P1 - Gabarito - Estatística 2 2023-2

GABARITO: ‘Item ft [234s ft |Altenativa/B = |D |B [D JA [A _|[cC_/A_|B_[C_| Os itens 1, 2 e 3 sao baseados na seguinte questao: Por analogia a produtos similares, 0 tempo, em minutos, de reagéo de um novo medicamento pode ser considerado como tendo uma distribuigao Normal com desvio- padrao de 2 minutos. Vinte pacientes foram sorteados, receberam o medicamento e tiveram o seu tempo de reacao anotado. Os dados apresentados foram os seguintes (em minutos): 2,9 34 3,5 41 #46 4,7 #45 3,8 53 49 4,8 57 5,8 50 34 59 63 46 5,5 6,2. Item 1. Qual é a distribuigao amostral do tempo médio de reagao do novo medicamento? Solucao: Seja X 0 tempo (em minuto) de reagao do novo medicamento, entao, o tempo médio de reacio do novo medicamento com n = 20 sera: X~N(u; 4/20) = N(u; 1/5). Item 2. Qual é o Erro-padrao? Solucao: Erro-padrao é 0 desvio-padrao do estimador pontual, ou seja, EP(X) = 1/5 = 0,4472 Item 3. Obtenha um intervalo de confianga para o tempo médio de reagao, use y= 96%. Solucao: _ = 2 Nesse caso, 0 IC é dado por: x — Zy/2 [o°/n i X + Zy/2 °° /a} com n = 20,9 /n = 0,2 € Zo96/ = 2,05 (pela tabela N(0;1)). Calculando a média amostral: X = ~ eX = —e = — = 4,745, portanto, IC(w;96%) sera: [4,745 — 2,050,2; 4,745 + 2,050,2] = [3,83; 5,66] Os itens 4, 5 e 6 sao baseados na seguinte questao: Sera coletada uma amostra de uma populacao Normal com desvio-padrao igual a 9. Item 4. Determine a amplitude do intervalo de 95% de confianga para a média populacional no caso em que o tamanho da amostra é 30. Solucao: Como a populacdo é Normal, X~N(u;9?/n) e o EP(X) = 9/ Vr Considerando y = 95%, Zy/2 = 1,96 (usando a tabela M(0;1)). A amplitude, portanto, é igual a 2. z,/>. EP(X) = 2.1,96 (9/ ) = 228 p > p ’ g . y/2: sft) . Vn Vn . Sendo n = 30, a amplitude do IC(u;95%) é igual a 6,4412 Item 5. Determine a amplitude do intervalo de 95% de confianga para a média populacional no caso em que o tamanho da amostra é 50. Solucao: De modo analogo ao Item 4 com n = 50, a amplitude do IC(w;95%) é igual a 4,9893 Item 6. Determine a amplitude do intervalo de 95% de confianga para a média populacional no caso em que o tamanho da amostra é 1000. Solucao: De modo analogo ao Item 4 com n = 1000, a amplitude do IC(u;95%) € igual a 1,1157 Os itens 7, 8 e 9 sao baseados na seguinte questao: A duracgao do tonner de uma maquina fotocopiadora pode ser modelada como uma Normal com média 15 e desvio-padrao 12 (em milhares de copia). para uma amostra aleatéria de 12 maquinas fotocopiadoras a dura¢ao do tonner sera observada e pergunta- se a probabilidade de, em média, durar: Item 7. Menos de 16 mil copias? Solucao: Seja X a duracdo do tonner (...) (em milhares de cdpia), X~N(15;127) => Xan (15; 12°/,5) = (15; 12). P(X < 16) = P(Z < (16 —15)/V12) = P(Z < 0,2887) =0,5+P(0<Z< 0,2887) = 0,5 + 0,1141 = 0,6141 (usando a tabela da N(0;1)). Item 8. Mais de 14 mil copias? Solucao: P(X > 14) = P(Z > (14 — 15) /V12) = P(Z > —0,2887) = P(Z < 0,2887) = 0,6141 (usando a simetria da Normal e 0 resultado do Item 8). Item 9. Entre 12 e 14 mil cépias? Solucao: P(12<X < 14) = P((12 -15)/V12 < Z < (14 — 15)/V12) = P(-0,8660 <Z< —0,2887) = P(0 < Z < 0,8660) — P(0 < Z < 0,2887) = 0,3078 — 0,1141 = 0,1937. O item 10 corresponde a seguinte questao: Item 10. Desejamos coletar uma amostra probabilistica de uma Variavel Aleatoria N(w;30). Qual deve ser 0 tamanho da amostra para que, com probabilidade de 0,92, a média amostral nao difira da verdadeira populacional por mais de 3 unidades? Solucao: Temos: d = 3, EP(X) = [7"/n = [3%/n e, como X~N(u,29/,), Zy/2 = Zo92/ = Zo,46 = 1,75 (pela tabela Normal padrao). Logo, o tamanho minimo da amostra devera 2 2 ser den > (76 °/;) = (175 v30/,) = (3,1950)? = 10,2080, isto é, n = 11.