Teste de Significância para Proporções - Métodos Quantitativos

1 Métodos Quantitativos Universidade Federal do Ceará Faculdade de Economia Métodos Quantitativos Vicente Lima Crisóstomo Introdução Estatística Descritiva Probabilidade Distribuições de Probabilidades Amostragem e Distribuições Amostrais Estimação Testes de Significância Análise de Variância Teste de Significância para Proporções Testes Não Paramétricos Correlação e Regressão Sumário 2 Métodos Quantitativos Teste de Significância para Proporções Finalidade Avaliar afirmações sobre Proporção ou percentagem de uma população Adequados para dados que consistem Em contagem Freqüências de itens de duas ou mais classes 3 Métodos Quantitativos Teste de Significância para Proporções Teste de Significância para Proporções Baseiase na premissa de que Proporção amostral xn x ocorrências em n observações É igual à verdadeira Proporção da população Teste focaliza a diferença entre Número esperado de ocorrências e Número efetivamente observado de ocorrências 4 Métodos Quantitativos Teste de Significância para Proporções Teste de Significância para Proporções Similar ao teste de igualdade de médias o teste de proporções pode ser usado para Comparar proporção de uma amostra a um parâmetro especificado Comparar a igualdade de proporções de duas populações Comparar a igualdade de proporções de três ou mais populações teste de k amostras 5 Métodos Quantitativos Teste de Significância para Proporções Teste de Significância para Proporções Hipóteses Comparar proporção de uma amostra a um parâmetro especificado H0 Proporção populacional é igual a um parâmetro alegado Comparar a igualdade de proporções de duas populações H0 Proporção da população 1 é igual à proporção da população 2 Comparar a igualdade de proporções de três ou mais populações H0 As proporções populacionais são iguais 6 Métodos Quantitativos Teste de proporção de uma amostra 7 Métodos Quantitativos Teste de Significância para Proporções Teste de proporção de uma amostra Comparar proporção de uma amostra a um parâmetro especificado H0 Proporção populacional é igual a um parâmetro alegado H1 Proporção populacional Não é igual a um parâmetro alegado Número de observações afeta método n maior que 20 Distribuição Normal Demais casos Distribuição Binomial 8 Métodos Quantitativos Teste de Significância para Proporções Teste de proporção de uma amostra Grandes amostras n 20 Estatística de teste mede o desvio diferença de uma estatística amostral em relação ao valor alegado Se desvio pequeno então diferença do parâmetro alegado é casual Teste amparado na Distribuição Normal Padronizada para os valores críticos Teste z Estatística de teste z 9 Métodos Quantitativos Teste de Significância para Proporções Teste de proporção de uma amostra Grandes amostras n 20 10 Métodos Quantitativos Teste de Significância para Proporções Teste de proporção de uma amostra H0 Proporção populacional é igual a um parâmetro alegado p p0 H1 Proporção populacional é maior que um parâmetro alegado p p0 Teste unilateral na cauda direita H1 Proporção populacional é menor que um parâmetro alegado p p0 Teste unilateral na cauda esquerda H1 Proporção populacional é diferente de um parâmetro alegado p p0 Teste bilateral 11 Métodos Quantitativos Teste de Significância para Proporções Exemplo Fabricante afirma que uma remessa de produtos tem menos de 1 com defeito Uma amostra de 200 apresentou 2 4 defeituosos Teste se a proporção amostral supera o valor alegado a nível de significância de 5 p0 001 1 n 200 x 4 xn 002 2 4 200 z 14213 12 Métodos Quantitativos Teste de Significância para Proporções Teste Unicaudal Nível de Significância α 1 z 233 área unilateral 001 05 001 049 tabela z 233 Valor Crítico padronizado z 233 α 5 z 165 área unilateral 005 05 005 045 tabela z 165 Valor Crítico padronizado z 165 α 10 z 13 área unilateral 010 05 01 04 tabela z 13 Valor Crítico padronizado z 13 13 Métodos Quantitativos Hipóteses H0 Proporção populacional é igual a 1 H1 Proporção populacional é maior que 1 Teste unilateral na cauda direita z 14213 é inferior a 165 z crítico a nível de significância de 5 Aceitase H0 E a nível de significância de 10 z 14213 é superior a 13 z crítico a nível de significância de 10 Rejeitarseia H0 e aceitarseia H1 14 Métodos Quantitativos Teste de Significância para Proporções Teste Bicaudal Bilateral Nível de Significância α 1 z 257 bilateral 001 área unilateral 0005 001 2 05 0005 0495 tabela z 257 Valores Críticos padronizados z 257 257 α 5 z 196 bilateral 005 área unilateral 0025 005 2 05 0025 0475 tabela z 196 Valores Críticos padronizados z 196 196 α 10 z 165 bilateral 010 área unilateral 005 010 2 05 005 045 tabela z 165 Valores Críticos padronizados z 165 165 15 Métodos Quantitativos Exemplo Fabricante afirma que uma remessa de produtos tem menos de 1 com defeito Uma amostra de 200 apresentou 6 defeituosos Testar a afirmação do fabricante p0 001 1 x 6 n 200 xn 003 6 200 3 z 2843 16 Métodos Quantitativos Teste de Significância para Proporções Exemplo Fabricante afirma que uma remessa de produtos tem menos de 1 com defeito Uma amostra de 200 apresentou 8 defeituosos Testar a afirmação do fabricante p0 001 x 8 n 200 xn 004 8 200 4 z 4264 17 Métodos Quantitativos Teste de Significância para Proporções Teste de Significância para Proporções Teste de igualdade de proporções de duas amostras 18 Métodos Quantitativos Teste de Significância para Proporções Teste de igualdade de proporções de duas amostras H0 Proporção da população 1 é igual à proporção da população 2 p1 p2 H1 Proporção da população 1 é diferente proporção da população 2 p1 p2 Teste bilateral H1 Proporção da população 1 é maior que a proporção da população 2 p1 p2 Teste unilateral na cauda direita H1 Proporção da população 1 é menor que a proporção da população 2 p1 p2 Teste unilateral na cauda esquerda 19 Métodos Quantitativos Teste de proporção de duas amostras Amostras independentes foram extraídas de duas populações com mesma proporção Teste focaliza a diferença relativa Diferença de proporções dividida pelo desvio padrão da distribuição amostral Pequenas diferenças indicam variação casual Grandes diferenças indicam o contrário variação não casual Similar a teste de médias de duas amostras 20 Métodos Quantitativos Teste de Significância para Proporções Teste de proporção de duas amostras Estimativa da proporção combinada pooled das duas amostras x número de sucessos na amostra n número de observações na amostra Estatística de teste 21 Métodos Quantitativos Teste de Significância para Proporções Estimativa combinadaconjunta da proporção das duas amostras 22 Métodos Quantitativos Teste de Significância para Proporções Exemplo Os eleitores de duas cidades opinião se estão a satisfeitos com governo Federal Entrevistase 200 em cada cidade Na cidade A 28 estão enquanto na cidade B somente 20 responderam que sim Perguntase se esta diferença é casualidade x1 28 número de sucessos na amostra A n1 200 número de observações da amostra A x2 20 número de sucessos na amostra B n2 200 número de observações da amostra B p 012 23 Métodos Quantitativos Teste de Significância para Proporções Exemplo Os eleitores de duas cidades opinião se estão a satisfeitos com governo Federal Entrevistase 200 em cada cidade Na cidade A 28 estão enquanto na cidade B somente 20 responderam que sim Perguntase se esta diferença é casualidade z 12309 inferior a z a nível de 10 σp 00325 24 Métodos Quantitativos Teste de Significância para Proporções Exemplo Os eleitores de duas cidades opinam se estão a satisfeitos com governo Federal Entrevistase 200 em cada cidade Na cidade A 28 estão enquanto na cidade B somente 20 responderam que sim Perguntase se esta diferença é casualidade z 12309 inferior a z a nível de 10 Não há suporte para rejeitar H0 Diferença de satisfação verificada entre os eleitores das duas cidades é devida ao acaso 25 Métodos Quantitativos Teste de Significância para Proporções Exemplo Os eleitores de duas cidades dão opinião se estão a satisfeitos com governo Federal Entrevistase 200 em cada cidade Na cidade A 35 estão enquanto na cidade B somente 18 responderam que sim Perguntase se esta diferença é casualidade z 30237 superior a z a nível de 1 Há suporte para rejeitar H0 Diferença entre as proporções é estatisticamente significativa Realmente há uma diferença no grau de satisfação dos eleitores duas cidade em relação ao governo 26 Métodos Quantitativos Teste de Significância para Proporções Teste de Significância para Proporções Teste de igualdade de proporções de k amostras 27 Métodos Quantitativos Teste de Significância para Proporções Teste de igualdade de proporções de k amostras H0 Proporções das populações são todas iguais p1 p2 p3 pk H1 Proporções das populações não são iguais Teste Χ2 28 Métodos Quantitativos Teste de Significância para Proporções Teste de igualdade de proporções de k amostras Teste Χ2 Freqüência observada freqüência de ocorrências de cada opçãocategoria Freqüência esperada total observado de cada opção dividido pelo total de ocorrências de todas as opções Exemplo Preferência por ideologia política de duas regiões deve se ao acaso ou há associação com o fator regional 29 Métodos Quantitativos Teste de Significância para Proporções Preferência política de duas regiões devese ao acaso ou há associação com o fator regional 30 Métodos Quantitativos PREFERÊNCIA POLÍTICA regA regB total ESQUERDA 530 600 1130 DIREITA 470 700 1170 total de ENTREVISTADOS observações 1000 1300 2300 Proporção esperada De ESQUERDA 1130 2300 4913 De DIREITA 1170 2300 5087 Métodos Quantitativos 31 Proporção esperada de cada categoria De ESQUERDA 1130 2300 4913 Valor esperado de preferência pela esquerda Esquerda regA 1000 X 4913 4913 Esquerda regB 1300 X 4913 6387 De DIREITA 1170 2300 5087 Valor esperado de preferência pela direita Direita regA 1000 X 5087 5087 5087 1000 4913 Direita regB 1300 X 5087 6613 6613 1300 6387 regA regB Total esquerda observados 530 600 1130 número esperado de ESQUERDA 4913 6387 1130 direita observados 470 700 1170 número esperado de DIREITA 5087 6613 1170 total de ENTREVISTADOS 1000 1300 2300 Métodos Quantitativos 32 Proporção esperada De ESQUERDA Esquerda regA 1000 X 4913 4913 Esquerda regB 1300 X 4913 6387 De DIREITA Direita regA 1000 X 5087 5087 Direita regB 1300 X 5087 6613 regA regB Total esquerda observados 530 600 1130 número esperado de ESQUERDA 4913 6387 1130 direita observados 470 700 1170 número esperado de DIREITA 5087 6613 1170 total de ENTREVISTADOS 1000 1300 2300 Métodos Quantitativos 33 Para cada célula Quadrado da diferença entre freqüência observada e freqüência esperada dividida pela freqüência esperada Teste de Significância para Proporções Distribuição Amostral Χ2 QuiQuadrado similar a t e F no sentido de que Forma depende do número de GL associado ao problema Valor crítico é função dos Graus de Liberdade Determinação do Valor Crítico de Χ2 Nível de significância Graus de Liberdade Determinado por número de amostras de categorias 34 Métodos Quantitativos 2 degrees of freedom 4 degrees of freedom 10 degrees of freedom Y ChiSquare Statistic Métodos Quantitativos 35 Teste de Significância para Proporções Distribuição Amostral Χ2 QuiQuadrado Graus de Liberdade Refletem o tamanho da tabela de observações Função do número de células da tabela de observações número de populaçõesgruposamostras colunas k natureza do indivíduo número de categoriasopçõespreferênciascircunstâncias linhas r o que se avalia na pesquisa freqüências esperadas total de observadas Graus de Liberdade das colunas populaçõesgrupos Número de colunas menos k 1 k 1 Graus de Liberdade das linhas categoriasopções Número de linhas menos r 1 r 1 GL k 1 x r 1 36 Métodos Quantitativos Métodos Quantitativos 37 Degrees of freedom df χ² value 1 0004 002 006 015 046 107 164 271 384 664 1083 2 010 021 045 071 139 241 322 460 599 921 1382 3 035 058 101 142 237 366 464 625 782 1134 1627 4 071 106 165 220 336 488 599 778 949 1328 1847 5 114 161 234 300 435 606 729 924 1107 1509 2052 6 163 220 307 383 535 723 856 1064 1259 1681 2246 7 217 283 382 467 635 838 980 1202 1407 1848 2432 8 273 349 459 553 734 952 1103 1336 1551 2009 2612 9 332 417 538 639 834 1066 1224 1468 1692 2167 2788 10 394 486 618 727 934 1178 1344 1599 1831 2321 2959 P value Probability 095 090 080 070 050 030 020 010 005 001 0001 Nonsignificant Significant regA regB Total esquerda observados 530 600 1130 número esperado de ESQUERDA 4913 6387 1130 direita observados 470 700 1170 número esperado de DIREITA 5087 6613 1170 total de ENTREVISTADOS 1000 1300 2300 Métodos Quantitativos 38 Graus de Liberdade 1 GL k 1 x r 1 2 1 x 2 1 1 Métodos Quantitativos 39 Graus de Liberdade 1 GL r 1 x k 1 2 1 x 2 1 1 Valor Crítico a 1 de significância 6635 X2 106 6635 Temse subsídio para rejeitar H0 Proporções das populações não são iguais Variação de proporções amostrais não se deve ao acaso Fator regional parece ter interferência na preferência política da população Métodos Quantitativos 40 Exemplo Preferência por partido político por região Eleitores de cinco regiões populações e quatro partidos categoriaspreferências Hipóteses H0 Proporções de preferência por partido das populações são iguais entre as regiões p1 p2 p3 p4 H1 Proporções de preferência por partido das populações não são iguais entre as regiões p1 p2 p3 p4 Métodos Quantitativos 41 PREFERENCIA POLÍTICA regA regB regC regD regE total PARTIDO DO SUCO DE LARANJA PSL 620 609 604 610 625 3068 PARTIDO DEVOTADO AO POVO PDP 715 720 705 710 730 3580 PARTIDO SUBMISSO AO POVO PSP 400 420 399 405 401 2025 PARTIDO ESCRAVO DO POVO PEP 690 710 695 680 688 3463 total de ENTREVISTADOS 2425 2459 2403 2405 2444 12136 proporcao esperada do PFP 2528 GL 41x51 12 proporcao esperada do PDP 2950 proporcao esperada do PSP 1669 proporcao esperada do PEP 2853 TOTAL ESPERADO 10000 regA regB regC regD regE total PFP observado 620 609 604 610 625 3068 número esperado de PFP 613044 621639 607482 607988 617847 3068 PDP observado 715 720 705 710 730 3580 número esperado de PDP 715351 725381 708861 709451 720956 3580 PSP observado 400 420 399 405 401 2025 número esperado de PSP 404633 410306 400962 401296 407803 2025 PEP observado 690 710 695 680 688 3463 número esperado de PEP 691972 701674 685695 686265 697394 3463 total de ENTREVISTADOS 2425 2459 2403 2405 2444 12136 DIFERENÇA ENTRE OBSERVADO E ESPERADO Soma PFP freq obs freq esp2 freq esp 007893 025698 001996 000666 008281 044534 PDP freq obs freq esp2 freq esp 000017 003991 002103 000042 011346 017500 PSP freq obs freq esp2 freq esp 005305 022903 000960 003419 011350 043936 PEP freq obs freq esp2 freq esp 000562 009879 012628 005720 012654 041443 QUIQUADRADO 147413 Métodos Quantitativos 42 Exemplo Preferência por partido político por região Eleitores de cinco regiões populações e quatro partidos categoriaspreferências X2 de teste 147413 GL r1xk1 41x51 12 Não excede nenhum Valor Crítico de X2 Aceitase H0 H0 Proporções de preferência por partido das populações são iguais entre as regiões p1 p2 p3 p4 A preferência por partido não sofre influência do fator região onde o eleitor reside Métodos Quantitativos 43 ChiSquared Values for a Specified Right Tail Area a Right Hand Tail Area DF 0999 0995 099 0975 095 09 01 005 0025 001 0005 0001 1 0 0 0 0 0 002 271 384 502 663 788 1083 2 0 001 002 005 01 021 461 599 738 921 106 1382 3 002 007 011 022 035 058 625 781 935 1134 1284 1627 4 009 021 03 048 071 106 778 949 1114 1328 1486 1847 5 021 041 055 083 115 161 924 1107 1283 1509 1675 2051 6 038 068 087 124 164 22 1064 1259 1445 1681 1855 2246 7 06 099 124 169 217 283 1202 1407 1601 1848 2028 2432 8 086 134 165 218 273 349 1336 1551 1753 2009 2195 2612 9 115 173 209 27 333 417 1468 1692 1902 2167 2359 2788 10 148 216 256 325 394 487 1599 1831 2048 2321 2519 2959 11 183 26 305 382 457 558 1728 1968 2192 2473 2676 3126 12 221 307 357 44 523 63 1855 2103 2334 2622 283 3291 13 262 357 411 501 589 704 1981 2236 2474 2769 2982 3453 14 304 407 466 563 657 779 2106 2368 2612 2914 3132 3612 Métodos Quantitativos 44 PREFERENCIA POLÍTICA regA regB regC regD regE total PARTIDO DO SUCO DE LARANJA PSL 700 609 604 610 500 3023 PARTIDO DEVOTADO AO POVO PDP 715 720 705 710 730 3580 PARTIDO SUBMISSO AO POVO PSP 400 420 399 405 401 2025 PARTIDO ESCRAVO DO POVO PEP 600 710 695 680 720 3405 total de ENTREVISTADOS 2415 2459 2403 2405 2351 12033 proporcao esperada do PP 2512 GL 41x51 12 proporcao esperada do PDP 2975 proporcao esperada do PSP 1683 proporcao esperada do PEP 2830 TOTAL ESPERADO 10000 regA regB regC regD regE total PFP observados 700 609 604 610 500 3023 número esperado de PFP 60671 617764 603696 604198 590632 3023 PDP observados 715 720 705 710 730 3580 número esperado de PDP 718499 73159 714929 715524 699458 3580 PSP observados 400 420 399 405 401 2025 número esperado de PSP 406414 413818 404394 404731 395643 2025 PEP observados 600 710 695 680 720 3405 número esperado de PEP 683377 695828 679981 680547 665267 3405 total de ENTREVISTADOS 2415 2459 2403 2405 2351 12033 DIFERENÇA ENTRE OBSERVADO E ESPERADO PFP freq obs freq esp2 freq esp 143445 01243 00002 00557 139074 284321 PDP freq obs freq esp2 freq esp 00170 01836 01379 00426 13336 17148 PSP freq obs freq esp2 freq esp 01012 00923 00720 00002 00725 03382 PEP freq obs freq esp2 freq esp 101726 02887 03317 00004 45030 152965 QUIQUADRADO 457816 Métodos Quantitativos 45 Exemplo Preferência por partido político por região Eleitores de cinco regiões populações e quatro partidos categoriaspreferências X2 de teste 457816 X2 de teste excede Valor Crítico de X2 ao nível de significância de 01 α 01 VC de X2 3291 Métodos Quantitativos 46 Exemplo Preferência por partido político por região Eleitores de cinco regiões populações e quatro partidos categoriaspreferências X2 de teste 457816 Rejeitase H0 e aceitase H1 H1 Proporções de preferência por partido das populações não são iguais entre as regiões p1 p2 p3 p4 A preferência por partido é influenciada pelo fator região onde o eleitor reside