Normas Espaços Vetoriais Produto Interno Cauchy-Schwarz Projeção Ortogonal e Ângulos

Norma Seja V um espaço vetorial sobre IR ou IC A norma proveniente do produto interno em V Dado um vetor u V definese a norma por u uu Estrutura Euclidiana Teorema Pitágoras Sejam uv V tais que u e v sejam ortogonais ou seja u v Então u v2 u2 v2 Prova Basta desenvolver a expressão u v2 De fato u v2 u v u v 2 u v u v uu uv vu vv uu vv u2 v2 cqd Q6 da lista Identidades do Paralelogramo e Polar Proposição Desigualdade de CauchySchwarz Sejam uv V vetores quaisquer Então vale uv uv Prova Se u 0 ou v 0 a desigualdade é trivial Caso contrário se u 0 e v 0 Então vamos considerar o vetor u α v 0 então u α v 0 É assim 0 u α v2 u α v u α v uu α uv α vu α α vv uu α uv α vu α2 vv Se α uv v2 IR uu uv2v2 uv2v2 uv2v2 v2 u2 2 uv2v2 uv2v2 Portanto 0 u2 uv2v2 uv2v2 u2 uv2 u2v2 uv uv u α v v 0 uv α vv 0 α vv uv α uv vv uv v2 A projeção ortogonal do vetor u sobre o vetor v Projv u uv vv v uv v2 v Ângulos uv 0 u 0 e v 0 uv uv uv uv 1 1 uv uv 1 cos θ uv uv uv uvcos θ Q20 d t e t5 V f 11 R f e continua f1 f2 from 1 to 1 of f1t f2t dt f1 f2 V a 1 t tn pas e ortogonal b f1t t e f2t t2 são ortogonais f1 f22 f12 f22 e Projeção de t5 em t Projv u uv vv v No exemplo Projt t5 t5 t tt t t5t from 1 to 1 of t5 t dt from 1 to 1 of t6 dt t77 from 1 to 1 17 17 27 tt from 1 to 1 of t2 dt t33 from 1 to 1 13 13 23 t2 Projt t5 t5t tt t 27 23 t 37 t d Ângulo entre t e t5 cos θ t t5 t t5 27 23 211 27 233 337 t5 t5 from 1 to 1 of t10 dt t1111 from 1 to 1 111 111 211 cosθ 337 θ arccos337 Ex1 Reginaldo Santos pág 128 μ 112 e v a 1 2 a μv 0 a 1 4 0 a 5 0 a 5 3 B 1 1 1 1 1 0 1 1 2 subset of R3 Projw μ μw ww w 1 1 2 ww w 0 cos θ μv μ v 0 μ v 0 θ arccos 0 θ π2