos a transformada de Laplace na equação e usamos 2 obtemos Ly y Lft sYs y0 Ys 3 eπ ss² 1 y0 5 Ys 1s 1s² 1 5s 1 eπ s Gs 5s 1 Onde Gs 3 s 1s² 1 Utilizando frações parciais 3 s 1s² 1 As 1 B s C s² 1 23 1s 1 32 s 1s² 1 gt L1 3 s 1s² 1 L1 23 1s 1 32 s 1s² 1 23 et 32 cos t 32 sen t Pela propriedade de Translação obtemos yt L1 eπ s Gs 5s 1 L1 eπ s Gs 5 L1 1s 1 μπt gt π 5 et μπt 23 etπ 32 cost π 32 sent π 5 et μπt 23 etπ 32 cos t 32 sen t 5 et SOLUÇÃO DA QUESTÃO 7 Solução da questão 7a Retornar na questão 7 Encontrar ft 7a s² Fs 4Fs 5s 1 Isolando Fs obtemos s² Fs 4Fs 5s 1 Fs 5 s 1s² 4 Fs 5 s 1s 2s 2 Utilizando fração parcial 5 s 1s 2s 2 53 s 1 512 s 2 54 s 2 Portanto ft L1Fs L1 53 1s 1 512 1s 2 54 1s 2 53 et 512 e2t 54 e2t Solução da questão 7b Retornar na questão 7 7b s² Fs sFs 6Fs s² 4s² 2 Isolando Fs obtemos s² Fs sFs 6Fs s² 4s² 2 Fs s² 4 s² 2s² s 6 Fs s² 4 s² 2²s 3s 2 Utilizando fração parcial s² 4 s² 2²s 3s 2 As B2 s² 2² Cs 3 Ds 2 12 33 s 82s² 2² 1355 s 3 415 1s 2 Portanto ft L1Fs L1leftfrac1sqrt2cdot 33fracs8sqrt2s2sqrt22 frac1355frac1s3 frac415frac1s2right frac133L1leftfracss2sqrt22right frac8sqrt2cdot 33L1leftfracsqrt2s2sqrt22right frac1355L1leftfrac1s3right frac415L1leftfrac1s2right frac133cosleftsqrt2tright frac8sqrt2cdot 33senleftsqrt2tright frac1355e3t frac415e2t Solução da questão 7c Retornar na questão 7 7c sFs 2Fs frac10s212s14s22s2 Isolando Fs obtemos sFs 2Fs frac10s212s14s22s2 Fs frac10s212s14s2s22s2 Fs frac10s212s14s2s1212 Utilizando fração parcial Fs frac10s212s14s2s1212 fracAs2 fracBs1 Cs1212 frac3s2 frac7s111s12 12 Portanto ft L1Fs L1leftfrac3s2 frac7s111s1212right L1leftfrac3s2right 7L1leftfracs1s121right 11L1leftfrac1s121right 3e2t 7etcost 11etsent Solução da questão 7d Retornar na questão 7 7c sFs Fs frac2s5s22s1 Isolando Fs obtemos Fs frac2s5s1s22s1 frac2s5s1s12 Utilizando fração parcial Fs frac2s5s1s12 fracAs1 fracBs1 fracCs12 frac74s1 frac74s1 frac32s12 Portanto ft L1Fs L1leftfrac74s1 frac74s1 frac32s12right frac74L1leftfrac1s1right frac74L1leftfrac1s1right frac32L1leftfrac1s12right frac74et frac74et frac3ett2 SOLUÇÃO DA QUESTÃO 8 Solução da questão 8a Retornar na questão 8 8a ft begincases 1 0 leq t 1 0 1 leq t 2 endcases ft2 ft Temos T 2 e int02 estft dt int01 esu du int12 esu 0 du leftfrac1s esuright01 frac1ses frac1s Logo mathcalLft frac11e2sleftfrac1ses frac1sright Solução da questão 8b Retornar na questão 8 8b ft begincases1 0 leq t 1 1 1 leq t 2 endcases ft2 ft Temos T 2 e int02 estft dt int01 esu du int12 esu 1 du leftfrac1sesuright01 leftfrac1sesuright12 frace2s 2es 1s Logo mathcalLft frac11e2sleftfrace2s 2es 1sright Solução da questão 8c Retornar na questão 8 8c ft t 0 leq t 1 e ft1 ft Temos T 1 e int01 est ft dt int01 test dt fracses es 1s2 Logo mathcalLft frac11esleftfracses es 1s2right Solução da questão 8d Retornar na questão 8 8d ft sen t 0 leq t pi e ftpi ft Temos T pi e int0pi estft dt int0pi sentest dt fracepi s 1s2 1 Logo mathcalLft frac11epi sleftfracepi s 1s2 1right SOLUÇÃO DA QUESTÃO 9 Retornar na questão 9 9a ft int0t t aue au d au mathcalLft mathcalLleftint0t t aue au d auright mathcalLtet mathcalLt cdot mathcalLet frac1s2 cdot frac1s1 9b ft int0t au et au d au mathcalLft mathcalLleftint0t au et au d auright mathcalLtet frac1s2 cdot frac1s1 9c ft int0t t au2 cos 2 au d au LftL0ttτ2cos2τ dτLt2cos2tLt2Lcos2t2s3s s222f9dft0tcosτ dτLftL0tcosτ dτL1costL1Lcos t1sss211s219eft0tsen τcostτdτLftL0tsen τcostτdτLsen tcos t1ss21ss21ss2129fft1t3LftL1t3L1Lt31s3s43s59gftt2e2tLftLt2e2tLt2Le2t2s31s22s3s29hftetetcostLftLetetcostLetLetcost1s1s1s1211s22s2SOLUÇÃO DA QUESTÃO 10Solução da questão 10aRetornar na questão 1010aL11ss1L11ss11et0teuduet1Solução da questão 10bRetornar na questão 10 10bL11s1s2L11s1s2etke2t0tetτe2τ dτet03τ e3τ dτett03e3τ3ete3t313e2tet3Solução da questão 10cRetornar na questão 1010cL11s2a22L11s2a221a2L1a s22a2a s2a21a2senatsenat1a20tsenatsenatτ dτAgora usando as regras de transformação de produto em soma sen A sen B12cos ABcos ABobtemossen aτ sen atτ12cos a2τtcos at0tsenatsenatτ dτ120tcos a2τtcos at dτ14a sena2τt12τ cos at0t12asen atat cos atdondeL11s2a221a212asen atat cos at12a3sen atat cos atSolução da questão 10dRetornar na questão 1010dL1ss2a22L1ss2a221aL1a s2a2s s2a21a2senatcosat1a0tsenatcosatτ dτ Agora usando as regras de transformação de produto em soma sen A cos B12sen AB sen ABobtemossen aτ cos atτ12sen a2τtsen atLogo0tsen aτ cos atτ dτ120tsen a2τtsen at dτ14a cos a2τt12τ sen at0t14a cos at12tsen at14a cos at 12tsenatdondeL1ss2a2211a12tsenattsenat2aSolução da questão 10eRetornar na questão 1010eL1s2s2a22L1s2s2a22L1s s2a2ss2a2cosatcosat0tcosatcosatτ dτAgora usando as regras de transformação de produto em soma cos A cos B12cos AB cos ABobtemoscos aτ cos atτ12cos a2τt cos atLogoL11s2a220tcosatcosatτ dτ120tcos a2τt cos at dτ14a sen a2τt12τ cos at0t14a sen at12t cos at14a sen at12asen at at cos at Solução da questão 10f Retornar na questão 10 10f L1 1ss21 L1 1ss21 1 sent 0t senτ dτ cost0t 1 cos t Solução da questão 10g Retornar na questão 10 10g L1 1s12 L1 1s12 et et 0t eτ etτ dτ et 0t 1 dτ tet Solução da questão 10h Retornar na questão 10 Caso particular da SOLUÇÃO 10d para a 2 10h L1 ss242 tsen2t4 Solução da questão 10i Retornar na questão 10 10i L1 1s4s212 Nesta questão vamos utilizar a convolução por etapas Primeiro Caso particular SOLUÇÃO 10c L1 1s212 12sent t cost E agora aplicamos para L11s 1s212 1 12sent t cost 12 0t senτ τ cos τ dτ 12 0t senτ dτ 12 0t τ cos τ dτ 121 cos t 12 τ sen τ cos τ0t 12 cos t2 12 tsen t cos t2 12 1 cost 12 tsen t 34 E assim para L1 1s ss212 1 1 cost 12 tsen t 0t 1 cosτ 12 τ sen τ dτ t sen t 12 0t τ sen τ dτ t sen t 12 t cos t sen t t 32 sen t 12 t cos t Depois L1 1s s2s212 1 t 32 sen t 12 t cos t 2 t22 2 cos t tsen t2 E finalmente L1 1s4s212 L1 1s s3s212 1 2 t22 2 cos t tsen t2 t3 3t cos t 12t 15sen t6 O recomendado é utilizar fração parcial 1s4s212 As Bs2 Cs3 Ds4 Es Fs21 Gs Hs212 2s2 1s4 2s21 1s212 Solução da questão 10j Retornar na questão 10 10j L1 ss1s24 L1 ss1s24 et cos2t 0t cos2τ etτ dτ et 0t eτ cos2τ dτ et 2eτ sen 2τ5 eτ cos2τ50t et5 25 sen 2t 15 cos 2t 35 Utilizar fração parcial é melhor ss1s24 15s1 s 2 25s24 SOLUÇÃO DA QUESTÃO 11 Retornar na questão 11 11a y 2y 2y sen αt y0 0 y0 0 L y 2y 2y L sen αt s2 Ly sy0 y0 2sLy y0 2Ly αs2 α2 y0 0 y0 0 s2 Ly 2sLy 2Ly αs2 α2 Ys Ly αs2 α2 1s 12 12 Ys αs2 α2 s 12 12 Aplicando a Transformada inversa e utilizando o Teorema de convolução yt L1 αs2 α2 s 12 12 L1 αs2 α2 L1 1s 12 12 sen αt et sen t 0t sen αt ατ eτ sen τ dτ Para encontra a solução yt a maneira recomendada é encontrar as frações parciais αs2 α2 s 12 12 As αBs2 α2 Cs 1 Ds 12 12 11b y 3y 2y cos αt y0 1 y0 0 L y 2y 2y L cos αt s2 L y sy0 y0 3sL y y 0 2L y ss2 α2 y0 1 y0 0 s2 L y s 3sLy 3 2L y αs2 α2 Ys L y ss2 α2 1s2 3s 2 s 3s2 3s 2 Ys ss2 α2 s 1s 2 s 3s 1s 2 Aplicando a Transformada inversa e utilizando o Teorema de convolução ytL1 s s2 α2 s1s2 L1 s3 s1s2 L1 α s2 α2 L1 1 s1s2 L1 2 s1 L1 1 s2 cos αt et e2t 2et et cos αt et e2t 2et et 0t cosατetτ e2tτ dτ 2et et Se quiser encontrar yt sem convolução basta utilizar a eat cosbt dt beat senbt b2 a2 aeat cosbt b2 a2