Exercícios Resolvidos sobre Ortogonalidade e Gram-Schmidt em Álgebra Linear

1 a Verdadeiro Sejam u v W Temos que uv² uv uv u u 2u v v v u² 2u v v² Se u v² u² v² então u² 2u v v² u² v² 2u v 0 u v 0 Portanto u e v são ortogonais b Verdadeiro Se u v u w para todo u W então u v w u v u w 0 u W Isso implica que v w é ortogonal a todos os vetores de W ou seja v w W Como W 0 em qualquer espaço com produto interno pois u percorre todo W concluímos que v w 0 ou seja v w 2 Primeiro verificamos se f₁t cos πt e f₂t sin πt são ortogonais f₁ f₂ ₂² cos πt sin πt dt ₂² sin 2πt2 dt cos 2πt 4π₂² 0 pois cos 2πt é periódico de período 1 e cos 2π2 cos 2π2 Calculamos as normas f₁² ₂² cos πt² dt ₂² 1 cos 2πt2 dt t2 sin 2πt4π₂² 42 2 De forma semelhante f₂² 2 Normalizando f₁ e f₂ e₁t f₁tf₁ cos πt2 e₂t f₂tf₂ sin πt2 Escolhemos f₃t 1 função constante Verificamos a ortogonalidade f₃ f₁ ₂² 1 cos πt dt sin πt π₂² 0 f₃ f₂ ₂² 1 sin πt dt cos πt π₂² 0 Calculamos a norma f₃² ₂² 1² dt 4 Normalizando f₃ e₃t f₃tf₃ 12 Portanto o conjunto ortonormal é C e₁t cos πt2 e₂t sin πt2 e₃t 12 3 a As condições z x 2y e w 2x nos permitem expressar os vetores em V como combinações lineares x y z w x1 0 1 2 y0 1 2 0 Portanto um conjunto β de geradores de V é β v₁ 1 0 1 2 v₂ 0 1 2 0 b Aplicando o processo de GramSchmidt aos vetores v₁ e v₂ Primeiro definimos u₁ v₁ Calculamos v₂ u₁ v₂ u₁ 01 10 21 02 2 u₁² u₁ u₁ 1² 0² 1² 2² 6 Então proju₁ v₂ v₂ u₁u₁² u₁ 26 u₁ 13 u₁ Calculamos u₂ u₂ v₂ proju₁ v₂ v₂ 13 u₁ 0 1 2 0 13 0 13 23 13 1 53 23 Multiplicando u₂ por 3 para eliminar frações u₂ 3 u₂ 1 3 5 2 Verificamos que u₁ e u₂ são ortogonais u₁ u₂ 11 03 15 22 1 0 5 4 0 Assim uma base ortogonal de V é u₁ 1 0 1 2 u₂ 1 3 5 2