Algebra Linear - Lista de Exercicios sobre Autovalores e Autovetores

UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAZONAS INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Disciplina Álgebra Linear II Professor Flávia Morgana MAIS UMA LISTA DE EXERCÍCIOS Questão 1 Ache os autovalores e autovetores correspondentes dos operadores lineares dados abaixo a T IR² IR² tal que Tx y 2y x b T IR² IR² tal que Tx y x y 2x y c T IR³ IR³ tal que Tx y x y x y 2z 2x y z d T P₂ P₂ tal que Tax² bx c ax² cx b e T M₂ M₂ tal que A Aᵀ Isto é T é o operador linear que leva uma matriz na sua transposta Questão 2 Encontre a transformação linear T IR² IR² tal que T tenha autovalores 2 e 3 associados aos autovetores 3y y e 2y y respectivamente Questão 3 Ache os autovalores e autovetores correspondentes das matrizes a A 1 2 0 1 b A 1 1 1 1 c A 1 2 3 0 1 2 0 0 1 d A 1 0 2 1 0 1 1 1 2 Questão 4 Suponha que λ₁ e λ₂ sejam autovalores distintos e diferentes de zero de T IR² IR² Mostre que a os autovetores v₁ e v₂ correspondentes são LIs b Tv₁ e Tv₂ são LIs Questão 5 Seja A 0 2 1 1 a Ache os autovalores de A e de A¹ b Quais são os autovetores correspondentes Questão 6 Suponha que λ seja autovalor de T V V com autovetor v e α um número real não nulo Ache os autovalores e autovetores de αT Questão 7 Suponha que v V seja autovetor de T V V e S V V ao mesmo tempo com autovalores λ₁ e λ₂ respectivamente Ache autovetores e autovalores de a S T b S T Questão 8 Seja T V V linear a Se λ 0 é autovalor de T mostre que T não é injetora b A recíproca é verdadeira Ou seja se T não é injetora λ 0 é autovalor de T Questão 9 Sejam A 1 2 1 0 1 1 0 0 1 e B 1 3 1 0 2 0 0 0 3 matrizes inversíveis a Calcule AB e BA e observe que estes produtos são distintos b Encontre os autovalores AB e os de BA O que você observa c Encontre os autovetores AB e os de BA O que você nota Questão 10 Verifique quais dos operadores lineares são diagonalizáveis a T IR² IR² tal que Tx y x y 2x y b T IR³ IR³ tal que Tx y x y x y 2z 2x y z c T P₂ P₂ tal que Tax² bx c ax² cx b Questão 11 Dizemos que uma matriz Aₙₙ é diagonalizável se seu operador associado TA IRⁿ IRⁿ for diagonalizável ou seja A é diagonalizável se somente se A admitir n autovetores LIs Baseado nisto verifique quais das matrizes abaixo são diagonalizáveis a A 1 2 0 1 b A 1 1 3 0 1 2 0 0 1 c d A 1 1 2 1 2 1 2 1 1 Questão 12 Dada a matriz A 2 1 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 i A é diagonalizável use a definição do exercício anterior ii Encontre seu polinômio minimal Questão 13 Para quais valores de A as matrizes abaixo são diagonalizáveis a A 1 1 0 a b A 1 a 0 1 Questão 14 Sejam T IR³ IR³ linear α 1 0 0 0 1 0 0 0 1 β 0 1 1 0 1 1 1 0 1 e Tαα 2 0 1 0 3 1 0 0 3 a Encontre o polinômio característico de T os autovalores de T e os autovetores correspondentes b Ache Tββ e o polinômio característico Que observação você faz a este respeito c Encontre uma base γ de IR³ se for possível tal que Tγγ seja diagonal BOA ATIVIDADE