Trabalho Sistemas de Controle - Controladores P PI PD PID e Simulações Matlab

1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAZONAS FACULDADE DE TECNOLOGIA TRABALHO DE SISTEMAS DE CONTROLE ALESSANDRA RIBEIRO DE MENEZES 21554904 GABRIEL HENRIQUE PRINTES PEREIRA 21752778 JERÔNIMO XIMENES DO PRADO NETO 21852760 Manaus AM 2019 2 ALESSANDRA RIBEIRO DE MENEZES 21554904 GABRIEL HENRIQUE PRINTES PEREIRA 21752778 JERÔNIMO XIMENES DO PRADO NETO 21852760 PROFESSOR MSC VALDIR SAMPAIO DA SILVA TRABALHO DE SISTEMAS DE CONTROLE Trabalho elaborado para Disciplina de Laboratório de Sistemas de Controle apresentado ao Curso de Engenharia Elétrica para obtenção de nota parcial do período 20192 Manaus AM 2019 3 SUMÁRIO INTRODUÇÃO 4 QUESTÕES E DISCURSSÕES 5 CONCLUSÃO 59 BIBLIOGRAFIA 60 4 INTRODUÇÃO Esse trabalho aborda as soluções das questões de sistema de controle propostas em sala de aula as quais são referentes aos controladores P PI PD e PID avanço ou atraso de fase e a atuação de sensores Vale ressaltar que para tornar a análise mais precisa é feita a simulação dos sistemas no software Matlab utilizando também o Simulink deste o qual facilita a visualização da resposta do sistema diante das entradas do mesmo de acordo com teoria ministrada na disciplina Sistemas de Controle 5 QUESTÕES E DISCURSSÕES 1ª No diagrama de blocos abaixo 𝑮𝒔 𝑲 𝒔 𝒑𝟑 𝒑𝟏 𝒔 𝒑𝟏 𝒑𝟐 𝟖 Onde 𝑲 𝒑𝟏 𝒑𝟐𝒑𝟑 Figura 1 Diagrama em blocos do sistema Projete um controlador P PD PI ou PID para obter erro de regime ao degrau igual a zero 𝜻 𝟎 𝟕𝟎𝟕 e tempo de acomodação 𝒕𝒔 𝟑𝒔 Simule o sistema para 𝒓𝒕 𝜹𝟏𝒕 Figura 2 Parâmetros referentes às matrículas 6 Visto que 𝑝1 107105 𝑝2 100119 𝑝3 753333 Para esses valores 𝐺𝑠 15610868 𝑠 6462𝑠 259𝑠 2503 Para que atenda às especificações 𝜁 0707 𝑡𝑠 3 𝑠 𝑒𝑠𝑠 0 𝑎𝑜 𝑑𝑒𝑔𝑟𝑎𝑢 Para que 𝜁 0707 o overshoot da resposta deve ser de 𝑜𝑣𝑠 𝑒 𝜁𝜋 1𝜁2 𝑜𝑣𝑠 43255 E 𝑡𝑠 45𝜁 𝜔𝑛 3𝑠 Logo 𝜔𝑛 10605 𝑟𝑎𝑑 𝑠 Haja vista a complexidade a quantidade de componentes o custo e a confiabilidade do circuito foi definida que a ordem de verificação de qual deve ser o tipo de controlador aplicado deve ser a seguinte 𝑃 𝑃𝐼 𝑃𝐷 𝑃𝐼𝐷 O controlador PD é verificado depois do PI haja vista que o mesmo quando aplicado deve utilizar de técnicas não tão simples para que não haja a adição de ruídos e outros problemas Caso um deles atenda as especificações requeridas respeitando a ordem acima este será o controlador implementado e os outros serão descartados CONTROLADOR P O controlador é dado por 𝐶𝑠 𝐾1 7 Análise de regime permanente O erro em regime permanente para um sistema do tipo zero sem pólos na origem aplicando um degrau unitário é dado por 𝑒𝑠𝑠 1 1 𝐾𝑝 Mas 𝐾𝑝 lim 𝑠0 𝐾1 15610868 𝑠 6462𝑠 259𝑠 2503 𝐾𝑝 37265𝐾1 𝐾1 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑒 𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜 𝐾𝑝 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑒 𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜 𝑒𝑠𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑒 𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜 Dessa forma não será possível projetar um controlador do tipo P para que o erro em regime permanente seja nulo Descartamos portanto esse controlador CONTROLADOR PI O controlador é dado por 𝐶𝑠 𝐾1 𝐾3 𝑠 Análise de regime permanente 𝑒𝑠𝑠 1 1 𝐾𝑝 Mas 𝐾𝑝 lim 𝑠0 𝐾1 𝐾3 𝑠 15610868 𝑠 6462𝑠 259𝑠 2503 Como 𝐾𝑝 𝑒𝑠𝑠 0 Dessa forma o controlador PI atende à especificação de erro nulo em regime permanente Análise de regime transitório Para realizar a análise em regime transitório precisamos do polinômio característico 8 Δ𝑠 1 𝐶𝑠𝐺𝑠 0 1 𝐾1 𝐾3 𝑠 15610868 𝑠 6462𝑠 259𝑠 2503 0 Fazendo 𝐾1 𝑙𝑖𝑣𝑟𝑒 𝐾3 0 1 𝐾1 15610868 𝑠 6462𝑠 259𝑠 2503 0 Fazendo um script no Matlab para verificar o rootlocus da função de transferência acima temse O rootlocus é Figura 3RootLocus para o controlador P clear all clc PARÂMETROS p1 107105 p2 100119 p3 753333 K p1p2p3 a p3p1 b p1p28 c p24 FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DA PLANTA G zpka b cK ROOTLOCUS PARA A PLANTA rlocusG 9 Dando zoom nos pólos próximos a origem acrescentando a condição de 𝜁 0707 e 𝜔𝑛 0 inicialmente e após algumas verificações escolhendo um ponto um pouco abaixo da linha de 𝜁 com a função rlocfindG Figura 4RootLocus para o controlador P com zoom nos pólos dominantes Fazendo 𝐾1 𝑓𝑖𝑥𝑜 𝐾3 𝑙𝑖𝑣𝑟𝑒 1 𝐾3 15610868 𝑠4 697161𝑠3 3356251𝑠2 15610868𝐾1 4189791𝑠 0 Fazendo 𝐾1 01338 temse O rootlocus da segunda segurando o último rootlocus com a função hold on Figura 5 RootLocus para o controlador PI sobre o RootLocus P K1 01338 G2 tf156108681 697161 3356251 15610868K14189791 0 rlocusG2 10 Como é possível perceber a adição de um pólo na origem levou o rootlocus ainda mais para o semiplano direito do plano Dando zoom nos pólos próximos a origem acrescentando a condição de 𝜁 0707 e 𝜔𝑛 18 𝑟𝑎𝑑 𝑠 𝑡𝑠 1768 𝑠 e escolhendo um ponto sobre a linha de 𝜁 com a função rlocfindG2 Figura 6 RootLocus PI com zoom Figura 7 RootLocus PI ponto selecionado Portanto faremos um controlador PI no Simulink com os valores 𝐾1 01338 𝑒 𝐾3 03345 Figura 8 Diagrama de blocos do sistema de controle A saída foi 11 Figura 9 Saída controlada da planta Como é possível perceber o overshoot de 43 foi atingido cursor 1 Ademais se for considerada a margem para ts de 4 do sinal em regime permanente estaremos dentro do limite para 𝑡𝑠 3𝑠 Caso fosse requisitado um valor de ts com a margem de 2 também seria possível obter porém com o método utilizado é deveras difícil de alocar os pontos corretos no rootlocus Apesar disso o controlador do tipo PI atende as especificações do projeto e pode ser utilizado com a função de transferência 𝐶𝑠 01338 03345 𝑠 Notas adicionais Vale ressaltar que seria possível obter respostas muito melhores com um controlador do tipo PID por exemplo para o circuito Figura 10 Diagrama de blocos para o sistema controlado com o PID controller Com o controlador dado por 12 Figura 11 circuito interno do PID controller Para tal os parâmetros P I D e N seriam Figura 12 parâmetros do PID controller De onde obteríamos a seguinte resposta Figura 13 Saída controlada da planta para PID controller Obtendo portanto o overshoot de 43 como requerido e um tempo de acomodação de 𝑡𝑠2 1189𝑠 13 Apesar do desempenho deste controlador quando aplicado à planta ser melhor ele apresenta um número muito maior de componentes sendo portanto mais caro menos confiável e inviável perante a razoável viabilidade do controlador do tipo PI Por esses motivos ele é descartado 2ª Agora considere 𝑮𝒔 𝟓𝟎𝒔 𝒑𝟏 𝒔 𝒑𝟐 𝟖 𝒔𝟐 𝒑𝟏 𝒑𝟑 𝒑𝟐 𝒑𝟏 Projete um controlador de avanço ou atraso de fase ou cancelamento de poloszeros tal que o erro de regime permanente ao degrau seja menor ou igual a 4 e 𝜻 𝟎 𝟓 O controlador de avanço ou atraso de fase é dado por 𝐶𝑠 𝐾 1 𝑎𝑇𝑠 1 𝑇𝑠 Para este modelo de controlador temos dois tipos de configuração I Avanço de fase para 𝑎 1 II Atraso de fase para 𝑎 1 Temos as seguintes especificações para o projeto I 𝑒𝑠𝑠 004 II 𝜻 05 Calculando o valor de 𝐾𝑝 𝑒𝑠𝑠 1 1 𝐾𝑝 E para o erro que deve ser menor ou igual a 4 temos 1 1 𝐾𝑝 004 1 004 1 𝐾𝑝 14 𝐾𝑝 24 Sabendo que 𝐾𝑝 é dado pelo limite abaixo 𝐾𝑝 lim 𝑠0 𝐶𝑠𝐺𝑠 𝐾 1 𝑎𝑇𝑠 1 𝑇𝑠 50𝑠 𝑝1 𝑠 𝑝2 8 𝑠2 𝑝1 𝑝3 𝑝2 𝑠 𝑝1 Dessa forma temos que 𝐾𝑝 𝐾𝑝 𝐾 400 𝑝2 Temos que 𝐾𝑝 24 e assim obtemos os valores de K para as especificações dadas 𝐾 400 𝑝2 24 𝐾 06007 O overshoot OVS é calculado por 𝑂𝑉𝑆 𝑒 𝜋𝜻 1𝜻2 Substituindo o valor de 𝜁 na equação acima 𝑂𝑉𝑆 0163 163 Para primeira tentativa veremos se o controlador por avanço de fase atende às especificações Controlador de Avanço de fase Temos que o polinômio característico assume a seguinte forma Δ𝑠 1 𝐾 1 𝑎𝑇𝑠 1 𝑇𝑠 50𝑠 𝑝1 𝑠 𝑝2 8 𝑠2 𝑝1 𝑝3 𝑝2 𝑠 𝑝1 Para este controlador determinaremos o ganho de forma isolada dessa forma Passo 1 Root locus de K 𝑎 0 𝑇 0 𝐾 𝑙𝑖𝑣𝑟𝑒 15 Δ𝑠 1 𝐾 50𝑠 𝑝1 𝑠 𝑝2 8 𝑠2 𝑝1 𝑝3 𝑝2 𝑠 𝑝1 Substituindo os valores temse a equação característica e o root locus de K Δ𝑠 1 𝐾 50𝑠 5255 𝑠3 9845𝑠2 2146𝑠 134 Figura 14 Root locus para K livre Podemos observar que o sistema é instavel para alguns valores de K dessa forma escolhendo um valor arbitrário dado que para atingir um erro de até 4 temos que 𝐾 06007 escolheremos 𝑲 𝟏 𝟓 Figura 15 Ganho escolhido no root locus em função de K Passo 2 Root locus de T 𝑎 0 𝑇 𝑙𝑖𝑣𝑟𝑒 𝐾 15 16 1 Δ𝑠 1 T 𝑠 𝑠 𝑝2 8 𝑠2 𝑝1 𝑝3 𝑝2 𝑠 𝑝1 𝑠 𝑝2 8 𝑠2 𝑝1 𝑝3 𝑝2 𝑠 𝑝1 50𝐾𝑠 𝑝1 Se fizermos o root locus em função de 1 𝑇 para assim termos mais polos do que zeros temos Δ𝑠 1 1 T 𝑠 𝑝2 8 𝑠2 𝑝1 𝑝3 𝑝2 𝑠 𝑝1 50𝐾𝑠 𝑝1 𝑠 𝑠 𝑝2 8 𝑠2 𝑝1 𝑝3 𝑝2 𝑠 𝑝1 Substituindo os valores temos Δ𝑠 1 1 T 𝑠3 9845𝑠2 9646𝑠 8167 𝑠4 9845𝑠3 2146𝑠2 134𝑠 Traçando o root locus em função de 1 T Figura 16 Valor do lado estável do root locus de 1T Escolhendo um ponto na parte estável lado esquerdo temos 17 Figura 17 Ponto escolhido para o root locus em função de 1T Dessa forma 1 𝑇 000696 𝑇 14367 Passo 3 Root locus de a 𝑎 𝑙𝑖𝑣𝑟𝑒 𝑇 14367 𝐾 15 Δ𝑠 1 𝑎 𝑇𝑠50𝐾𝑠 𝑝1 1 𝑇𝑠 𝑠 𝑝2 8 𝑠2 𝑝1 𝑝3 𝑝2 𝑠 𝑝1 50𝐾𝑠 𝑝1 Substituindo os valores temos 𝑠 1 𝑎 10780 𝑠 115400 1437𝑠4 1417𝑠3 3107𝑠2 2053𝑠 8171 O root locus em função de a é representado na figura abaixo 18 Figura 18 Rootl locus em função de a Para obedecer às especificações do overshoot devemos traçar a curva do ζ 05 e escolhendo o ponto que corta o root locus Figura 19 Ponto de corte na curva de zeta 19 Neste ponto no root locus em função de a temos os seguintes pólos e valor de a Através de a obtido temos um controlador avanço de fase SIMULAÇÃO SIMULINK Figura 20 Sistema avanço de fase Para os valores de K 15 T 14367 𝑒 𝑎 00015 a simulação para um degrau unitário é mostrada abaixo Figura 21 Resposta do sistema ao degrau para um controlador de avanço de fase 20 Valor do erro 𝑒𝑠𝑠 Figura 22 Erro do sistema O erro encontrado foi de 165 satisfazendo a especificação de erro até 4 Figura 23 Overshoot do sistema O overshoot encontrado é de 4 que satisfaz a especificação do sistema Através dos parâmetros encontrados podemos observar que o controlador de avanço de fase obedece às especificações do sistema 3ª O processo de bobinamento consiste em transferir fita magnética fio cabos linha chapas laminadas cordas cordoalhas ou fita plástica ou de papel enrolada em um carretel para outro carretel O processo é realizado por dois motores elétricos que acionam carreteis que são acoplados pela própria fita que se comporta como uma correia O primeiro motor gira no sentido de enrolar a fita no carretel de destino e o segundo gira no sentido de desenrolando a fita do carretel de origem Normalmente é necessário regular a velocidade dos motores para que a 21 velocidade linear da fita seja constante e a tensão na correia para que a fita seja tracionada adequadamente produzindo um bobinamento uniforme e compacto não force a fita provocando sua ruptura ou a deixe frouxa produzindo enrolamentos não compactos ou provoque congestionamento de fita fora dos carreteis Um esquema simplificado de um processo típico de bobinamento é mostrado abaixo A polia e a mola são introduzidas no processo para tencionar a fita evitando os problemas citados 𝑹𝒊𝟏 𝟎 𝟏𝟓m 𝑯 𝟏m 𝑹𝒆𝟏 𝟎 𝟕𝟓m 𝑩𝒎𝟏 𝟏 𝟓Nms 𝑹𝒊𝟐 𝟎 𝟎𝟓m 𝑩𝒎𝟐 𝟎 𝟖Nms 𝑹𝒆𝟐 𝟎 𝟐𝟎m 𝑱𝒄𝟏 𝒑𝟏 𝟒𝒑𝟏 𝒑𝟐 𝑲 𝟐Nm 𝑱𝒄𝟐 𝒑𝟏 𝒑𝟏 𝒑𝟐 𝒑𝟑 𝑹𝒑 𝟎 𝟒𝟓m 𝑱𝒎𝟏 𝟐𝒑𝟏 𝟓𝒑𝟏 𝒑𝟐 𝑲𝒇 𝟎 𝟕𝟓Nm 𝑱𝒎𝟐 𝟐𝒑𝟏 𝒑𝟏 𝒑𝟐𝒑𝟑 𝑩𝒇 𝟎 𝟖Nms 𝑫 𝒑𝟏 𝒑𝟐 𝒑𝟑 22 Suponha que O sistema proposto destinase a bobinarrebobinar fitas composta de fibras e resina com espessura de 2mm A fita característica física viscoelástica homogênea com constante elástica 𝑲𝒇 e coeficiente de amortecimento 𝑩𝒇 Inicialmente considere a massa da fita desprezível Motores DC com campos constantes e com armaduras alimentadas por fontes de corrente fazem o acionamento dos carreteis Características dos motores o conjunto motor redutor tem momento de inercia 𝑱𝒎 coeficiente de atrito com o mancal 𝑩𝒎 A polia tem raio 𝑹𝒑 massa desprezível e seu movimento de rotação não gera perdas por atrito com seu eixo A mola é perfeitamente linear com constante de elasticidade 𝑲 Os carreteis são circulares com raios internos 𝑹𝒊𝟏 e 𝑹𝒊𝟐 raios externos 𝑹𝒆𝟏 e 𝑹𝒆𝟐 largura um pouco maior que a largura da fita não permitindo enrolamento inclinados Eles têm distribuição de massa uniforme com momentos de inercia 𝑱𝒄𝟏e 𝑱𝒄𝟐 em relação aos respectivos centros de massas Os carreteis são perfeitamente acoplados aos eixos dos motores sem folga de modo que não ocorra movimento relativo entre eles Não ocorre deslizamento da fita sobre a polia nem tampouco sobre os carreteis O movimento de translação da polia tem somente um grau de liberdade na direção longitudinal à mola O arranjo é montado de modo que os centros geométricos dos carreteis ficam no plano horizontal a uma distância de D e a polia fica na mediatriz do segmento que liga os centros dos carreteis a uma altura 𝑯 deste segmento de modo que os centros dos carreteis e da polia formam um triângulo isósceles mesmo com o movimento da polia Redesenhando o sistema a ser analisado conforme os dados e exigências temos 23 Figura 24 Representação do sistema Os valores de 𝐽𝑚1 𝐽𝑚2 𝐽𝐶1 𝐽𝐶2 𝑒 𝐷 depender dos valores de p1 p2 e p3 que são 𝑝1 68212 𝑝2 43446 𝑝3 99247 Assim utilizando as equações dadas no enunciado 𝐽𝑚1 02444 𝐽𝑚2 02732 𝐽𝐶1 01527 𝐽𝐶2 03234 𝐷 11251 a Modele o sistema por espaço de estados Suponha que os raios de fita nos carreteis sejam 𝑹𝟏 e 𝑹𝟐 iguais aos respectivos raios médios dos carreteis Considere como saídas as velocidades lineares da fita nos carreteis Para modelar este sistema utilizaremos a mecânica de Lagrange Da qual temse 𝐿𝑞𝑖 𝑞𝑖 𝑡 𝑇𝑞𝑖 𝑞𝑖 𝑡 𝑊𝑞 Na qual as variáveis generalizadas serão 𝑞𝑖 𝜃 𝐿𝜃 𝜃 𝑡 𝑇𝜃 𝜃 𝑡 𝑊𝜃 T é o somatório das energias cinéticas do sistema Para o sistema temos as rotações das correias e dos motores A velocidade angular do eixo dos motores é igual a velocidade angular das correias 𝑇 1 2 𝐽𝑐1𝜃1 2 1 2 𝐽𝑐2𝜃2 2 1 2 𝐽𝑚1𝜃1 2 1 2 𝐽𝑚2𝜃2 2 Assim 24 𝑇 1 2 𝐽𝑐1 𝐽𝑚1𝜃1 2 1 2 𝐽𝑐2 𝐽𝑚2𝜃2 2 W é o somatório das energias potenciais do sistema Para o sistema temos as deformações elásticas da mola no topo e da fita em si Podemos visualizar melhor os arranjos geométricos que descrevem as deformações do sistema Figura 25 Representação dos arranjos geométricos Como é possível ver a mola deve se deformar de um valor Δ𝐻 logo a energia potencial da mola será 𝑊𝑚𝑜𝑙𝑎 1 2 𝐾Δ𝐻2 O valor de Δ𝐻 pode ser encontrado fazendo as relações para os triângulos retângulos como mostrado na figura abaixo Figura 26 Representação dos triângulos Daí é sabido que 𝐷 2 𝐻 𝐻 𝐷 2 25 Logo 𝐻 𝐷2 4𝐻 Portanto Δ𝐻 𝐻 𝐻 𝐻 𝐷2 4𝐻 Δ𝐻 4𝐻2 𝐷2 4𝐻 Mas tan 𝜃 𝐷 2 𝐻 𝐻 𝐷 2 tan 𝜃 Então substituindo em Δ𝐻 para escrevermos Δ𝐻 em função de 𝜃 temos Δ𝐻 4 𝐷 2 tan 𝜃 2 𝐷2 4 𝐷 2 tan 𝜃 𝐷21 tan2 𝜃 tan2 𝜃 2𝐷 tan 𝜃 𝐷21 tan2 𝜃 tan2 𝜃 tan 𝜃 2𝐷 Δ𝐻 𝐷 2 1 tan2 𝜃 tan 𝜃 Podemos simplificar essa equação sabendo que 1 tan2 𝜃 2 tan 𝜃 tan 2𝜃 Logo Δ𝐻 𝐷 2 2 tan 𝜃 tan 2𝜃 tan 𝜃 𝐷 tan 𝜃 tan 2𝜃 1 tan 𝜃 𝐷 tan 2𝜃 Δ𝐻 𝐷 cot 2𝜃 Por fim a energia potencial na mola é dada por 𝑊𝑚𝑜𝑙𝑎 1 2 𝐾𝐷2 cot2 2𝜃 26 Além disso precisamos considerar que a fita é elástica e portanto possui energia potencial dada por 𝑊𝑓𝑖𝑡𝑎 1 2 𝐾𝑓𝑥² A deformação x é dada pela diferença entre o comprimento inicial da fita e o final Mas diferentemente da figura no comprimento da fita é considerado o raio dos carreteis e da polia Logo 𝑊𝑓𝑖𝑡𝑎 1 2 𝐾𝑓Δ𝐻² Logo 𝑊𝑓𝑖𝑡𝑎 1 2 𝐾𝑓𝐷2 cot2 2𝜃 Portanto a energia potencial total do sistema é 𝑊 𝑊𝑚𝑜𝑙𝑎 𝑊𝑓𝑖𝑡𝑎 𝑊 1 2 𝐾 𝐾𝑓 cot² 2𝜃 Das equações de EulerLagrange utilizando do princípio da Halmilton temos que a função da dissipação para o sistema estará nas perdas por atrito ou viscosidade dos motores e da fita Assim 𝐷 1 2 𝐵𝑚1𝜃1 2 1 2 𝐵𝑚2𝜃2 2 1 2 𝐵𝑓𝑣𝑓 2 Mas 𝑣𝑓 𝐿𝑓 𝐿𝑓 𝐷 2𝑠𝑒𝑛𝜃 𝜃𝑅𝑃 𝑣𝑓 𝐷 2𝑠𝑒𝑛𝜃 𝜃𝑅𝑃 Logo 27 𝐷 1 2 𝐵𝑚1𝜃1 2 1 2 𝐵𝑚2𝜃2 2 1 2 𝐵𝑓 𝐷 2𝑠𝑒𝑛𝜃 𝜃𝑅𝑃 2 𝐷 1 2 𝐵𝑚1𝜃1 2 1 2 𝐵𝑚2𝜃2 2 𝐵𝑓𝐷² 8𝑠𝑒𝑛2𝜃 1 2 𝐵𝑓 𝐷 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝜃𝑅𝑃 1 2 𝐵𝑓𝜃 2𝑅𝑃 2 E para relembrar 𝐿 1 2 𝐽𝑐1 𝐽𝑚1𝜃1 2 1 2 𝐽𝑐2 𝐽𝑚2𝜃2 2 1 2 𝐾 𝐾𝑓 cot2 2𝜃 Com todas essas equações em mãos faremos as derivadas parciais oriundas do método de Lagrange De onde 𝑑 𝑑𝑡 𝐿 𝜃1 𝐿 𝜃1 𝐷 𝜃1 τ1 𝑖 𝑑 𝑑𝑡 𝐿 𝜃2 𝐿 𝜃2 𝐷 𝜃2 τ2 𝑖𝑖 𝑑 𝑑𝑡 𝐿 𝜃 𝐿 𝜃 𝐷 𝜃 𝑅𝑝 𝑅1 𝜏1 𝑅𝑝 𝑅2 𝜏2 𝑖𝑖𝑖 Sendo τ1 𝑒 τ2 o torque aplicado ao primeiro e ao segundo carretel respectivamente 𝐿 𝜃1 𝐽𝑐1 𝐽𝑚1𝜃1 𝐿 𝜃2 𝐽𝑐2 𝐽𝑚2𝜃1 𝐿 𝜃 0 𝐿 𝜃1 0 𝐿 𝜃2 0 𝐿 𝜃 2𝐾 𝐾𝑓 cot2𝜃 csc²2𝜃 𝐷 𝜃1 𝐵𝑚1𝜃1 𝐷 𝜃2 𝐵𝑚2𝜃1 Em baixo 𝐷 𝜃 𝐵𝑓𝐷2 4 cot𝜃 𝑐𝑠𝑐2𝜃 1 2 𝐵𝑓𝐷𝑅𝑝1 𝜃 cot𝜃 csc 𝜃 𝐵𝑓𝜃𝑅𝑝 2 Aplicando os resultados nas equações começando por i 𝐽𝑐1 𝐽𝑚1𝜃1 0 𝐵𝑚1𝜃1 τ1 Como 𝜃 𝜔 segue que 28 𝜔1 𝐵𝑚1 𝐽𝑐1 𝐽𝑚1 𝜔1 1 𝐽𝑐1 𝐽𝑚1 τ1 Em ii 𝐽𝑐2 𝐽𝑚2𝜃2 0 𝐵𝑚2𝜃1 τ2 Assim 𝜔2 𝐵𝑚2 𝐽𝑐2 𝐽𝑚2 𝜔2 1 𝐽𝑐2 𝐽𝑚2 τ2 Em iii 2𝐾 𝐾𝑓 cot2𝜃 csc²2𝜃 𝐵𝑓𝐷2 4 cot𝜃 𝑐𝑠𝑐2𝜃 1 2 𝐵𝑓𝐷𝑅𝑝1 𝜃 cot𝜃 csc 𝜃 𝐵𝑓𝜃𝑅𝑝 2 𝑅𝑝 𝑅1 𝜏1 𝑅𝑝 𝑅2 𝜏2 Linearizando em torno de 0 𝐾 𝐾𝑓 4𝜃³ 𝐵𝑓𝐷2 4𝜃 3 1 𝜃 𝐵𝑓𝐷𝑅𝑝 𝐵𝑓𝜃𝑅𝑝 2 𝑅𝑝 𝑅1 𝜏1 𝑅𝑝 𝑅2 𝜏2 Ademais 𝑅1 𝑅𝑖1 𝑅𝑒1 2 𝑒 𝑅2 𝑅𝑖2 𝑅𝑒2 2 Portanto o sistema pode ser visto como 𝜔1 𝜔2 𝐵𝑚1 𝐽𝑐1 𝐽𝑚1 0 0 𝐵𝑚2 𝐽𝑐2 𝐽𝑚2 𝜔1 𝜔2 1 𝐽𝑐1 𝐽𝑚1 0 0 1 𝐽𝑐2 𝐽𝑚2 τ1 τ2 𝑣𝑓 𝑅1 0 0 𝑅2 𝜔1 𝜔2 Substituindo os valores propostos 𝜔1 𝜔2 37775 0 0 13409 𝜔1 𝜔2 25183 0 0 16762 τ1 τ2 29 𝑣𝑓 045 0 0 0125 𝜔1 𝜔2 b Projete um controlador de modo que a velocidade linear da fita nos pontos de origem e destino tenha erro zero overshoot menor que 5 e tempo de acomodação menor ou igual à 4s A função de transferência da entrada 1 para a saída é 𝐺1 11332 𝑠 3777 O diagrama no Simulink com o controlador I apropriado Figura 27 Diagrama em blocos do simulink com o controlador I apropriado A saída Figura 28 Saída do sistema A função de transferência da entrada 1 para a saída é 𝐺2 020952 𝑠 1341 O diagrama no Simulink com o controlador I apropriado 30 Figura 29 Diagrama em blocos do simulink com o controlador I apropriado A saída Figura 30 Saída do sistema e Faça sugestão de melhorias a processo descrito para que ele possa ser utilizado para bobinar fios cabos ou linhas O sistema pode ser melhorado com a adição de controladores de velocidade para a fita nos dois pontos como fora visto Pois a diferença entre os raios dos carreteis e qualquer outra desregulação provocará uma velocidade linear instantaneamente diferente nos pontos daí a polia com a mola atuam de modo a compensar esse desnível Alocar sensores de velocidade como tacômetros por exemplo trairiam melhorias para o sistema Ademais é importante modelar e projetar os controladores considerando que a inércia dos carreteis varia conforme a fita vai desenrolando de um e enrolando no outro carretel 4º Os portões de garagem com aberturafechamento automáticos comandados por ação direta ou remota são bastantes utilizados para melhor 31 comodidade e segurança dos usuários As metalúrgicas oferecem diversos modelos fabricados em chapas telas ou perfis tubulares de alumínio ou aço galvanizado de modo a assegurar segurança contra arrombamento durabilidade e excelente acabamento estético e adequação ao espaço disponível para aberturafechamento do portão Por outro lado os fabricantes eletroeletrônicos de automação de portões fornecem centrais de controle e diversas opções de mecanismos de acoplamento para motorportão propiciando a aplicabilidade de seus produtos ao tipo de portão do cliente Nas aplicações residenciais a maioria dos fabricantes utiliza parafuso sem fimcoroa como mecanismo de redução de velocidade pelas seguintes razões Elevada redução de transmissão de velocidade em pouco tempo Eixos de rotação em ângulos de 90º Baixo ruído e vibrações Trava mecânica aplicandose torque na coroa o parafuso sem fica completamente travado impedindo abertura ou fechamento na marra Como é uma aplicação de funcionamento esporádico e de baixa potência o provável baixo rendimento do acoplamento não é crítico Maior facilidade de instalação o conjunto motor e redutor já vem montando e acoplados de forma compacta Os fabricantes de centrais de controle eletrônico buscam diversificar funcionalidades que aumentem a comodidade e a segurança contra intrusão tais como Aberturafechamento remoto por sinal codificado aliando segurança e comodidade Acionamento para aberturafechamento de travas elétricas Programação para fechamento automático Sensor antiesmagamento Abertura com incidência de luz do farol de automóvel Escolha o tipo de portão 𝑂𝑝çã𝑜 1 𝑚𝑜𝑑 𝐷𝑖 2 3 𝑖1 Onde 𝐷𝑖 é a dezena da matrícula do aluno i dois últimos algarismos a função 𝑚𝑜𝑑𝑎 𝑏 retorna o resto da divisão 𝑎𝑏 32 Figura 31 Código do Matlab a Modele matematicamente o sistema escolhido Considere que Características do portão Chapas de aço galvanizadas rígidas ou perfis tubulares de alumínio Dimensões 𝟑 𝟎𝟎𝒙𝟐 𝟓 m Massa do portão em Kg 𝑴𝒑 𝟒𝟎 𝒑𝟏𝒑𝟐 𝒑𝟏𝒑𝟐 Características do Motor Alimentação DC Velocidade nominal 1540 rpm Redutor de transmissão 140 𝑱𝒎 𝟎 𝟎𝟐𝟓𝑲𝒈 𝒎𝟐 e 𝑩𝒎 𝟏 𝟐𝑵𝒎𝒔 𝑹𝒂 𝟐𝜴 e 𝑳𝒂 𝟎 𝟐𝟓𝒎𝑯 𝑲𝒊 𝟗𝑵𝒎𝑨 e 𝑲𝒃 𝟎 𝟐𝟓 𝑽𝒓𝒂𝒅𝒔 33 Figura 32 Representação do sistema pinhãocremalheira O sistema que atua no portão deslizante aborda a conversão do movimento rotacional em translacional e o momento de inércia 𝐽 𝐽𝑚 representa o rotor do motor em que é aplicado um torque 𝑇𝑎 sendo que este rotor é acoplado ao pinhão através de um eixo flexível de raio 𝑅 e a cremalheira está acoplada ao portão Figura 33 Diagrama de corpos livres do sistema mecânico rotacional Ao analisar matematicamente a dinâmica da parte elétrica do motor CC temse 𝑉𝑎 𝑉𝑅𝑎 𝑉𝐿𝑎 𝑉𝑒 0 𝑉𝑒 𝐾𝑏𝜔1 𝑅𝑎𝐼𝑎 𝐿𝑎𝐼𝑎 𝐾𝑏𝜔1 𝑉𝑎 Aplicando a transformada de Laplace obtémse 𝐼𝑎𝑠 1 𝐿𝑎𝑠 𝑅𝑎 𝑉𝑎𝑠 𝑉𝑒𝑠 Ajustando a equação diferencial temse 34 𝐼𝑎 𝑅𝑎 𝐿𝑎 𝐼𝑎 𝐾𝑏 𝐿𝑎 𝜔1 1 𝐿𝑎 𝑉𝑎 E ao analisar o modelo dinâmico da parte mecânica do sistema temse que quando o parafuso semfim é rotacionado a coroa gira tendo seus dentes empurrados pelo movimento dos filetes do parafuso Figura 34 Demonstração da coroapinhão e parafuso semfim Com isso temse as relações mecânica do sistema 𝑇𝑀 𝑇𝐶 𝐽𝜔 1 𝐵𝜔1 0 𝑇𝑀 𝐾𝑖𝐼𝑎 Aplicando a transformada de Laplace obtémse 𝜔1𝑠 1 𝐽𝑠 𝐵 𝑇𝑀𝑠 𝑇𝐶𝑠 Ajustando a equação diferencial temse 𝐽𝜔 1 𝐾𝑖𝐼𝑎 𝐵𝜔1 𝑇𝐶 Agora se analisa a dinâmica da coroapinhão 𝑟1𝜔1 𝑟2𝜔2 𝜔2 𝑟1 𝑟2 𝜔1 𝜃2 𝑁𝜔1 𝜔2 𝑁𝜔1 𝑣 𝑟2𝑁𝜔1 35 Vale ressaltar que a dinâmica de movimento do portão se dá quando o pinhão rotacional e o portão se move logo 𝑥 𝑎 𝑥 𝑟2𝜃 𝑎 𝑟2𝜔 2 Entretanto pela Lei de Newton da translação 𝐹 𝑀𝑎2 𝐹 𝑟2𝑀𝜔 2 Então temse que o torque na carga é determinado por 𝑇𝑐 𝑟2𝐹 𝑇𝐶 𝑟2𝑟2𝑁𝑀𝜔 1 𝑇𝐶 𝑟2 2𝑁𝑀𝜔 1 Com isso obtémse as equações base do sistema 𝐼𝑎 𝑅𝑎 𝐿𝑎 𝐼𝑎 𝐾𝑏 𝐿𝑎 𝜔1 1 𝐿𝑎 𝑉𝑎 ω 1 𝐾𝑖 𝐽 𝑟2 2𝑁𝑀 𝐼𝑎 𝐵 𝐽 𝑟2 2𝑁𝑀 𝜔1 𝜃2 𝑁𝜔1 𝑥 𝑟2𝑁𝜔1 A saída referente à posição é dada por 𝑥 𝑟2𝜃2 Enquanto a saída referente à velocidade é dada por 𝑣 𝜔2𝑟2 𝜔2 𝑁𝜔1 36 𝑣 𝑟2𝑁𝜔1 Com isso temse a modelagem por espaço de estados Para a saída referente à posição angular 𝜃2 𝐼𝑎 𝜔 1 𝜃2 𝑅𝑎 𝐿𝑎 𝐾𝑏 𝐿𝑎 0 𝐾𝑖 𝐽 𝑟2 2𝑁𝑀 𝐵 𝐽 𝑟2 2𝑁𝑀 0 0 𝑁 0 𝐼𝑎 𝜔1 𝜃2 1𝐿𝑎 0 0 𝑉𝑎 𝑥 0 0 1 𝐼𝑎 𝜔1 𝜃2 0𝑉𝑎 Para a saída referente à posição linear 𝐼𝑎 𝜔 1 𝜃2 𝑅𝑎 𝐿𝑎 𝐾𝑏 𝐿𝑎 0 𝐾𝑖 𝐽 𝑟2 2𝑁𝑀 𝐵 𝐽 𝑟2 2𝑁𝑀 0 0 𝑁 0 𝐼𝑎 𝜔1 𝜃2 1𝐿𝑎 0 0 𝑉𝑎 𝑥 0 0 𝑟2 𝐼𝑎 𝜔1 𝜃2 0𝑉𝑎 Para a saída referente à velocidade linear 𝐼𝑎 𝜔 1 𝑅𝑎 𝐿𝑎 𝐾𝑏 𝐿𝑎 𝐾𝑖 𝐽 𝑟2 2𝑁𝑀 𝐵 𝐽 𝑟2 2𝑁𝑀 1𝐿𝑎 0 𝑉𝑎 𝑣 0 𝑟2𝑁 𝐼𝑎 𝜔1 0𝑉𝑎 Aplicando os valores que são 37 𝑅𝑎 2 Ω 𝐿𝑎 025 𝑚𝐻 𝐾𝑖 9 𝑁𝑚𝑠 𝐾𝑏 025 𝑉𝑟𝑎𝑑𝑠 𝑁 140 𝑟2 60 𝑚𝑚 𝐵 12 𝑁𝑚𝑠 𝑀 451741 𝐾𝑔 𝐽 0025 𝐾𝑔 𝑚2 Obtémse Para a posição angular 𝐼𝑎 𝜔 1 𝜃2 8000 1000 0 3096437 412858 0 0 0025 0 𝐼𝑎 𝜔1 𝜃2 4000 0 0 𝑉𝑎 𝑥 0 0 1 𝐼𝑎 𝜔1 𝜃2 Para a posição linear 𝐼𝑎 𝜔 1 𝜃2 8000 1000 0 3096437 412858 0 0 0025 0 𝐼𝑎 𝜔1 𝜃2 4000 0 0 𝑉𝑎 𝑥 0 0 006 𝐼𝑎 𝜔1 𝜃2 Para a velocidade linear 𝐼𝑎 𝜔 1 8000 1000 3096437 412858 4000 0 𝑉𝑎 𝑣 0 00015 𝐼𝑎 𝜔1 0𝑉𝑎 Utilizando o Matlab obtémse as funções de transferência Para a posição angular 𝐺𝑎𝑠 3096 104 𝑠3 8041𝑠2 6399 105𝑠 38 Para a posição linear 𝐺𝑥𝑠 1858 𝑠3 8041𝑠2 6399 105𝑠 Para a velocidade linear 𝐺𝑣𝑠 1858 𝑠2 8041𝑠 6399 105 Então para deixar claro o funcionamento do sistema foi feito o diagrama em blocos relacionando a modelagem matemática da parte elétrica com a mecânica 1 m m J s B 1 a a L s R 1 s 2 2 p r M s 2r 1 r2 N b K Ki Va s eV s aI s Tm s cT s aT s 2 s v s x s 2 s 1 s Figura 35 Diagrama de Blocos do Sistema b Projete um controlador de velocidade com zero ao degrau e tempo de acomodação menor ou igual a 4s A velocidade do portão deslizante é 6mmin Mostre a simulação com resposta ao degrau Visto que a velocidade do portão deslizante é de 6mmin temse que sua velocidade em segundos é de 01ms e o controlador de velocidade deve possuir um tempo de acomodação menor ou igual a 4 segundos Então temse as especificações 𝜁 0707 𝑡𝑠 4𝑠 𝑣𝑝 01 𝑚𝑠 𝐺𝑣𝑠 1858 𝑠2 8041𝑠 6399 105 O root locus para a planta em malhar aberta é 39 Figura 36 Root Locus do sistema em malha aberta O lugar geométrico das raízes com o modelo de velocidade é dado por 𝐶𝑠 𝑠 367 𝑠 Cálculo para o sgrid 𝑀𝑠𝑠 5 𝑀𝑎𝑠 2 𝑡𝑠 4 𝑠 𝜉 𝑙𝑛𝑀𝑠𝑠 𝜋2 𝑙𝑛𝑀𝑠𝑠2 0707 𝜔𝑛 𝑙𝑛𝑀𝑎𝑠 𝑡𝑠𝜉 13833 rads Figura 37 Root Locus para o modelo de velocidade 40 Figura 38 Root Locus amplificado Vale ressaltar que o ganho 𝐾𝑣 após aplicar o rlocfind é equivalente a 𝐾𝑣 1282732721429718 E os polos em malha fechada são 𝑤𝑛𝑣𝑣 10𝑒 03 7960613202976244 0079286924490825 0001385694826964 Para o controlador de velocidade fazse 𝐶𝑠 12827𝑠 367 𝑠 Figura 39 Bloco de controle no simulink 41 Figura 40 Bloco de controle no simulink Na figura abaixo são apresentados o sinal da velocidade linear e Tensão de armadura mediante a aplicação de um degrau de amplitude 01 ms na referência de velocidade do sistema em malha fechada em t 1 s Podese observar que com a inserção do controlador de velocidade projetado que a velocidade acomodou em aproximadamente 385 segundos em 0098 ms o que respeita o critério de projeto de 2 para acomodação que ocorreu em 285 s abaixo de 4 segundos como o desejado para este projeto O esforço de controle demandado pelo sistema acomodou no valor de aproximadamente 345 V Figura 41 Curvas referentes à velocidade linear e tensão de armadura pelo tempo para o controlador de velocidade 42 c Proponha um controlador de posição onoff relé através de sensores de fim de curso para desligar o motor quando totalmente aberto e totalmente fechado Mostre simulação mostrando a posição translacional e rotacional do portão para um ciclo de fechamento e abertura Interprete os resultados Neste problema inserese o sensor de fim de curso no sistema o qual possui lógica referente a Referência e erro Caso a referência seja positiva 𝐸𝑟𝑟𝑜 𝐸 0 𝑃 0 𝐸 0 𝑃 𝑟𝑒𝑓𝑒𝑟ê𝑛𝑐𝑖𝑎 Caso a referência seja negativa 𝐸𝑟𝑟𝑜 𝐸 0 𝑃 0 𝐸 0 𝑃 𝑟𝑒𝑓𝑒𝑟ê𝑛𝑐𝑖𝑎 Figura 42 Blocos de controle no Simulink com inserção do sensor de fim de curso 43 Figura 43 Blocos de controle no Simulink com inserção do sensor de fim de curso Com o Controlador de velocidade ativo podese observar que além do sensor de fim de curso notase que o sistema obedece ao tempo de assentamento para velocidade desejado no item b porém gera esforço no pinhão além do necessário além de erro de posição angular o que pode ser visto nos gráficos a seguir 44 Figura 44 Curvas da velocidade linear e tensão de armadura para o controlador onoff com controle de velocidade Figura 45 Curvas da velocidade linear e erro para o controlador onoff com controle de velocidade 45 Figura 46 Comportamento da posição angular no tempo d Ajuste adequadamente os sensores de fim de curso para que o portão não fique entreaberto não force os batentes do portão e dos mecanismos de acoplamento e que o pinhão do motor não saia da cremalheira Os ajustes dos sensores de fim de curso foram feitos de tal maneira que houve a compensação do erro causado de posição angular e linear tanto que os limites superior e inferior das chaves de fim de curso foram ajustados baseados nos erros de posição linear e angular observados no item anterior item c e foram iguais a xsup 29265 e os valores de posição final foram obtidos para não haver erros ao fechar ou abrir o portão xinf 285296 Figura 47 Comportamento do sistema com sensores de fim de curso 46 Figura 48 Comportamento do sistema com sensores de fim de curso Figura 49 Comportamento da posição angular no tempo e Proponha um sensor analógico de posição para o sistema e introduza uma malha de controle de posição para que o tempo de acomodação seja de 10s e um overshoot seja adequado Simule mostre e interprete os resultados O sensor utilizado foi um Tacômetro que é um sensor que mede rotações por minuto em muitos casos numa escala de 1k rpm para cada volt e a equação do mesmo é dada por 47 𝑉𝑡𝑎𝑐 1 1000 𝜔2𝑡 Para medir a posição então basta integrar a velocidade obtida e ajustar de rpm para radianos utilizando um circuito integrador como apresentado a seguir em série com um amplificador inversor sendo o ganho do circuito integrador projetado como unitário os valores dos resistores e do capacitor escolhidos foi de 𝑅 10 𝑘𝛺 𝐶 100 𝜇𝐹 e sabendose que a relação de rpm para rads é de 0104719755119660 os valores projetados dos resistores foram 𝑅1 1 𝑘𝛺 𝑒 𝑅2 1047197 𝛺 3 R 4 C VTac t 1 R 2 R Vx t Figura 50 Representação do projeto Figura 51 Bloco de Controle no Simulink Então utilizando as funções sgrid e rlocfind do Matlab encontrase o ponto que a reta do zeta corta o root locus 48 Figura 52 Root locus da planta de acordo com as especificações Para analisar a região precisase amplificar o Root locus como a seguir Figura 53 Root locus amplificado Para isso temse o ganho e os polos de malha fechada equivalentes a 𝐾𝑥 1284𝑒 06 𝑃𝑀𝐹 10𝑒 03 7960905643604649 0079989786407647 0000390392281742 49 Em simulação observase que o sistema tem a seguinte saída descrevendo seu comportamento Figura 54 Comportamento da velocidade linear no tempo Figura 55 Comportamento da posição linear e tensão de armadura no tempo 50 Figura 56 Comportamento da posição angular do portão 5ª Repita o projeto para uma solução que não ocorra invasão da rua dentre opções abaixo 𝑶𝒑çã𝒐 𝟏 𝒎𝒐𝒅 𝑫𝒊 𝟐 𝟑 𝒊𝟏 Opção 1 do portão especial ou seja portão multiarticulado de subir e descer Figura 57 Representação do portão 51 Esse portão possui articulações horizontais tipo dobradiças com rolamentos presos nas extremidades dos eixos esses rolamentos são encaixados nas calhas guias verticais presas nas paredes laterais e se estendem através de curvas até tornarse horizontais no teto da garagem Quando se efetua a ação de puxar ou empurrar o portão os rolamentos giram de modo a abrir ou fechar o portão Esse sistema possui um ponto central no topo do portão e é preso por um link à porca acionadora do motor basculante para poder puxar ou empurrar o portão Geralmente utilizase molas de torsão ou mecanismos com molas de extensão com correias e polias para reduzir o esforço do motor a Modele matematicamente o sistema escolhido Modelo matemático 𝑃 𝑀 𝑔 𝑃𝑋 𝑀 𝑔 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑀𝑎 𝑀 𝑔 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝐹𝑚 𝐹𝑋 𝐹𝑌 𝐹𝑚 𝑀 𝑔 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑀𝑔 𝐹𝐾 𝐹𝑀 𝑃𝑋 𝑀𝑎 𝐹𝑀 𝑀 𝑎 𝑀 𝑔 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝐾𝑋 𝐹𝑀 𝑀𝑎 𝑔 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝐾𝑋 Analisase a parte elétrica temse 𝑅𝑎𝐼𝑎 𝐿𝑎𝐼𝑎 𝑉𝑎 𝑉𝑒 𝑉𝑒 𝐾𝑏𝜔1 Analisase a parte mecânica do motor temse 𝐽𝜔 1 𝐵𝜔1 𝑇𝑚 𝑇𝐶 Analisase a parte mecânica do portão temse 𝐹 𝑃𝑋 𝑀 𝑎 𝑎 𝑟2𝜔 2 52 𝑎 𝑟2𝑁𝜔 1 𝐹 𝑀 𝑟2 𝑁 𝜔 1 𝑀 𝑔 𝑟2 𝑐𝑜𝑠𝜃2 𝑇𝐶 𝑀 𝑟2 2 𝑁 𝜔 1 𝑀 𝑔 𝑟2 𝑐𝑜𝑠𝜃2 𝐼𝑎 𝑅𝑎 𝐿𝑎 𝐼𝑎 𝐾𝑏 𝐿𝑎 𝜔1 1 𝐿𝑎 𝑉𝑎 𝜔1 𝐵 𝐽 𝑟2 2𝑁𝑀 𝜔1 𝐾𝑖 𝐽 𝑟2 2𝑁𝑀 𝐼𝑎 𝑀 𝑔 𝑟2 𝑐𝑜𝑠𝜃2 𝐽 𝑟2 2𝑁𝑀 𝛼 𝜃2 𝑁𝜔1 Linearizando o sistema no pior caso que é para 𝜃2 90 1 obtémse 𝐼𝑎 𝑅𝑎 𝐿𝑎 𝐼𝑎 𝐾𝑏 𝐿𝑎 𝜔1 1 𝐿𝑎 𝑉𝑎 𝜔1 𝐵 𝐽 𝑟2 2𝑁𝑀 𝜔1 𝐾𝑖 𝐽 𝑟2 2𝑁𝑀 𝑀 𝑔 𝑟2 𝑠𝑒𝑛𝛼 𝐽 𝑟2 2𝑁𝑀 𝛼 𝛼 𝑁𝜔1 Para a saída referente à velocidade temse 𝑣 0 𝑁𝑟2 0 𝐼𝑎 𝜔1 𝜃2 0 00015 0 𝐼𝑎 𝜔1 𝜃2 Para a saída referente à posição linear temse 𝑥 0 0 𝑟2 𝐼𝑎 𝜔1 𝜃2 0 0 006 𝐼𝑎 𝜔1 𝜃2 Para saída referente à posição angular 𝜃2 0 0 1 𝐼𝑎 𝜔1 𝜃2 Então para deixar claro o funcionamento do sistema foi feito o diagrama em blocos relacionando a modelagem matemática da parte elétrica com a mecânica 53 1 m m J s B 1 a a L s R 1 s 2 2 p r M s 2r 1 r2 N b K Ki Va s Ve s aI s Tm s cT s aT s 2 s v s x s 2 s 1 s 2 0 2 2 p r M sen Figura 58 Diagrama em blocos do sistema b Projete um controlador de velocidade com zero ao degrau e tempo de acomodação menor ou igual a 4s A velocidade do portão deslizante é 6mmin Mostre a simulação com resposta ao degrau Com os mesmos princípios do portão anterior mas adaptado para a nova modelagem temse 𝐶𝑙 𝑠 3 𝑠 Figura 59 Root locus do sistema 54 Figura 60 Root Locus desejado e aproximado Utilizando as funções sgrid e rlocus foi possível determinar o ponto no qual a reta de zeta intercepta a partir disto determinouse o ganho 𝐾𝑣 𝐾𝑣 7878297764529503𝑒 02 𝐶𝑙 𝐾𝑣 𝑠 3 𝑠 E os polos em malha fechada são 𝑤𝑛𝑣𝑣 10𝑒 03 0 7713441807232676 0318229130238417 0001392814273382 Figura 61 Curvas referentes à velocidade linear e tensão de armadura pelo tempo para o controlador de velocidade 55 Então podese notar que através das curvas da velocidade linear e Tensão de armadura mediante a aplicação de um degrau com a inserção do controlador de velocidade projetado que a velocidade acomodou em aproximadamente 15 segundos em 001 ms o que respeita o critério de projeto de 2 para acomodação como o desejado para este projeto c Proponha um controlador de posição onoff relé através de sensores de fim de curso para desligar o motor quando totalmente aberto e totalmente fechado Mostre simulação mostrando a posição translacional e rotacional do portão para um ciclo de fechamento e abertura Interprete os resultados Da mesma forma como foi realizado anteriormente obtevese o controlador de posição onoff através de sensores de fim de curso para desligar o motor ao estar totalmente aberto e totalmente fechado Com o Controlador de velocidade ativo podese observar que além do sensor de fim de curso notase que o sistema obedece ao tempo de assentamento para velocidade desejado no item b Figura 62 Curvas referentes à velocidade linear e tensão de armadura pelo tempo para o controlador de posição 56 Figura 63 Curvas referentes à posição linear e erro de posição pelo tempo para o controlador de posição Figura 64 Comportamento da posição angular do sistema d Ajuste adequadamente os sensores de fim de curso para que o portão não fique entreaberto não force os batentes do portão e dos mecanismos de acoplamento e que o pinhão do motor não saia da cremalheira Os ajustes dos sensores de fim de curso foram feitos de tal maneira que houve a compensação do erro causado de posição angular e linear tanto que os limites superior e inferior das chaves de fim de curso foram ajustados baseados nos erros de posição linear e angular observados no item anterior item c e foram iguais a xsup 2995 e os valores 57 de posição final foram obtidos para não haver erros ao fechar ou abrir o portão xinf 298929 como pode ser visto a seguir Figura 65 Curvas referentes à velocidade linear e tensão de armadura pelo tempo para o controlador Figura 66 Curvas referentes à posição linear e erro de posição pelo tempo para o controlador 58 Figura 67 Comportamento da posição angular do sistema 59 CONCLUSÃO Nesse trabalho foram analisadas e solucionadas as questões de sistema de controle propostas em sala de aula as quais são referentes aos controladores P PI PD e PID avanço ou atraso de fase e a atuação de sensores Sendo que se utilizou técnicas de projetos no domínio do tempo apresentouse os cálculos realizados equações de root locus necessárias determinação dos pontos selecionados dentre outros parâmetros para a solução das mesmas Com isso foi possível compreender os conceitos de projetos de controladores P PD PI e PID Vale ressaltar que o sistema foi simulado no software Simulink do Matlab e utilizouse princípios ensinados na disciplina de Sistemas de Controle 60 BIBLIOGRAFIA FRANKLIN G POWELL J EMAMINAEINI A 2013 Sistemas de Controle para Engenharia 6ª edição Bookman OGATA K Engenharia de Controle Moderno 4ª edição Pearson Prentice Hall DORF R C BISHOP R H 2011 Modern Control Systems New York Prentice Hall MAYA P LEONARDI F Controle Essencial 2ª Edição PERSON