Lista de Metodos Matematicos

Métodos Matemáticos Lista 2 1 Verique se as funções abaixo são periódicas em caso afirmativo determine um período da mesma a fx 12 senx b hx cosht c gx esenπx2 d Fx ln1 senx e Hx senπx sen3πx f Gx cosx2 2 Mostre que fx senax senbx com b 0 é periódica se e somente se ab é racional 3 Determine as séries de Fourier das funções abaixo definidas em um período a fx x 1 x 1 b gx x2 1 x 1 c hx x x2 1 x 1 d fx 0 π x 0 sen2x 0 x π e fx 0 π x 0 x 0 x π f fx cost π x 0 senx 0 x π g fx 1 x 1 x 1 h fx x 0 x 1 4 Calcule a série de Fourier da função f dada por fx 0 π x 0 1 0 x π fx 2π fx x R Esboce o gráfico da função definida por esta série e use a série para obter que k1 1k12k1 1 13 15 17 19 π4 5 Calcule a série de Fourier da função f dada por fx L x L x 0 L x 0 x L fx 2L fx x R Esboce o gráfico da função definida por esta série e use a série para calcular a soma da série numérica k1 1 2k12 1 132 152 172 192 6 Obtenha as expansões em meia onda em seno e cosseno de cada função abaixo a fx senax 0 t π e a não é um número inteiro b fx cosax 0 x π e a não é um número inteiro c ft x x2 0 x 1 d fx x 0 x 1 2 x 1 x 2 7 Seja f uma função seccionalmente contínua com primeira derivada integrável e absolutamente integrável tal que fx a02 m1 am cosmπxL bm senmπxL Mostre que LL f2x dx a02 L2 m1 L am2 L bm2 8 Determine a transformada e a integral de Fourier das funções abaixo a fx senω0 x se x2 Nπω02 0 se x2 Nπω02 b fx cosx se x2 π24 0 se x2 π24 c fx π x se π x 0 π x 0 x π 0 x π d fx x se x2 1 0 se x2 1 e fx 0 se x 1 1 x se 1 x 0 1 x se 0 x 1 0 se 1 x f fx ex2 dica use 0 ex2 dx π2 9 Use a integral de Fourier para encontrar uma solução particular para a equação α d4 ydx4 ky px na forma yx A cosωx B senωx dω onde α e k são constantes e px β se x2 1 0 se x2 1 10 Use integral de Fourier para encontrar uma solução particular para a equação y ay by fx onde fx 0 se x 1 1 x se 1 x 0 1 x 0 x 1 0 1 x 11 Mostre que 0 2 ω28 2ω4 cosωx dω π2 ex cosx Dica escreva a integral de Fourier da função fx π2 ex cosx 12 Mostre que 0 ω34 ω4 senωx dω π2 ex cosx Dica escreva a integral de Fourier da função fx π2 ex cosx se x 0 π2 ex cosx se x 0 Vamos calcular a série de Fourier da função f dada por fx 0 π x 0 1 0 x π com fx 2π fx para todo x R 1 Cálculo dos coeficientes de Fourier A série de Fourier de fx é dada por fx a02 Σ n1 an cosnx bnnx onde a0 1π ππ fx dx an 1π ππ fx cosnx dx bn 1π ππ fxnx dx Calculando os coeficientes a0 a0 1π ππ fx dx 1π π0 1 dx 1 an an 1π ππ fx cosnx dx 1π π0 cosnx dx 1nπ nx π 0 0 bn bn 1π ππ fxnx dx 1π π0 nx dx 1nπ cosnx π 0 1 1nnπ Observe que bn 2nπ se n ímpar 0 se n par 2 Série de Fourier de fx Substituindo os coeficientes na fórmula geral da série de Fourier obtemos fx 12 Σ k1 22k 1π 2k 1x Para mostrar que a funcao fx ax bx e periodica se e somente se a b e racional dividimos a demonstracao em duas partes Parte 1 Se fx e periodica entao a b e racional Se fx e periodica existe um numero real positivo T tal que fx T fx para todo x Substituindo na funcao temos ax T bx T ax bx Usando as identidades trigonometricas de soma de ˆangulos ax T ax cosaT cosaxaT bx T bx cosbT cosbxbT Substituindo na equacao anterior e rearranjando os termos axcosaT1cosaxaTbxcosbT1cosbxbT 0 Para que essa equacao seja valida para todo x os coeficientes de ax cosax bx e cosbx devem ser todos nulos Isso nos leva ao sistema de equacoes cosaT 1 0 cosaT 1 aT 0 cosbT 1 0 cosbT 1 bT 0 As solucoes para esse sistema sao da forma aT 2πm onde m e um inteiro bT 2πn onde n e um inteiro Dividindo as duas equacoes obtemos a b m n onde m e n sao inteiros Portanto a b e um numero racional Parte 2 Se a b e racional entao fx e periodica Se a b e racional podemos escrever a b m n onde m e n sao inteiros Seja T 2πn b 2πm a Vamos mostrar que fx T fx fx T ax 2πm a bx 2πn b fx T ax 2πm bx 2πn Como as funcoes seno e cosseno tˆem perıodo 2π ax 2πm ax bx 2πn bx 1 Portanto fx T ax bx fx Logo fx e periodica com perıodo T Conclusao fx ax bx e periodica se e somente se a b e racional 2 Conclua que 0 ω34ω4 senωxdω 0 2ω28 2ω4 cosωxdω para x 0 3 Esboço do gráfico A função fx é uma onda quadrada que vale 0 para π x 0 e 1 para 0 x π A série de Fourier encontrada representa essa função com uma soma infinita de senos O gráfico da série de Fourier se aproxima cada vez mais da onda quadrada à medida que mais termos são adicionados à soma Para determinar as séries de Fourier das funções vamos usar a seguinte fórmula geral fx a02 Σn1 an cosnπxL bn sinnπxL onde L é metade do período da função a0 1L LL fx dx an 1L LL fx cosnπxL dx bn 1L LL fx nπxL dx a fx x 1 x 1 L 1 Calculando os coeficientes a0 11 x dx 0 an 11 x cosnπx dx 0 integrando por partes bn 11 xnπx dx 21n1 nπ integrando por partes Série de Fourier fx Σn1 21n1 nπ nπx b gx x2 1 x 1 L 1 Calculando os coeficientes a0 11 x2 dx 23 an 11 x2 cosnπx dx 41n n2 π2 integrando por partes duas vezes bn 11 x2 nπx dx 0 função par Série de Fourier gx 13 Σn1 41n n2 π2 cosnπx c hx x x2 1 x 1 L 1 Podemos usar os resultados de a e b Série de Fourier hx 13 Σn1 41n n2 π2 cosnπx 21n1 nπ nπx d fx 0 x 0 fx 2x 0 x L π Calculando os coeficientes a0 1π 0π 2x dx 12 an 1π 0π 2x cosnx dx 12π se n2 0 caso contrário bn 1π 0π 2xnx dx 0 usando a identidade trigonométrica 2x 1 cos2x2 Série de Fourier fx 14 14π cos2x e fx 0 x 0 fx x 0 x L π Calculando os coeficientes a0 1π 0π x dx π2 an 1π 0π x cosnx dx 1n 1 n2 π integrando por partes bn 1π 0π xnx dx 1n1 n integrando por partes Série de Fourier fx π4 Σn1 1n 1 n2 π cosnx 1n1 n nx f fx cosx x 0 fx x 0 x L π Calculando os coeficientes a0 1π π0 cosx dx 0π x dx 2π an 1π π0 cosx cosnx dx 0π x cosnx dx 0 se n impar 2π1n2 se n par bn 1π π0 cosxnx dx 0π xnx dx 12 se n1 0 caso contrário Série de Fourier fx 1π 12 x Σn1 2π12n2 cos2nx g fx 1 x 1 x 1 L 1 Podemos usar o resultado de a Calculando os coeficientes a0 11 1 x dx 2 an 11 1 x cosnπx dx 0 bn é o mesmo que em a Série de Fourier fx 1 Σn1 21n1 nπ nπx h fx x 0 x 1 L 1 Calculando os coeficientes a0 11 x dx 1 an 11 x cosnπx dx 21n1 n2 π2 bn 11 xnπx dx 0 função par Série de Fourier fx 12 Σn1 21n 1 n2 π2 cosnπx Primeira Questao a fx 1 2x Periodicidade Sim a funcao seno e periodica com perıodo 2π Como a funcao fx e uma composicao de funcoes que incluem x ela tambem sera periodica Perıodo O perıodo de fx e o mesmo da funcao seno ou seja 2π b hx cosht Periodicidade Nao a funcao cosseno hiperbolico cosh nao e periodica Ela cresce exponencialmente para valores positivos e neg ativos de t c gx eπ2 Periodicidade Sim a funcao seno e periodica Como gx e uma funcao composta que inclui π2 ela tambem e periodica Perıodo O perıodo de gx sera o mesmo da funcao πx2 A funcao seno tem perıodo 2π entao πx2 tem perıodo 4 Logo o perıodo de gx e 4 d Fx ln1 x Periodicidade Sim o modulo da funcao seno x e periodico e o logaritmo natural nao afeta a periodicidade Perıodo O perıodo de Fx e o mesmo do modulo da funcao seno que e π e Hx πx 3πx Periodicidade Sim a soma de funcoes periodicas e periodica desde que os perıodos sejam comensuraveis um multiplo inteiro do outro Perıodo O perıodo de πx e 2 e o perıodo de 3πx e 23 O menor multiplo inteiro comum de 2 e 23 e 2 Logo o perıodo de Hx e 2 f Gx cosx2 Periodicidade Nao a funcao cosseno de x2 nao e periodica O argumento da funcao cosseno x2 cresce quadraticamente o que faz com que os valores da funcao nao se repitam em intervalos regulares Conclusao Funcoes periodicas a c d e Funcoes nao periodicas b f 1 Mostre que ₀ ω³ 4 ω⁴ sinωx dω π2 ex cosx para x 0 Dica escreva a integral de Fourier da função fx π2 ex cosx se x 0 π2 ex cosx se x 0 Solução Seguindo a dica vamos escrever a integral de Fourier de fx Ffxω fx eiωx dx 0 π2 ex cosx eiωx dx ₀ π2 ex cosx eiωx dx π2 0 ex eix eix 2 eiωx dx ₀ ex eix eix 2 eiωx dx π4 0 e1 iω1x e1 iω1x dx ₀ e1 iω1x e1 iω1x dx π4 e1 iω1x 1 iω1 e1 iω1x 1 iω1 0 e1 iω1x 1 iω1 e1 iω1x 1 iω1 ₀ π4 1 1 iω1 1 1 iω1 1 1 iω1 1 1 iω1 π4 2iω1 1 ω1² 2iω1 1 ω1² π2 ω4 ω² 4 ω⁴ π ω³ 4 ω⁴ Agora usando a fórmula da integral de Fourier para senos fx 2π ₀ Ffxω sinωx dω π2 ex cosx 2π ₀ π ω³ 4 ω⁴ sinωx dω para x 0 ₀ ω³ 4 ω⁴ sinωx dω π2 ex cosx para x 0 Portanto a identidade está demonstrada para x 0 Conclua que ₀ ω³ 4 ω⁴ sinωx dω ₀ 2 ω² 8 2ω⁴ cosωx dω para x 0 Solução Já mostramos que para x 0 ₀ ω³ 4 ω⁴ sinωx dω π2 ex cosx No exercício anterior mostramos que para qualquer x ₀ 2 ω² 8 2ω⁴ cosωx dω π2 ex cosx Em particular para x 0 temos ₀ 2 ω² 8 2ω⁴ cosωx dω π2 ex cosx Comparando as duas expressões concluímos que ₀ ω³ 4 ω⁴ sinωx dω ₀ 2 ω² 8 2ω⁴ cosωx dω para x 0 11 Mostre que ₀ 2 ω² 8 2ω⁴ cosωx dω π2 ex cosx Dica escreva a integral de Fourier da função fx π2 ex cosx Solução Seguindo a dica vamos escrever a integral de Fourier de fx π2 ex cosx Ffxω fx eiωx dx π2 ex cosx eiωx dx π2 0 ex cosx eiωx dx ₀ ex cosx eiωx dx π2 0 ex eix eix2 eiωx dx ₀ ex eix eix2 eiωx dx π4 0 e1 iω1x e1 iω1x dx ₀ e1 iω1x e1 iω1x dx π4 e1 iω1x 1 iω1 e1 iω1x 1 iω10 e1 iω1x 1 iω1 e1 iω1x 1 iω10 π4 1 1 iω1 1 1 iω1 1 1 iω1 1 1 iω1 π4 2 1 ω1² 2 1 ω1² π2 2 ω² 4 ω⁴ π 2 ω² 8 2ω⁴ Agora usando a fórmula da integral de Fourier para cossenos fx 2π ₀ Ffxω cosωx dω π2 ex cosx 2π ₀ π 2 ω² 8 2ω⁴ cosωx dω ₀ 2 ω² 8 2ω⁴ cosωx dω π2 ex cosx Portanto a identidade está demonstrada 10 Use integral de Fourier para encontrar uma solução particular para a equação y ay by f x onde f x 0 x 1 1 x 1 x 0 1 x 0 x 1 0 1 x Solução Primeiro vamos encontrar a transformada de Fourier de f x F f xω f xeiωx dx 10 1 xeiωx dx 01 1 xeiωx dx Calculando a primeira integral 10 1 xeiωx dx 1 xeiωxiω eiωxω210 1iω 1ω2 eiωiω eiωω2 1 eiωω2 1 eiωiω Calculando a segunda integral 01 1 xeiωx dx 1 xeiωxiω eiωxω201 eiωiω eiωω2 1iω 1ω2 1 eiωω2 1 eiωiω Somando as duas integrais F f xω 1 eiωω2 1 eiωiω 1 eiωω2 1 eiωiω 2 eiω eiωω2 eiω eiωiω 2 2 cosωω2 2i sinωiω 21 cosωω2 2 sinωω Agora vamos aplicar a transformada de Fourier na equação diferencial F y ay byω F f xω iω2 F yω aiω F yω bF yω 21 cosωω2 2 sinωω ω2 aiω b F yω 21 cosωω2 2 sinωω F yω 21cosωω2 2sinωω ω2 aiω b Usando a fórmula da integral de Fourier yx 12π F yω eiωx dω 12π 21cosωω2 2sinωω ω2 aiω b eiωx dω 1π 1 cosω ω sinω ω2ω2 aiω b cosωx i sinωx dω A integral pode ser separada em duas partes uma com cosωx e outra com i sinωx A integral com i sinωx é zero pois o integrando é uma função ímpar Portanto yx 1π 1 cosω ω sinω ω2ω2 aiω b cosωx dω 9 Use a integral de Fourier para encontrar uma solução particular para a equação α d4 ydx4 ky px na forma yx A cosωx B sinωx dω onde α e k são constantes e px β se x2 1 0 se x2 1 Solução Primeiro vamos encontrar a transformada de Fourier de px F pxω pxeiωx dx 11 β eiωx dx β eiωxiω11 βiω eiω eiω 2β sinωω Agora vamos aplicar a transformada de Fourier na equação diferencial F α d4 ydx4 kyω F pxω αiω4 F yω kF yω 2β sinωω αω4 k F yω 2β sinωω αω4 k Usando a fórmula da integral de Fourier yx frac12pi intinftyinfty mathcalFyomegaei omega x domega frac12pi intinftyinfty frac2 beta sinomegaomegaalpha omega4 k ei omega x domega fracbetapi intinftyinfty fracsinomegaomegaalpha omega4 k ei omega x domega fracbetapi intinftyinfty fracsinomegaomegaalpha omega4 kcosomega x i sinomega x domega Como a função fracsinomegaomegaalpha omega4 k sinomega x é ímpar sua integral de infty a infty é zero Portanto yx fracbetapi intinftyinfty fracsinomega cosomega xomegaalpha omega4 k domega frac2 betapi int0infty fracsinomega cosomega xomegaalpha omega4 k domega Comparando com a forma dada yx intinftyinfty A cosomega x B sinomega x domega 2 int0infty A cosomega x domega obtemos A fracbeta sinomegapi omegaalpha omega4 k e B 0 Portanto uma solução particular da equação diferencial é yx frac2 betapi int0infty fracsinomega cosomega xomega alpha omega4 k domega 8 Determine a transformada e a integral de Fourier das funções abaixo a fx begincases sinomega0 x extse x2 N pi omega02 cosx extse x2 geq N pi omega02 endcases A transformada de Fourier de fx é dada por mathcalF fxomega intinftyinfty fx ei omega x dx intfracN piomega0fracN piomega0 sinomega0 x ei omega x dx intinftyfracN piomega0 cosx ei omega x dx intfracN piomega0infty cosx ei omega x dx Calculando a primeira integral intfracN piomega0fracN piomega0 sinomega0 x ei omega x dx frac12i intfracN piomega0fracN piomega0 ei omega0 x ei omega0 x ei omega x dx frac12i intfracN piomega0fracN piomega0 ei omega0 omega x ei omega0 omega x dx frac12i left fracei omega0 omega xi omega0 omega fracei omega0 omega xi omega0 omega rightfracN piomega0fracN piomega0 frac1omega02 omega2 omega0 sinN pi omega fracN piomega0 omega0 sinN pi omega fracN piomega0 frac2 omega0 1N sinomega fracN piomega0omega02 omega2 Calculando a segunda e a terceira integrais que são semelhantes intinftyfracN piomega0 cosx ei omega x dx intfracN piomega0infty cosx ei omega x dx intinftyfracN piomega0 fraceix eix2 ei omega x dx intfracN piomega0infty fraceix eix2 ei omega x dx frac12 left intinftyfracN piomega0 ei 1 omega x dx intinftyfracN piomega0 ei 1 omega x dx intfracN piomega0infty ei 1 omega x dx intfracN piomega0infty ei 1 omega x dx right Para calcular essas integrais precisamos usar um fator de convergência eepsilon x onde epsilon 0 e então tomar o limite epsilon o 0 Obtemos intinftyfracN piomega0 cosx ei omega x dx intfracN piomega0infty cosx ei omega x dx limepsilon o 0 frac12 left fraceepsilon fracN piomega0 i1omegafracN piomega0i 1omega epsilon fraceepsilon fracN piomega0 i1omegafracN piomega0i 1omega epsilon fraceepsilon fracN piomega0 i1omega fracN piomega0i 1omega epsilon fraceepsilon fracN piomega0 i1omega fracN piomega0i 1omega epsilon right frac1N2 left fracei 1omega fracN piomega0i1omega fracei 1omega fracN piomega0i1omega fracei 1omega fracN piomega0i1omega fracei 1omega fracN piomega0i1omega right 1N left frac1 omega cos1omega fracN piomega0 1 omega cos1omega fracN piomega01 omega2 right Portanto a transformada de Fourier de fx é mathcalFfxomega frac2 omega0 1N sinomega fracN piomega0omega02 omega2 1N left frac1 omega cos1omega fracN piomega0 1 omega cos1omega fracN piomega01 omega2 right A integral de Fourier de fx é simplesmente F0 mathcalFfx0 F0 frac2 omega0 1N sin0omega02 02 1N left frac1 0 cos1 0 fracN piomega0 1 0 cos1 0 fracN piomega01 02 right 1N cosfracN piomega0 cosfracN piomega0 0 b fx begincases cosx extse x2 pi24 0 extse x2 geq pi24 endcases A transformada de Fourier de fx é dada por mathcalFfxomega intinftyinfty fx ei omega x dx intfracpi2fracpi2 cosx ei omega x dx Calculando a integral integral from pi2 to pi2 of cosxeiwx dx 12 integral from pi2 to pi2 of eix eixeiwx dx 12 integral from pi2 to pi2 of ei1ωx ei1ωx dx 12 ei1ωxi1ω ei1ωxi1ω from pi2 to pi2 11ω² sinpi2 ω pi2 sinpi2 ω pi2 2cosω pi21 ω² Portanto a transformada de Fourier de fx é Ffxω 2 cosω pi21 ω² A integral de Fourier de fx é F0 Ffx0 2 cos01 0² 2 c fx pi x se pi x 0 pi x se 0 x pi 0 se x pi A transformada de Fourier de fx é dada por Ffxω integral from to fxeiwx dx integral from pi to 0 of pi xeiwx dx integral from 0 to pi of pi xeiwx dx Calculando a primeira integral integral from pi to 0 of pi xeiwx dx pi xeiwxiw eiwxw² from pi to 0 piiω 1ω² eiωπiω eiωπω² 1 eiωπω² π1 eiωπiω Calculando a segunda integral integral from 0 to pi of pi xeiwx dx pi xeiwxiω eiwxω² from 0 to pi eiωπiω eiωπω² piiω 1ω² 1 eiωπω² π1 eiωπiω Somando as duas integrais Ffxω 1 eiωπω² π1 eiωπiω 1 eiωπω² π1 eiωπiω 2 eiωπ eiωπω² πeiωπ eiωπiω 2 2 cosωπω² 2π sinωπω 21 cosωπω² 2π sinωπω Portanto a transformada de Fourier de fx é Ffxω 21 cosωπω² 2π sinωπω A integral de Fourier de fx é F0 lim ω 0 21 cosωπω² 2π sinωπω lim ω 0 2π² sin²ωπ2ω² 2π cosωπ2 2π² π²4 2π 1 π⁴2 2π d fx x se x² 1 0 se x² 1 A transformada de Fourier de fx é dada por Ffxω integral from to fxeiwx dx integral from 1 to 1 of x eiwx dx Calculando a integral por partes integral from 1 to 1 of x eiwx dx x eiwxiω eiwxw² from 1 to 1 eiwiω eiww² eiwiω eiww² eiw eiwiω eiw eiww² 2i sinωiω 2i sinωw² 2sinωω 2i sinωw² Portanto a transformada de Fourier de fx é Ffxω 2 sinωω 2i sinωw² A integral de Fourier de fx é 2 2i Observe que a integral de Fourier diverge e fx 1 x se 1 x 0 1 x se 0 x 1 0 se x 1 A transformada de Fourier de fx é dada por Ffxω integral from to fxeiwx dx integral from 1 to 0 of 1 xeiwx dx integral from 0 to 1 of 1 xeiwx dx Calculando a primeira integral 10 1x eiωx dx 1x eiωx iω eiωxω² 10 1iω 1ω² eiωiω eiωω² 1 eiωω² 1 eiωiω Calculando a segunda integral 01 1 x eiωx dx 1 x eiωx iω eiωxω² 01 eiωiω eiωω² 1iω 1ω² 1 eiωω² 1 eiωiω Somando as duas integrais Ffxω 1 eiωω² 1 eiωiω 1 eiωω² 1 eiωiω 2 eiω eiωω² eiω eiωiω 2 2cosωω² 2i sinωiω 21 cosωω² 2 sinωω Portanto a transformada de Fourier de fx é Ffxω 21 cosωω² 2 sinωω A integral de Fourier de fx é F0 limω0 21 cosωω² 2 sinωω limω0 2 sin²ω2ω²4 14 2 cosω 2 1 14 2 1 32 f fx ex² dica use 0 ex² dx π2 A transformada de Fourier de fx é dada por Ffxω ex² eiωx dx ex² iωx dx ex iω2² ω²4 dx e ω²4 ex iω2² dx Fazendo a mudança de variável y x iω2 obtemos Ffxω eω²4 iω2 ey² dy eω²4 ey² dy pelo teorema de Cauchy eω²4 π π eω²4 Portanto a transformada de Fourier de fx é Ffxω π eω²4 A integral de Fourier de fx é F0 Ffx0 π e0²4 π Seja f uma função seccionalmente contínua com primeira derivada integrável e absolutamente integrável tal que fx a02 m1 am cosmπxL bm sinmπxL Mostre que LL f²x dx a0² L2 m1 L am² L bm² Demonstração Elevando ao quadrado a série de Fourier de fx obtemos f²x a02 m1 am cosmπxL bm sinmπxL ² a0²4 a0 m1 am cosmπxL bm sinmπxL m1 n1 am an cosmπxL cosnπxL bm bn sinmπxL sinnπxL am bn cosmπxL sinnπxL an bm sinmπxL cosnπxL Integrando ambos os lados de L a L e usando as relações de ortogonalidade LL cosmπxL cosnπxL dx 0 m n L m n LL sinmπxL sinnπxL dx 0 m n L m n LL cosmπxL sinnπxL dx 0 obtemos LL f²x dx LL a0²4 dx a0 m1 LL am cosmπxL bm sinmπxL dx m1 n1 LL am an cosmπxL cosnπxL bm bn sinmπxL sinnπxL dx a0² L2 m1 L am² L bm² Portanto LL f2x dx a02 L2 m1 Lam2 Lbm2 a fx sinax 0 x π a não é um número inteiro Expansão em série de senos Para obter a expansão em série de senos estendemos a função fx como uma função ímpar no intervalo π x π A expansão em série de Fourier de senos é dada por fx n1 bn sinnx onde bn 2π 0π fx sinnx dx Calculando bn bn 2π 0π sinax sinnx dx 1π 0π cosanx cosanx dx 1π sinanxan sinanxan0π 1π sinanπan sinanπan 2a sinnππa2 n2 usando sina b sin a cos b cos a sin b 2a 1n sinaππa2 n2 Portanto a expansão em série de senos de fx é fx 2a sinaππ n1 1na2 n2 sinnx Expansão em série de cossenos Para obter a expansão em série de cossenos estendemos fx como uma função par no intervalo π x π A expansão em série de Fourier de cossenos é dada por fx a02 n1 an cosnx onde a0 2π 0π fx dx e an 2π 0π fx cosnx dx Calculando a0 a0 2π 0π sinax dx 2π cosaxa0π 2aπ 1 cosaπ Calculando an an 2π 0π sinax cosnx dx 1π 0π sinanx sinanx dx 1π cosanxan cosanxan0π 1π cosanπan cosanπan 1an 1an 2a1 cosaπ cosnππa2 n2 2a1 1n cosaππa2 n2 Portanto a expansão em série de cossenos de fx é fx 1aπ 1 cosaπ 2aπ n1 1 1n cosaπa2 n2 cosnx b fx cosax 0 x π a não é um número inteiro Expansão em série de senos Estendemos fx como uma função ímpar no intervalo π x π A expansão em série de Fourier de senos é dada por fx n1 bn sinnx onde bn 2π 0π fx sinnx dx Calculando bn bn 2π 0π cosax sinnx dx 1π 0π sinanx sinanx dx 1π cosanxan cosanxan0π 1π cosanπan cosanπan 1an 1an 2ncosaπ cosnπ 1πa²n² 2n1n cosaπ 1πa²n² Portanto a expansão em série de senos de fx é fx 2π n1 n1n cosaπ 1a²n² sinnx Expansão em série de cossenos Estendemos fx como uma função par no intervalo π x π A expansão em série de Fourier de cossenos é dada por fx a02 n1 an cosnx onde a0 2π 0π fx dx e an 2π 0π fx cosnx dx Calculando a0 a0 2π 0π cosax dx 2π sinaxa0π 2 sinaπaπ Calculando an Portanto a expansão em série de cossenos de fx é fx sinaπaπ 2a sinaππ n1 1na²n² cosnx c fx x x² 0 x 1 Expansão em série de senos Estendemos fx como uma função ímpar no intervalo 1 x 1 A expansão em série de Fourier de senos é dada por fx n1 bn sinnπx onde bn 2 01 fx sinnπx dx Calculando bn bn 2 01 x x² sinnπx dx 2 x x² cosnπxnπ 12x sinnπxn²π² 2 cosnπxn³π³01 2 cosnπn³π³ 2n³π³ 22 cosnπn³π³ 22 1nn³π³ Portanto a expansão em série de senos de fx é fx 2π³ n1 2 1nn³ sinnπx Expansão em série de cossenos Estendemos fx como uma função par no intervalo 1 x 1 A expansão em série de Fourier de cossenos é dada por fx a02 n1 an cosnπx onde a0 2 01 fx dx e an 2 01 fx cosnπx dx Calculando a0 a0 2 01 x x² dx 2 x²2 x³301 2 12 13 13 Calculando an an 2 01 x x² cosnπx dx 2 x x² sinnπx nπ 12x cosnπxn²π² 2 sinnπxn³π³01 2 cosnπn²π² 1n²π² 21 cosnπn²π² 21 1nn²π² A função fx é definida por fx L x L x 0 L x 0 x L com fx 2L fx x R Como fx é uma função par a série de Fourier de fx será uma série de cossenos fx a02 Σ n1 to an cosnπxL onde a0 1L L to L fx dx e an 1L L to L fx cosnπxL dx Calculando a0 a0 1L L to L fx dx 1L L to 0 L x dx 0 to L L x dx 1L Lx x22 L to 0 Lx x22 0 to L 1L 0 L2 L22 L2 L22 0 1L L22 L22 L Calculando an an 1L L to L fx cosnπxL dx 1L L to 0 L x cosnπxL dx 0 to L L x cosnπxL dx Portanto a expansão em série de cossenos de fx é fx 16 2π2 Σ from n1 to 1 1nn2 cosnπx d fx x 0 x 1 2 x 1 x 2 Expansão em série de senos Estendemos fx como uma função ímpar no intervalo 2 x 2 A expansão em série de Fourier de senos é dada por fx Σ from n1 to bn sinnπx2 onde bn 12 2 to 2 fx sinnπx2 dx 0 to 2 fx sinnπx2 dx Calculando bn bn 0 to 2 fx sinnπx2 dx 0 to 1 x sinnπx2 dx 1 to 2 2 x sinnπx2 dx 2x cosnπx2 nπ 4 sinnπx2 n2 π2 from 0 to 1 22 x cosnπx2 nπ 4 sinnπx2 n2 π2 from 1 to 22 2 cosnπ2nπ 4 sinnπ2n2 π2 2 cosnπ2nπ 4 sinnπ2n2 π2 8 sinnπ2 n2 π2 Portanto a expansão em série de senos de fx é fx 8π2 Σ from n1 to sinnπ2n2 sinnπx2 Expansão em série de cossenos Estendemos fx como uma função par no intervalo 2 x 2 A expansão em série de Fourier de cossenos é dada por fx a02 Σ from n1 to an cosnπx2 onde a0 12 2 to 2 fx dx 0 to 2 fx dx e an 12 2 to 2 fx cosnπx2 dx 0 to 2 fx cosnπx2 dx Calculando a0 a0 0 to 2 fx dx 0 to 1 x dx 1 to 2 2 x dx x22 from 0 to 1 2x x22 from 1 to 2 12 4 2 2 12 1 Calculando an an 0 to 2 fx cosnπx2 dx 0 to 1 x cosnπx2 dx 1 to 2 2 x cosnπx2 dx 2x sinnπx2 nπ 4 cosnπx2 n2 π2 from 0 to 1 22 x sinnπx2 nπ 4 cosnπx2 n2 π2 from 1 to 22 2 sinnπ2nπ 4 cosnπ2n2 π2 4n2 π2 2 sinnπ2nπ 4 cosnπ2n2 π2 8 cosnπ2 8n2 π2 Portanto a expansão em série de cossenos de fx é fx 12 8π2 Σ from n1 to cosnπ2 1n2 cosnπx2 Usando integração por partes obtemos an 1L Lx Lnπ sinnπxL L²n²π² cosnπxL L0 Lx Lnπ sinnπxL L²n²π² cosnπxL 0L 1L L²n²π² 1 cosnπ L²n²π² cosnπ 1 2Ln²π² 1 cosnπ 2Ln²π² 1 1n Observe que an 0 quando n é par e an 4Ln²π² quando n é ímpar Portanto a série de Fourier de fx é dada por fx L2 Σn1 2Ln²π²1 1n cosnπxL L2 Σk1 4L2k1²π² cos2k1πxL 2 Esboçando o Gráfico O gráfico da função fx e da sua série de Fourier é mostrado abaixo gráfico triangular entre L e L altura 1 em x0 3 Calculando a Soma da Série Numérica Substituindo x 0 na série de Fourier de fx obtemos f0 L2 Σk1 4L2k1²π² cos2k1π0L L2 Σk1 4L2k1²π² Como f0 L temos L L2 Σk1 4L2k1²π² Isolando a série obtemos Σk1 4L2k1²π² L2 Dividindo ambos os lados por 4Lπ² obtemos Σk1 12k1² π²8 Portanto a soma da série numérica é π²8