Solução de Métodos Matemáticos Aplicados à Engenharia - Equações Complexas e Transformada de Laplace

UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA FACULDADE DE MATEMÁTICA Métodos Matemáticos Aplicados à Engenharia Valor 33 pontos A Nome Data Matricula Curso Professor Ariosvaldo 1 5 pts SOLUÇÃO Resolva a equação z⁶7z³80 sabendo que 11 12i32 12i32 Dica Chame z³w 2 3 pts SOLUÇÃODEScreva geometricamente o conjunto S do números complexos z que satisfazem à condição z21i3²94 3 4 pts SOLUÇÃODetermine todos os valores de z tais que ez113 i¹¹ 4 SOLUÇÃOCalcule a transformada de Laplace utilizando quando possível a tabela a 5 pts Lft onde ft0 0 t π 3sent t π Observação Não pode utilizar função degrau b 5 pts Le2tcos4t2tt 5 SOLUÇÃOCalcule a transformada de Laplace inversa utilizando quando possível a tabela a 5 ptsL¹6s2³ s3 b 6 pts Calcule L¹s3s²6s13s1 Boa prova 1 A função gama é dada por Γx e definida pela integral Γx0 et tx1 dt Tabela de Transformadas de Laplace Função Transformada 1 1s s0 tⁿ nsn1 s0 tp Γp1sp1 s0 p1 eat 1sa sa senat ss²a² s0 cosat ss²a² s0 senhat ss²a² sa coshat ss²a² sa ebtcosat sbsb²a² sb ebtsenat asb²a² sb δt₀t et₀s tn1 eatn1 1san sa n1 12asenat at cosat 1s²a²² s0 t2a senat ss²a²² s0 ft LftFs0 est ft dt αftβgt αLft βLgt ft sLft f0 ft s²Lft sf0 f0 fnt sⁿLft sn1f0 sn2f0 fn10 0t fu du 1s Lf bt fu du 1s Lf 1s 0b fu du eat ft Fsa com FsLft t ft dds Fs Fs tⁿ ft 1ⁿ dⁿdsⁿ Lft ftt s Fu du onde LftFs e limt ftt 0 0 SOLUÇÃO DA QUESTÃO 1 RETORNAR NA QUESTÃO 1 Chamando w z³ temos z⁶7z³ 80 a seguinte equação w² 7w8 0 cujas soluções são w z³1 w z³8 Foi dado que 11 12 i32 12 i 32 Loga para 8 z³8 w8 n3 r8 θπ Então as soluções são zk8 cosπ2kπ3 i senπ2kπ3 k012 Para k0 z08 cosπ3 i senπ3 2 12 i 32 1 3 i Para k1 z18 cosπ i senπ 2 Para k2 z28 cos5π3 i sen5π3 2 12 i 32 1 3 i Portanto 8 1 3 i 1 3 i 2 Assim as raízes são 1 3 i 1 3 i 2 1 12 i 32 12 i 32 SOLUÇÃO DA QUESTÃO 2 RETORNAR NA QUESTÃO 2 Seja z x iy tal que z 21 i3² 94 z 2² 1 i3² 94 z 2² 1¹ 3² 94 z 2² 9 Assim z 2² 9 x iy 2² 9 x 2² y² 3² A circunferência com centro em 2 0 e raio 3 SOLUÇÃO DA QUESTÃO 3 RETORNAR NA QUESTÃO 3 ez1 1 3 i11 ez1 2 cos5π3 i sen5π311 ez1 211 cos55π3 i sen55π3 ez1 211 cos18π π3 i sen18π π3 ez1 211 cosπ3 i senπ3 211 eπ3 i eln 211 i π3 ou seja Assim pelo resultado ez ew se e somente se z w 2πk k Z temos z 1 ln 211 i π3 2kπi k Z Portanto z 1 ln 211 i π3 2kπi k Z SOLUÇÃO DA QUESTÃO 4 RETORNAR NA QUESTÃO 4 a Sendo ft 0 0 t π 3sent t π temos que Lft 0 to π 0 est dt π to 3sin3t est dt π to 3sin3t est dt Vamos Calcular I Por integração por partes u 3sent e dv est dt v ests e mias uma vez encontramos π to 3sin3t est dt 3eπs s² 1 Portanto Lft 3eπs s² 1 Assim Le2t cos4t 2tt Le2t cos4t 2 L tt Leat ft Fs a s 2 s 2² 16 2 Γ32 1 s321 s 2 s 2² 16 2 3π 4 s52 SOLUÇÃO DA QUESTÃO 5 RETORNAR NA QUESTÃO 5 a Aplicando fração parcial 6 s 2³ s 3 6 s 2 6 s 2² 6 s 2³ 6 s 3 Portanto L16 s 2³ s 3 L16 s 2 6 s 2² 6 s 2³ 6 s 3 6 e2t e2t 6t e2t 3t² 6 e3t b Aplicando fração parcial s 3 s 3² 2² s 1 As 3 2B s 3² 2² C s 1 14 1 s 3 2 s 3² 2² 14 1 s 1 14 s 3 s 3² 2² 14 2 s 3² 2² 14 1 s 1 Portanto L1s 3 s² 6s 13s 1 L1 14 s 3 s 3² 2² 14 2 s 3² 2² 14 1 s 1 14 L1s 3 s 3² 2² 14 L12 s 3² 2² 14 L1 s 1 14 e3t cos 2t 14 e3t sen 2t 14 et