P1 - Cálculo Diferencial e Integral 2 2020-2

Cálculo Diferencial e Integral 1ª PROVA DE CÁLCULO 2/FVR-2 1) Determinar o vetor velocidade e o vetor aceleração de uma partícula que se move segundo a lei \( \vec{r}(t) = \cos(2t)\vec{i} + \sen(2t)\vec{j} + \vec{k}. \) Mostre que o vetor velocidade é perpendicular ao vetor posição e que o vetor aceleração é perpendicular ao vetor velocidade. Esboce graficamente a trajetória desta partícula. 2) Seja C a hélice circular dada por \( \vec{r}(t) = 2\cos(t)\vec{i} + 2\sen(t)\vec{j} + \sqrt{5}t\vec{k}. \) Calcule o vetor tangente unitário \( u(t) \) e o vetor \( u'(t) \) no ponto \( P \left(\sqrt{2}, \sqrt{2}, \frac{\sqrt{5}\pi}{4} \right). \) 3) Escreva a função comprimento de arco da hipocicloide \( \vec{r}(t) = a\cos^3(t)\vec{i} + a\sen^3(t)\vec{j}, \quad t \in \left[0, \frac{\pi}{2} \right], \) e encontre sua reparametrização pelo comprimento de arco. 4) Calcule o limite e analise a continuidade das funções vetoriais dadas, nos pontos indicados: a) \( f(t) = \left( t, \frac{\sqrt{t + 2} - \sqrt{2}}{t} \right), \ \text{se} \ t \neq 0, \ e \ f(0) = (0, \sqrt{2}); \ \text{em}\ t = 0. \) b) \( f(t) = \left( \frac{2}{t - 1}, \frac{4}{t - 2}, -5 \right), \ \text{se} \ t \neq 1 \ e \ t \neq 2 \ e \ f(1) = f(2) = (0, 0, 0); \ \text{em}\ t = 1 \ e \ t = 2. \)