Prova Espaços Vetoriais Matrizes Mmxn - Demonstração e Solução

Atividade Teste Raimundo Raylton de Araújo Brito 22152034 Obs o atraso na entrega se deu por problema no link de convite para o Classroom 1 Prova de que o conjunto de matrizes Mm x n é um espaço vetorial Enunciado Prove que o conjunto das matrizes Mm n com entradas em R munido com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar é um espaço vetorial sobre o corpo R Solução Definimos o conjunto Mm n R como o conjunto de todas as matrizes A aijmn onde aij R para todo 1 i m e 1 j n Para que esse conjunto seja considerado um espaço vetorial sobre o corpo R é necessário verificar as seguintes propriedades 1 Fechamento sob adição Sejam A e B duas matrizes em Mm n R A soma de A e B resulta em uma nova matriz C onde cada elemento cij é dado por cij aij bij para todos 1 i m e 1 j n Como a soma de números reais é um número real temos que a soma de duas matrizes também resulta em uma matriz com entradas reais o que demonstra o fechamento sob adição 2 Fechamento sob multiplicação por escalar Seja α um número real escalar e A uma matriz em Mm n R A multiplicação de A por α resulta em uma matriz B onde cada elemento bij é dado por bij α aij para todos 1 i m e 1 j n Como o produto de dois números reais é um número real isso garante que o resultado é uma matriz com entradas reais provando o fechamento sob multiplicação por escalar 3 Existência do elemento neutro aditivo matriz nula A matriz nula 0mn que tem todos os seus elementos iguais a zero atua como o elemento neutro aditivo Para qualquer matriz A aijmn temos que A 0mn A pois somar zero a qualquer elemento aij não altera o valor de aij Logo a matriz nula é o elemento neutro para a adição de matrizes 4 Existência do inverso aditivo Para cada matriz A aijmn em Mm n R o inverso aditivo de A é dado pela matriz A onde cada elemento é aij Assim somar A e A resulta na matriz nula pois aij aij 0 para todos os elementos Portanto o inverso aditivo de A existe em Mm n R 5 Associatividade da adição Sejam A B e C três matrizes em Mm n R A operação de adição de matrizes é associativa o que significa que A B C A B C Isso é verificado para todos os elementos individuais das matrizes de forma que aij bij cij aij bij cij para todos 1 i m e 1 j n 6 Comutatividade da adição A operação de adição de matrizes também é comutativa ou seja A B B A Isso é fácil de verificar observando que para todos os elementos aij bij bij aij que é a comutatividade da adição de números reais 7 Distributividade sobre adição de matrizes Seja α um número real e A B duas matrizes em Mm n R A multiplicação por escalar é distributiva em relação à adição de matrizes o que significa que αA B αA αB Para cada elemento da matriz temos αaij bij αaij αbij o que prova a propriedade 8 Distributividade sobre adição de escalares Sejam α e β dois números reais e A uma matriz em Mm n R A multiplicação por escalar também é distributiva em relação à adição de escalares ou seja α βA αA βA Para cada elemento da matriz temos α βaij αaij βaij 9 Compatibilidade da multiplicação por escalares Sejam α e β números reais e A uma matriz em Mm n R A multiplicação por escalares é compatível o que significa que αβA αβA Para cada elemento da matriz temos αβaij αβaij o que prova a propriedade 10 Existência do elemento neutro multiplicativo Para qualquer matriz A em Mm n R o escalar 1 atua como o elemento neutro multiplicativo ou seja 1 A A Isso é facilmente verificado para cada elemento da matriz pois 1 aij aij Conclusão Como todas as propriedades necessárias foram verificadas podemos concluir que Mm n R munido das operações usuais de adição de matrizes e multiplicação por escalar é de fato um espaço vetorial sobre o corpo R 2 Prova de que α 0 0 em um espaço vetorial Enunciado Mostre que em um espaço vetorial V sobre o corpo R com elemento neutro 0 vale que α 0 0 α R Solução Seja V um espaço vetorial sobre o corpo R e seja 0 V o elemento neutro aditivo isto é para qualquer vetor v V temos v 0 v Queremos provar que para qualquer α R a seguinte relação é válida α 0 0 Passo 1 Uso da identidade 0 0 0 Sabemos que o elemento neutro aditivo 0 satisfaz a propriedade 0 0 0 Multiplicamos ambos os lados desta equação por α utilizando a propriedade distributiva da multiplicação por escalar sobre a adição de vetores Assim temos α 0 α 0 0 α 0 α 0 Passo 2 Subtração de ambos os lados da equação Agora subtraímos α 0 de ambos os lados da equação obtida no passo anterior Isso nos dá α 0 α 0 α 0 α 0 α 0 o que resulta em 0 α 0 Conclusão Portanto mostramos que para qualquer α R a relação α 0 0 é válida conforme solicitado