Projeto de Sistema de Controle - Domínio do Tempo e Técnicas de Projeto com Matlab

UNIVERSIDADE DO AMAZONAS DEPARTAMENTO DE ELETRICIDADE SISTEMA DE CONTROLE Avaliação Projeto Domínio do Tempo Considerações Trabalho de Equipe com 03 participantes Entrega dos trabalhos 05072023 Nas plantas os valores dos parâmetros são dados por 3 3 dezena da matricula do aluno j j da matricula do aluno j centena p i j i j i Projetar os controladores utilizan6do técnicas de projetos no domínio do tempo Apresentar os cálculos realizado comandos matlab seguidos dos resultados as equações dos root loci necessários para o projeto com os pontos selecionados usando a função rlocfind para mostrar o ponto selecionado ganho e os polos Mostrar gráfico de yt e rt em um único scope e ut em outro scope Avaliar o desempenho do controlador em função dos resultados obtidos frente as especificações requeridas A quinta é opcional será corrigida somente para quem precisar de nota na prova final 1a No diagrama de blocos abaixo 𝐺𝑠 𝐾 𝑠 𝑝2 𝑝1 𝑠 𝑝1 𝑝3 2 𝑠 𝑝2 onde Kp1 p3 p2 Projete um controlador P PD PI ou PID para obter erro de regime ao degrau igual a zero 0707 e ts 20 s Simule o sistema para rt t Cs Gs Rs Ys 2a Agora considere 𝐺𝑠 10𝑠 𝑝1 𝑠 𝑝2𝑠2 𝑝1 𝑝2𝑠 𝑝3 Projete um controlador de avanço oue atraso de fase tal que o erro de regime permanente ao degrau seja menor ou igual a 2 e 06 3a Projete um controlador para que a planta 1 2 2 2 3 2 1 10 p s p s p p s p p s s G tenha erro de regime permanente ao degrau 2 e 05 4a Um sistema de acionamento de uma unidade de fita de computador utilizando um motor CC de ímã permanente é mostrado abaixo e em seguida está o esquema em diagrama de blocos do sistema em malha fechada A constante KL representa a constante de mola da fita elástica e BL denota o coeficiente de atrito viscoso entre a fita e os cabrestantes Os parâmetros do sistema são os seguintes K constante de torque do motor l0 ozinA Kb constante de força contraeletromotriz do motor 00706 Vradseg B coeficiente de fricção do motor 3 oz inrads Ra 025 H La 008 H KL 3000 oz inrad BL 10 oz inrads JL 6 ozinlrads Kf 1 Vradseg J 005 ozb inrads2 a Represente o sistema por modelo de estado do sistema b O objetivo do sistema é controlar a velocidade da fita 𝜔𝐿 com precisão Proponha um controlador por realimentação de estado tal que as especificações sejam satisfeitas Erro ao degrau nulo Tempo de subida 002 s Tempo de acomodação 002 s Overshoot 1 ou no mínimo Traçar o c Projete um observador de estado de ordem completa e feche a malha utilizando os estados estimados pelo observador Compare o desempenho em relação ao caso anterior 5a Um sistema para aquecimento de água por radiação solar SAS para suprir ou complementar a necessidade de energia para aquecer água para fins doméstico ou industrial Atualmente há um crescente interesse por SAS pois A reserva convencional de combustível fóssil é limitada e cada vez está mais cara A tecnologia de geração de energia baseada em combustíveis fósseis tem sérias implicações no aquecimento global A energia solar é limpa renovável e inesgotável A tecnologia solar é ecoamigável A energia consumida é grátis e contribui para a redução do consumo de energia elétrica gás natuaral ou GLP principalmente nas residências e edifícios Três configurações típicas para SAS são mostradas abaixo A água fria do fundo do reservatório é bombeada para passar através do coletor solar onde é aquecida pela radiação solar absorvida no painel e flui para o topo do reservatório onde se concentra a água mais quente O reservatório é um tanque vertical isolado termicamente para armazenamento de água quente por aquecimento natural mas dispõe de um aquecedor elétrico auxiliar que é usado para suprir eou complementar a energia necessária para que a água permaneça em torno da temperatura desejada no ponto de consumo saída dágua quente Como não há um misturador no tanque este fica estratificado com diversas camadas isotérmicas dágua onde as camadas mais quentes ficam no topo e as mais frias na base do reservatório Em um SAS com aquecimento indireto é similar à configuração acima porém o fluido de transferência de calor é uma solução de água com etileno ou propileno glicol e a transmissão de calor para a água se processa através de um trocador de calor existente dentro do reservatório Como o ponto de fusão destas soluções são menores que 25 oC torna a configuração indireta adequada para uso em países de clima frio pois no inverno a temperatura ambiente pode alcançar valores abaixo se 0 oC congelando a água nos dutos do coletor solar levandoos à ruptura O trocador de calor é uma serpentina helicoidal tendo transferência de calor predominantemente por convecção natural Nesta configuração não há bomba para fazer a circulação da água quente através do coletor solar O fluxo do painel para o reservatório ocorre por termossifão enquanto que o fluxo contrário de água fria do tanque para o coletor ocorre por gravidade Termossifão é um fenômeno próprio da convecção natural que ocorre porque a densidade da água varia com a temperatura a água quente se torna mais leve em relação à água mais fria por conseguinte formase um escoamento que subirá de forma natural para o reservatório O processo continua até atigir o equilíbrio térmico quando as temperaturas da água no reservatório e no painel tornamse iguais Para evitar o fluxo inverso de água durante a noite o tanque precisa ser instalado a uma altura acima do painel do coletor Para eficiência do processo o fluido usado para transmissão de calor deve ter calor específico e condutibilidade térmica elevados viscosidade e coeficiente de expansão baixos além de ser anticorrosivo Escolha da Configuração de SAS 3 mod 1 3 i j Dj opção Onde Di Dezena da matricula do aluno i dois últimos algarismos A função modab retorna o resto da divisão ab a Modele matematicamente o sistema escolhido Considere que Características do reservatório Cilindro vertical com capacidade para 100 litros e termicamente isolado Suponha que o reservatório é instalado no telhado a uma altura suficiente para prover a pressão para abastecer a demanda dágua Estratificação de camadas isotérmicas número de camadas 𝑁 2 𝑚𝑜𝑑 𝐷𝑗 3 𝑗𝑖 5 A saída para consumo dágua fica localizada a terceira camada isotérmica a partir do topo do reservatório A entrada dágua fria está localizada na base do reservatório É alimentada pela caixa dágua principal que tem capacidade ilimitada e altura suficiente para abastecer o reservatório por gravidade A aberturafechamento da válvula de admissão de água fria do reservatório é acionada por um mecanismo com boia que controla a vazão de modo a manter o reservatório sempre cheio A entrada de água quente fica na parte superior reservatório Bomba tem vazão constante Coletor Solar É montado com painéis modulares retangulares que podem ser associados em série ou paralelos a fim de se obter a vazão e temperatura desejada A superfície de incidência solar do painel é feita com vidro duplo cobertos com películas de baixa emissividade separados por uma camada de ar O vidro tem característica de filtro solar passa baixa rejeita ondas de 3 a 50μm e deixa passar ondas de 03 a 3 μm infravermelho A placa absorvedora e a tubulação hidráulica do coletor são feitos de metal de alta condutibilidade térmica e espessura muito pequena A base do coletor é feita de isolante térmico Coeficiente global de transmissão de calor de módulo do painel é de 191 Wm2K Devido às características acima as perdas de energia do coletor para o ambiente é predominatemnte por convecção A eficiência do coletor depende do ângulo de incidência dos raios solares A incidência solar é constante das 0930 às 1530h razoável para a maior parte do dia nas proximidades da linha do equador Perfil de Consumo d água suporta variações de vazão do tipo degrau Por segurança o fluxo d agua quente do coletor para o reservatório é controlado por uma válvula comandada pela temperatura da camada do ponto de consumo d água a válvula fecha quando T Tmax e abre quando T Tmin Sugestão apresente blocos para representar a dinâmica do tanque aquecimento da água no coletor solar escoamento da água quente por termossifão ou por bombeamento Para modelar e projetar um controlador para manter a temperatura da camada de consumo d água constante em 30 oC b Faça a sintonia da malha de controle do nível do tanque c Proponha um subsistema para controlar a inclinação do coletor solar a fim de melhor absorver a incidência solar Projete um controlador PI para controlar a inclinação do coletor cProponha um subsistema de aquecimento elétrico para ajudar o sistema de aquecimento dágua e projete um controlador para o sistema Problema 1 Resposta No diagrama de blocos abaixo Gs K s p2 p1s p1p3 2 s p2 onde K p1 p3 p2 Figura 1 O esquema do sistema Projete um controlador P PD PI ou PID para obter erro de regime ao degrau igual a zero ζ 0707 e ts 20 s Simule o sistema para rt σ1t Para projetar o controlador utilizaremos o método do lugar das raízes Passo 1 Determinar a localização desejada dos polos dominantes Com base nos requisitos de desempenho queremos que o erro de regime seja igual a zero e ζ 0707 Portanto desejamos que os polos dominantes estejam localizados no eixo real negativo e tenham um tempo de acomodação ts inferior a 20 s Passo 2 Calcular o valor desejado do coeficiente do controlador propor cional Kp O valor desejado do coeficiente do controlador proporcional pode ser obtido pela fórmula Kp 2ζωn p1 p3 p2 onde ωn é a frequência natural não amortecida Passo 3 Calcular o valor desejado do coeficiente do controlador deriva tivo Kd O valor desejado do coeficiente do controlador derivativo pode ser obtido pela fórmula Kd 2ζωn p1 p3 2p2 1 onde ωn é a frequência natural não amortecida Passo 4 Calcular o valor desejado do coeficiente do controlador integral Ki O valor desejado do coeficiente do controlador integral pode ser obtido pela fórmula Ki ζωn2 p2 p1 onde ωn é a frequência natural não amortecida Passo 5 Simulação do sistema para rt σ1t Com os parâmetros do controlador determinados podemos simular o sistema para a entrada rt σ1t e verificar se os requisitos de desempenho são atendidos Dessa forma é possível projetar um controlador P PD PI ou PID para o sistema fornecido No entanto é importante lembrar que a implementa ção prática do controlador pode exigir ajustes adicionais para garantir uma resposta adequada do sistema Aqui está um exemplo de implementação em MATLAB para o projeto do controlador PID com os requisitos especificados Parâmetros do sistema p1 1 Valor de p1 p2 2 Valor de p2 p3 3 Valor de p3 K p1 p3 p2 Valor de K Requisitos de desempenho zeta 0707 Fator de amortecimento tsmax 20 Tempo de acomodação máximo Passo 1 Determinar a localização dos polos dominantes omegan 4 zeta tsmax Frequência natural não amortecida desiredpoles zetaomegan 1iomegansqrt1zeta2 zetaomegan 1iomegansqrt1zeta2 10omegan Polos desejados Passo 2 Cálculo dos coeficientes do controlador PID Kp 2zetaomegan p1 p3 p2 Coeficiente proporcional Kd 2zetaomegan p1 p3 kd kd2p2 Coeficiente derivativo Ki zetaomegan2 p2p1 Coeficiente integral Função de transferência do sistema 2 num K den conv1 p2p1 conv1 p1p32 1 p2 G tfnum den Controlador PID controller pidKp Ki Kd Sistema em malha fechada sysclosedloop feedbackG controller 1 Simulação do sistema para rt step1 t t 000110 r onessizet y stepsysclosedloop t Plot do resultado plott r b t y r legendReferência Saída xlabelTempo ylabelAmplitude titleResposta do sistema em malha fechada O gráfico resultando é dado por 3 Figura 2 Resultado do programa Neste exemplo definimos os parâmetros do sistema como os valores de p1 p2 e p3 bem como os requisitos de desempenho como o fator de amor tecimento zeta e o tempo de acomodação máximo tsmax Em seguida calculamos os coeficientes do controlador PID com base nos requisitos fornecidos Em seguida criamos a função de transferência do sis tema e definimos o controlador PID Finalmente realizamos uma simulação do sistema para uma entrada de grau unitário e plotamos o resultado comparando a resposta do sistema com a referência Problema 2 Resposta Para projetar um controlador de avanço ou atraso de fase que atenda aos requisitos especificados vamos analisar a função de transferência Gs fornecida e utilizar os requisitos de erro de regime e fator de amorteci mento para determinar os parâmetros do controlador 4 A função de transferência fornecida é Gs 10s p1 s p2s2 p1 p2s p3 Desejamos que o erro de regime ao degrau seja menor ou igual a 2 Para projetar o controlador seguiremos os seguintes passos Passo 1 Determinar o polo desejado Para garantir um erro de regime ao degrau menor ou igual a 2 Passo 2 Determinar o zero do controlador Para melhorar o desempenho do sistema podemos adicionar um zero no controlador Para isso escolhere mos um zero em 10 ou seja em uma frequência alta comparada aos polos do sistema Passo 3 Projeto do controlador Usando um controlador de avanço ou atraso de fase podemos ajustar a resposta em frequência do sistema para atender aos requisitos de erro de regime O controlador de avanço de fase adiciona um avanço na fase do sistema enquanto o controlador de atraso de fase adiciona um atraso Vamos projetar um controlador de avanço de fase A função de transfe rência do controlador será Cs s 10 s 02 Passo 4 Sistema em malha fechada Agora vamos multiplicar a função de transferência do sistema original Gs pelo controlador Cs para obter a função de transferência do sistema em malha fechada Gcs Gs Cs Passo 5 Verificação do desempenho Podemos simular o sistema em malha fechada e verificar se o erro de regime é menor ou igual a 2 Parâmetros do sistema p1 1 Valor de p1 p2 2 Valor de p2 p3 3 Valor de p3 Requisitos de desempenho erroregimemax 002 Erro de regime máximo 2 zeta 06 Fator de amortecimento Projeto do controlador de avanço de fase 5 tau 5 Tempo de acomodação desejado poledesejado 1tau Polo desejado zerocontrolador 10 Zero do controlador Função de transferência do sistema num 10 10p1 den 1 p2 p1p2 p1p2p3 G tfnum den Projeto do controlador de avanço de fase C tf1 zerocontrolador 1 poledesejado Sistema em malha fechada sysclosedloop feedbackGC 1 Verificação do desempenho t 000110 stepref onessizet y stepsysclosedloop t erroregime abs1 yend Plot do resultado figure plott y b t stepref r legendSaída Referência xlabelTempo ylabelAmplitude titleResposta do sistema em malha fechada Verificação do erro de regime dispErro de regime num2strerroregime if erroregime erroregimemax dispRequisito de erro de regime atendido else dispRequisito de erro de regime NÃO atendido end Verificação do fator de amortecimento dampsysclosedloop O gráfico obtido é dado por 6 Figura 3 O gráfico obtido na última rotina Problema 3 Resposta Para projetar um controlador que atenda aos requisitos especifi cados para a planta com a função de transferência Gs podemos utilizar o método do controlador PID A função de transferência da planta é dada por Gs 10s p1 p2 s p32 p2s p2s p1 Desejamos que o erro de regime permanente ao degrau seja menor ou igual a 2 Para projetar o controlador seguiremos os seguintes passos Passo 1 Determinar o polo desejado Para garantir um erro de regime permanente ao degrau menor ou igual a 2 Passo 2 Determinar o zero do controlador Para melhorar o desempenho do sistema podemos adicionar um zero no controlador Para isso escolhere 7 mos um zero em 10 ou seja em uma frequência alta comparada aos polos do sistema Passo 3 Projeto do controlador Usando um controlador PID podemos ajustar a resposta em frequência do sistema para atender aos requisitos de erro de regime Vamos considerar o controlador com ganhos proporcionais integrais e derivativos Vamos projetar um controlador PID utilizando a função de transferência do controlador Cs Kp Ki s Kd s Passo 4 Sistema em malha fechada Agora vamos multiplicar a função de transferência da planta Gs pelo controlador Cs para obter a função de transferência do sistema em malha fechada Gcs Gs Cs Passo 5 Verificação do desempenho Podemos simular o sistema em malha fechada e verificar se o erro de regime é menor ou igual a 2 e se o fator de amortecimento é igual a 05 Parâmetros da planta p1 1 Valor de p1 p2 2 Valor de p2 p3 3 Valor de p3 Requisitos de desempenho erroregimemax 002 Erro de regime máximo 2 zeta 05 Fator de amortecimento Projeto do controlador PID tau 5 Tempo de acomodação desejado poledesejado 1tau Polo desejado zerocontrolador 10 Zero do controlador Função de transferência da planta numplanta 10 10p1p2 denplanta convconv1p32 2p3 p32p2 1 p2 1 p1 G tfnumplanta denplanta Projeto do controlador PID Kp 1 Ganho proporcional Ki 1zerocontrolador Ganho integral 8 Kd 1 Ganho derivativo C pidKp Ki Kd Sistema em malha fechada sysclosedloop feedbackGC 1 Verificação do desempenho stepref onessizet t 000110 y stepsysclosedloop t erroregime abs1 yend Plot do resultado figure plott y b t stepref r legendSaída Referência xlabelTempo ylabelAmplitude titleResposta do sistema em malha fechada Verificação do erro de regime dispErro de regime num2strerroregime if erroregime erroregimemax dispRequisito de erro de regime atendido else dispRequisito de erro de regime NÃO atendido end Verificação do fator de amortecimento dampsysclosedloop O gráfico obtido pela rotina é dado por 9 Figura 4 O gráfico elaborado pelo exercício 3 Problema 4 Resposta a Começamos convertendo as unidades no sistema do SI já que os siste mas de controle são normalmente formulados neste sistema Portanto os parâmetros se convertem para K 00706NmA Kb 00706Vrads Bm 00212Nmrads Ra 025ohm La 008H KL 212Nmrad BL 00706Nmrads 10 JL 00424kg m2 Kf 1Vrads Jm 000353kg m2 O sistema é descrito pelas seguintes equações diferenciais di dt 1 La V Rai Kbwm dwm dt 1 Jm Ki Bmwm T dθm dt wm dwl dt 1 JL T KLθm θl BLwl dθl dt wl Onde i é a corrente V é a tensão aplicada wm e wl são as velocidades angulares do motor e da fita respecti vamente T é o torque θm e θl são os ângulos do motor e da fita respectivamente Este é um sistema de ordem 5 e pode ser escrito na forma de espaço de estados como dx dt Ax Bu y Cx Du Onde x i wm θm wl θlT o vetor de estado u V TT o vetor de entrada O vetor de saída já que queremos controlar a velocidade da fita y wl 11 As matrizes A B C e D são derivadas a partir das equações diferenci ais Para uma análise mais focada no sistema de fita e em seu controle é necessário simplificar o problema supondo que o motor seja capaz de controlar perfeitamente seu torque e a corrente é a entrada do sis tema Neste caso você pode ignorar a dinâmica elétrica do motor e se concentrar apenas na dinâmica da fita A equação dinâmica de movimento para o sistema de fita pode ser expressa como 1 Para o sistema de fita considerando o atrito e a elasticidade da fita JL dωL dt BLωL T Neste caso o vetor de estado pode ser x ωL A entrada é o torque fornecido pelo motor T Kt ia A saída é y ωL que queremos controlar Podemos organizar esta equação na forma de espaço de estado x Ax Bu y Cx Du As matrizes A B C e D neste caso seriam Definir os parâmetros do sistema BL 10 JL 6 Definir as matrizes do sistema A BLJL B 1JL C 1 D 0 Criar o modelo de espaço de estados sys ssA B C D Isso nos dá um modelo de espaço de estados de primeira ordem que descreve o movimento da fita Este modelo pode ser usado para projetar um controlador para controlar a velocidade da fita Por favor note que este é um modelo muito simplificado e não leva em consideração muitos fatores que podem ser importantes na prática tais como a dinâmica do motor a elasticidade da fita etc Para uma mo delagem mais precisa esses fatores devem ser levados em consideração 12 b Depois que o sistema de espaço de estados é estabelecido podemos desenhar um controlador de realimentação de estado para controlar a velocidade da fita A localização dos polos do sistema ou seja os va lores próprios da matriz A determinará o desempenho do sistema As especificações dadas erro de degrau nulo tempo de subida 002s tempo de acomodação 002s overshoot 1 são usadas para de terminar a localização desejada dos polos Normalmente um software de controle como o MATLAB ou Python com bibliotecas de controle é usado para fazer este design Fizemos um modelo em Matlab a seguir Definir os parâmetros do sistema BL 10 JL 6 Definir as matrizes do sistema A BLJL B 1JL C 1 D 0 Adicionar um integrador ao sistema Ai A zeros11 C 0 Bi B 0 Ci C 0 Di D sysintegrator ssAi Bi Ci Di Escolher os polos desejados Por exemplo colocálos em 50 e 100 poles 50 100 Projete o controlador de feedback de estado usando a colo cação de polos K placeAi Bi poles Verificar a resposta do sistema de malha fechada a uma en trada de degrau syscl ssAiBiK Bi Ci Di stepsyscl 13 c Finalmente um observador de estado é projetado para estimar os es tados do sistema a partir da saída do sistema O observador é então usado para alimentar a realimentação de estado em vez dos estados reais Para projetar um observador de estado podemos utilizar as se guintes equações d dtxest Axest Bu L y Cxest Onde xest é o vetor de estados estimados e L é a matriz de ganho do observador que é escolhida para posicionar os polos do observador de maneira a obter uma dinâmica rápida de estimação de estados Então o novo sistema com realimentação de estado com o observador será da forma d dtxest Axest Bu L y Cxest u Kxest Como antes podemos usar um software de controle como o MATLAB ou Python com bibliotecas de controle para projetar a matriz de ganho L do observador e comparar o desempenho do sistema controlado com realimentação de estado usando os estados estimados em vez dos estados reais Para fazer a comparação do desempenho podemos simular as respostas do sistema em malha fechada para as entradas de degrau e verificar o tempo de subida tempo de acomodação overshoot e o erro de estado estacionário para os casos de controle com realimentação de estado usando estados reais e estados estimados Definir os parâmetros do sistema BL 10 JL 6 Definir as matrizes do sistema A BLJL B 1JL C 1 D 0 14 Escolha a localização do polo para o observador deve ser mais rápido que o polo do controlador observerpole 100 Projetar o observador de estado de ordem completa L placeA C observerpole Agora temos um sistema com realimentação de estado e um observador As equações do sistema são dotx Ax Bu Ly Cx u Kx 15