Exercícios - Integrais Duplas e Triplas 2020-2

1) Calcule \[ \int \int_{R} \sen(x^2 + y^2) dxdy, \] onde R é o semi-círculo \( x^2 + y^2 \leq 1, \ y \geq 0. \) 2) Se T é um sólido descrito por \[ \begin{align*} 0 \leq x \leq 1 \\ 0 \leq y \leq x^2 \\ 0 \leq z \leq x + y \end{align*} \] calcule \[ \int \int \int_T (2x - y - z) dx dy dz \] 3) Calcule o volume do paralelepípedo dado por \[ \begin{align*} 1 \leq x + 2y + z \leq 2 \\ 0 \leq x + y - z \leq \pi/4 \\ 0 \leq z \leq 1. \end{align*} \] 4) Calcule a área da superfície S dada por \[ S : \ \mathbf{r}(u, v) = (u, v, 1-u^2); \quad u \geq 0, v \geq 0, u + v \leq 1. \] 5) Determine se o campo vetorial \[ \vec{F}(x, y, z) = (e^x \sen(z) + 2xy)\hat{i} + (2xz + 2y)\hat{j} + (e^x \cos(z) + 2xy + 3z^2)\hat{k} \] é conservativo. Em caso afirmativo, determine o potencial. 6) Calcule \[ \int_{C} 4xy dx + (2x^2 - 3xy) dy \] onde a curva \( C \) consiste no segmento de reta de \((-3,2)\) a \((1,0)\) unida ao arco do primeiro quadrante referente à circunferência \(x^2 + y^2 = 1\), de \((1,0)\) a \((0,1)\), percorrida no sentido anti-horário.