Lista de Exercícios Resolvidos - Métodos Matemáticos - Séries de Fourier e Transformadas

Métodos Matemáticos Lista 2 1 Verifique se as funções abaixo são periódicas em caso afirmativo determine um período da mesma a fx 12 senx b hx cosht c gx esenπx2 d Fx ln1 senx e Hx senπx sen3πx f Gx cosx2 2 Mostre que fx senax senbx com b 0 é periódica se e somente se ab é racional 3 Determine as séries de Fourier das funções abaixo definidas em um período a fx x 1 x 1 b gx x2 1 x 1 c hx x x2 1 x 1 d fx 0 π x 0 sen2x 0 x π e fx 0 π x 0 x 0 x π f fx cost π x 0 senx 0 x π g fx 1 x 1 x 1 h fx x 0 x 1 4 Calcule a série de Fourier da função f dada por fx 0 π x 0 1 0 x π fx 2π fx x ℝ Esboce o gráfico da função definida por esta série e use a série para obter que k1 1k12k1 1 13 15 17 19 π4 5 Calcule a série de Fourier da função f dada por fx L x L x 0 L x 0 x L fx 2L fx x ℝ Esboce o gráfico da função definida por esta série e use a série para calcular a soma da série numérica k1 12k 12 1 132 152 172 192 6 Obtenha as expansões em meia onda em seno e cosseno de cada função abaixo a fx senax 0 t π e a não é um número inteiro b fx cosax 0 x π e a não é um número inteiro c ft x x2 0 x 1 d fx x 0 x 1 2 x 1 x 2 7 Seja f uma função seccionalmente contínua com primeira derivada integrável e absolutamente integrável tal que fx a02 m1 am cosmπxL bm senmπxL Mostre que LL f 2x dx a02 L2 m1 L am2 L bm2 8 Determine a transformada e a integral de Fourier das funções abaixo a fx senω0 x se x2 Nπω02 0 se x2 Nπω02 b fx cosx se x2 π24 0 se x2 π24 c fx π x se π x 0 π x 0 x π 0 x π d fx x se x2 1 0 se x2 1 e fx 0 se x 1 1 x se 1 x 0 1 x se 0 x 1 0 se 1 x f fx ex2 dica use 0 ex2 dx π2 9 Use a integral de Fourier para encontrar uma solução particular para a equação α d4 ydx4 ky px na forma yx A cosωx B senωxdω onde α e k são constantes e px β se x2 1 0 se x2 1 10 Use integral de Fourier para encontrar uma solução particular para a equação y ay by fx onde fx 0 x 1 1 x 1 x 0 1 x 0 x 1 0 1 x 11 Mostre que 0 2 ω28 2ω4 cosωxdω π2 ex cosx Dica escreva a integral de Fourier da função fx π2 ex cosx 12 Mostre que 0 ω34 ω4 senωxdω π2 ex cosx Dica escreva a integral de Fourier da função fx π2 ex cosx se x 0 π2 ex cosx se x 0 Conclua que ₀ ω3 4 ω4 senωx dω ₀ 2 ω2 8 2ω4 cosωx dω para x 0