Séries de Fourier - Periodicidade Ortogonalidade e Fórmulas de Euler

Series de Fourier Periodicidade dos funções seno e cosseno Ortogonalidade das Funções Seno e Cosseno As Fórmulas de Euler Fourier OBS As funções fax cos mix enx sen nux Série da Forma são periódicos de período T 21 L L do amcos mix bosen mix 1 ComLER fmx 2 c mX 2 cos mX ma 2m 1 I I L L cos miX fmX EM fo é periódica Se existirem valores de X para os quais a cérie 2 de período T 2 acima conversa então tal série define uma Função fx fr também é periódica de período PFCL onde o domínio é o convento de valores para os quais a Série converge Neste caso dizemos que a Sériea é a série de fourier se considerarmos um espaço de funções periódicas de de função fx Os coeficientes ao amibm m21 são período r 2L 0 podemos definir o produto interno chamados coeficientes de série de Fourier Cre fa FIX faxdX Assim dizemos que foe Consideremos agora um problema diferente do que fa são ortogonais sef fa 0 tomamos anteriormente Suponhamos de uma função Neste espaço de funções definido acima temos que o FX i desciamos saber se existem valores aaamebm conjunto Im 4mix 13 é um conjunto orgonal m21 tais que en Ym Im Ymxdx Enx sem nix dx L L Fx 00 amcosmx bmeen mix cosA senB enCA B sen AB 2 L L m 1 Ign Pm Va Joem minX sen n mynxdx L 1 C cas ntmx csumieI L n mπ I Definição uma funçãof é dita periódica com O semFN Período TJO de período fundamente de f se for o me nor valor continuo para o qual semnicos nix men nxx RX fx XXEDt L L DBS pode ser reescrita como fxr fx VXEDt Va Jeen mix dx 1 L Cos 2mX L A definição implica que o domínio de uma L 2 mπ L L função periódica é sempre não limitada O Assim Para E periódica de período T deve valer que m Ym 0 Une fx ni Fx YxEDraUnt 11m en 20emSe sefegsão funções periódicas de períodos comDrDg então 4m Pul 0 seme As f g é periódica de período 4m 1 0 3 pg éderiódica de período T fm 1 0 F gx m fx r gX m fx gx fgx Suponhamos que a série BS É possível mostrarmos que a soma de duas ao amas mix bm sen mix funções periódicas quais quer nem sempre resulte 2 m 1 L em uma função periódica De fato sef é periódica converge para fa com X em algum domínio real de períodos e g periódica de período Te então Assim se integrarmos xpXdedeLatel e igualar a fagserá periódica se existirem min e trisque Jefdx obtemos do I fid nF1 mT2 Neste casa f y terá período r n in Condições de Convergência da Série de Fourier 70 X 0 Agora Multiplicando por cos nix integranto pix de an14 a sen noe 4 I L I ni 2 as no Late igualando obtemos o centm 12 sen nix co n L Len m I L L Luan San dx an 1Y4 O fxdX L L an c ace a anl onix fxdx na bn 1 sen nux fx x L an 1 x fxx d L Agora multiplicando A por sen niX integran Proposição Sef é periódica de período T 2L do p XdeLate Le igualando e L então Fxdx J fxdx sen nix fx Ex obtemos O L Prova fx 2L fx XX bn 1 sen no Ax nao fxdx fxdx fax ex Y Cxdx Ja fxdy jaxax Ja xdx Exemplo Assuma que existe uma série de fourier convergente para a função definida por fx x 22X0 fx 4 FX Teorema Se fx é limitada periódica em cada perior E X 02x2 XXE IR d possui um ne finito de descontinuidades e um mime ro finito de máximos e mínimos locais então a série de Determinamos os Coeficientes de Série de Fourier de fx converge para fX se f é contínua fourier de f em x e converge para fx fx se fé desconti alte nua em X onde fX lim 2 n 30x IIIll fx h e fx limfx h s In 2 2 i h 0 F é periódica de período T 4 32L 4 7 2 OBS Quando uma função é limitada e em qualquer intervalo finito possui um ne finito de máximose I mínimos locais e uma quantidade finitade des 00 1xdxxx 2x 2 20 continuidades dizemos que esta função Satisfaz as condições Exemplo Seia fx 0 NEX 10 fx 2 F 00 4 E Sene oX XER an cor nix Fxd Temos que f é limitada pais fx 1XXER 2 f é periódica por definição an11 cos ni dx facenx x dx f é continua zero descontinuidades em cada período 2 f possui apenas um ponto de máximo local em cada período Mas xconnix dx 2 een nx con nπ 2 ni22 Séries de Fourier de funções periódicas pares e ímpares Calculamos os coeficientes2 Utilizando a questão anterior mostre que mm an en de série de forrer de 6 12 ao 12x xxde A Teorema propriedades de funções pares e impar cosX COS N COS 0 1 1 2 res A O produto de duas funções pares é uma função par E am 23 mxfxdx mxynxax oprodutodefunimpareséumfunçãoa função impar dena cosb een AtB senCAB d A soma Condiferença de duas funções pares é par Então am 1 senmtx senmxd Asome audiferencadedofunçõesimpares imas El se fx é impar então Safx e amtl cosmtx 1 cosm I 41m I OBS f é par se fx fx XXEDF A Exemplo Fx x2 é par 1 zem A im Il 11 1 m Simetria em for no do eixo m m m1m m m 1 m2 F é impar Se fx fx X E DF Exemplo fx X 1cm cem cancem sem Simetria em 1 m2 I S 1m2 épar torno de origem O se máímpar Teorema se e é uma função periódica porque an LosX Senxdx 1 senxx satisfaz as condições de Duridlet então Os coefici entes de Série de fourier de f são dados por L bm 1 Seremx semxd an2f cos nix ex bo OBS Pelo teorema acima se f é par possui a série de fourier 3m 1 cosmx cosm xa fx fx anc Im sencemex 1m1x 2 L m 1 be sencxsencxdx 1 lcosaxx Teorema Se f é uma função periódica impar af que satisfaz as condições de Durilat então os sen coeficientes da Série de fourier de f são dados por O 2π 2 anto un20 ebn 2ff sen nix d L Exercícios 1 calcule a série de fourier de função Exemplo Sera Fx 1 Se x 0 efx 2 fx fx 0 se ax0 fx fx 2π 1 5e0XIN ER X se OX π VXER f N 1 disa xsencaxdx auxcosax2csax Caxsenax fn 1 2 ab 2 cosaxdx a2x senax 2senax 2axcosax i a3 O fenômeno de Gibbs fn 1 2 ma prática ao obter a série de F N 1 fourier de uma função trabalhamos F x fxYXER f x fx FX T apenas com uma soma parcial da portantanto gé impar desconsiderando espontos séricistoé Su 211 sencix Fenômeno n 1 Xk k comKel nit de Gibbs O Logo sua série de Forrier é da forma Expansão em meia onda bu sen nix onde Li ebn senxdx É possível representar uma função fx por uma série de n 2 L fourier mesmo que estafunção não seja periódica 2 It Sen dx 2 Cos C Coscoso Contudo esta representação sólida em um intervalo finitoe n o Nit Suponhamos que fX definida no intervalo 0 1 satisfa 2 1 1 bu 2 142n co as condições de Dirichlet Consideramos inicialmente ni uma extensão da função r dada fx fx E 1 4 senx F x fx sex 0 L wi 2 2fx 1 fxVXER Exemplo Então D fx 0 n x10 fx an fxx Ex FX a anos In tenI X e 2 L L 3 2 I L 90 xdx 2dx 3 onde ao2dan os auxx para n 1 an 1xcoscnxdx 2 de bn sen anix fx n2 bn 1 X Sen nxdx 1 2 ni 1 2 Como Fx fx plX0L itamos que I O n3 fx an cos Enx bn sen 2x Fxl bn in se n é por L L S n224 sen é impar podemos também considerar EX uma extensão perió nπ dica e par defx isto é Fx fx x0 2 4 fx 22 fx VXEIR fx fx m2 E2 1 coxnx f x x 1 07 N 2 6 n2 fx 0 n 1 ancos nix VXER Como Fx fx 2n 2 1 2 sen nx X L plXE 0 L temos que in3 Fx ao an os nX VxEDL onde 2 L Exemplo 2 Tomando X o na série ecimo terros F0 2 L n2 ao 2 xdx an 2 conix fx o m 2 E E Por último podemos ainda estender fe F com sendo 6 umafunção impar e periódica 1 1 1 1 fx sex 0 2 pimpar 22324252 Fx F Xsex L 0 fx 2L EX VER x busen consideramos a função periódica fx 1 se Texcofx 2n fxXEm bu f enx Exdxem x 1 se OEXI É possível mostrar que Como Fx Ex pl ECO L itemos x fx 72 1m sencux fxbasenx0 com bnenexid 2 n 1 nit Série de Fourier na Forma Complexa Integrais de Fourier Exemplo Desenvolva fx x x 0 1 É possível mostrar que a em uma série de cossemos b em uma série desenos fxdxfk A 8 é para periódico de período 2 L Exemplo Encontre a forma complexa da série de fourier an 2 os nix x da função fx e se1X1 comfx a FxFER L aor2x2d X fx an cxx 2 1 eke dxlik Bisperíodoaimpe a pxca V2e iktx 1 gv iksi 11 iki 2 IKIT L f Leoskisen i ecosn cen um u onde br sen nd 21 ikπ I 2 L 1k e el 1 e e 1 sent Exercício Encontre a expansão em meia onda de 21 ik Hik 2 stikt senos e cossenos para cada função dada 1 1iki sen hl 1 kaC Kit X al fx 10Xh fx 1 devikt seneces e k T 1 2nd Integrais de fourier como limit b fx 0 02xav te de uma Série de Fourier 1 122x4 seja uma função que satisfaz as condições Dirichlet Consideramos FICX com 0 uma função periódica 2 fx a cosce 0 Ex2 de período 21 tal que fx Fx VE L 1 Observemos que fLx tende a fX quando o Temos também que Teorema A integral de qualquer função periódica que flx 002 tanca NX In Jen A n 1 L L satisfaz as condições de Dirichlet pode ser obtida por inter gração termo atermo de sua série de fourier Pergunta Oque acontece com a Série de fourier de fl Teorema Se f é uma função periódica que satisfazas quando tomamos seu limite para ls to Conside condições Dirichlet é contínuo e também satisfat as rar as seguintes definições n m ven 1 un condições de Dirichlet então onde existir fx pode ser encontr i L trada por derivação termo atermo de Série de Fourier fx E tomamos a forma complexe da série de fourier de fl I Suponhamos que fx 002 E an cos nix ten sennix n 1 outA Lembrando que para o ERi temos coscos e eio Sendo e progio 2i Fax varinfeat em su Logo Faxet anLei 2 I Fax 12 uk Au onde gacus Sim brinin 2i Assim tomando o limite de fx quando Leto obtemos imX faba Fx 1 gudu onde g imte fx ao Janibnenfantine FLx Diuxi Ede a 2 A integral acima é chamada integral de fourier fx kei onde cozade Ck akibk sekso defx É possível mostrar que tal integral irá k x S 2 convergir para fx fx se ak ikb Se k10 2 2 I A fx satisfaz as condições de Dirichlet em qualquer Sefx é impar então Alu 0 e BlusTenhaat intervalo finito Baintegral Efixi de converge if é absolutamente FLC integrável emm Fx fx jeiximcd 2 Diux ful dueonde fm eiug déatrano I formada de Fourier def Vejamos a seguir outras maneiras de escrever a inte gra de fourier de f Fximximtdtd de Pouxmeltisen uxmtfd e o ifPosluxnet ft dtc iPOsencux mt fxdd mX E Postaxmeftdtdec duedt Opelo lema de Posluxut ftdt de Riemamleberee P comexcoscue sen cuxsencute du coscux concret ft sencux sencee FI di du 2π ouSe Fx AM nos x Bau senx du onde ALM 1 PostftdeBlu Ben m fe o Obs sefx é par então AM 1 ocosMT ft d Blu