Slides Distribuição Amostral - Estatística 2 2022 1

z Distribuição Amostral Parte - I Prof. Edwards C. de Castro DEST/CCE/UFES z Sumário  Introdução;  Parâmetros populacionais;  Estatísticas, Estimadores e Estimativas;  Qualidade de um Estimador pontual. z Introdução  Vimos que POPULAÇÃO, em Estatística, é o conjunto universo dos elementos que possuem as mesmas características que as definem. Esses elementos são chamados de Unidades Experimentais ou Unidades Amostrais; z Introdução  Em geral, o acesso à todos os elementos da população não é prático ou inviável, nesses casos, selecionamos uma AMOSTRA (probabilística) da população alvo e induzimos os resultados obtidos com a amostra para a população amostrada, esse processo é chamado de INFERÊNCIA ESTATÍSTICA. z Introdução  Em geral, não estamos interessados nas unidades amostrais em si, mas, em algumas características observáveis (numéricas ou não) que possamos extrair delas (das unidades). Modelamos estas características por meio das Variáveis Aleatórias (VA). z Introdução  Dada uma amostra probabilística de tamanho n (n corresponde ao número de unidades mostrais), denotada por: X1, X2, ..., Xn.  Cada unidade, antes de ser observada, é considerada uma VA. Todas as VA’s Xi são coletivamente independentes e igualmente distribuídas com a mesma distribuição da população amostrada da característica X (são VA’s iid’s); z Parâmetros populacionais  Todo modelo probabilístico atribuído a uma VA, tais como: Normal ou Gaussiana - N(μ,σ2); Binomial(n,p); Poisson(); Exponencial(); etc, possui constantes (μ, σ, , n, p) geralmente desconhecidas. Essas constantes especificam a forma do modelo e são chamadas de PARÂMETROS.  Os Parâmetros populacionais majoritariamente são denotados por letras gregas minúsculas. z Parâmetros populacionais  Importante: em Estatística, os conceitos de População e Distribuição de uma VA são equivalentes, por isso, os parâmetros são chamados, também, de parâmetros populacionais. z  Seja  um parâmetro (ou um vetor de parâmetros) qualquer, chamamos de ESPAÇO PARAMÉTRICO e denotamos por  (teta maiúsculo), o conjunto formado por todos os valores do(s) parâmetro(s) que mantêm as propriedades da distribuição de probabilidade. Parâmetros populacionais Parâmetros populacionais z  Cuidado: não confundir Espaço Paramétrico () com Espaço Amostral ().  Ex.: para X ~ N(μ,σ2), temos: (μ,σ2) = {(μ,σ2)  2, com σ2 > 0} e  = {x  }. Caso μ seja conhecido, (μ,σ2) = {σ2  , com σ2 > 0}. Para X ~ Binomial(n,p), (n,p) = {(n,p) tal que n   e p  , com 0 < p < 1} e  = {0, 1, 2, ..., n}. Parâmetros populacionais Parâmetros populacionais z  Em situações práticas, temos que inferir os valores dos parâmetros populacionais, pois, quaisquer características populacionais de interesse dependem de um modelo completamente especificado. Parâmetros populacionais Parâmetros populacionais z EXEMPLO. Considere a distribuição das alturas (em cm) dos alunos da UFES/2021 como sendo uma VA X ~ N(170;52). Qual é a probabilidade de observarmos um aluno com altura superior a 180 cm? E se a altura média fosse de μ = 175 cm? Parâmetros populacionais Parâmetros populacionais z ... Continuação do exemplo... Queremos saber P(X > 180). Nesse caso, o evento [X > 180] é equivalente ao evento [Z > 2], com Z ~ N(0;1). Logo, P(X > 180) = P(Z > 2) = 0,0228 (usando a tabela da Normal padrão). No caso de μ = 175, P(X > 180) = P(Z > 1) = 0,1587. Parâmetros populacionais Parâmetros populacionais z ... Continuação do exemplo... Se os valores de μ e σ fossem desconhecidos, quais valores de μ e σ2 deveríamos usar para calcular a probabilidade do exemplo? Vimos que o resultado desejado, P(X > 180), muda consideravelmente mesmo para pequenas diferenças dos valores atribuídos aos parâmetros. Parâmetros populacionais Parâmetros populacionais z  A resposta da pergunta do exemplo anterior é: devemos induzir (inferir) os valores dos parâmetros μ e σ a partir de uma Amostra Aleatória. Parâmetros populacionais Parâmetros populacionais z  Uma Amostra Probabilística é, com alta probabilidade, representativa da população amostrada, isto é, a distribuição de frequências da variável é similar à distribuição teórica populacional. Portanto, a média amostral, por exemplo, é esperado que ela forneça o mesmo valor da média teórica populacional μ. Parâmetros populacionais Parâmetros populacionais z  Definimos ESTATÍSTICA como sendo qualquer função das unidades amostrais não contendo valores desconhecidos. EX.: Seja X1, X2, ..., Xn, uma amostra probabilística de tamanho n, então, São exemplos de Estatística: E1 = X1, E2 = 2.X1 + 5, E3 = Mínimo amostral, E4 = média amostral, E5 = Variância amostral, E6 = (X1 + Xn)/2, E7 = 10, etc. Não são exemplos de Estatística: k (uma constante real não conhecida), 2.X1 + μ, μ – 3.σ, etc. Estatísticas, Estimadores e estimativas z  Sendo X1, X2, ..., Xn uma amostra aleatória representando VA’s iid’s, uma Estatística é, por definição, uma variável aleatória, portanto, ela possui distribuição probabilística, média e variância teóricas, etc. Estatísticas, Estimadores e estimativas z  As Estatísticas usadas para atribuir (induzir) um valor a um parâmetro desconhecido da população são chamadas de ESTIMADORES pontuais. Ex.: A média amostral é um estimador pontual da média populacional μ, a frequência relativa simples é um estimador pontual da P(“SUCESSO”), a variância amostral é um estimador pontual da variância teórica... Estatísticas, Estimadores e estimativas z  Não é qualquer Estatística que pode ser usada para estimar um parâmetro, somente as Estatísticas cujos Espaços Amostrais () coincidam com os respectivos Espaços Paramétricos (). Ex.: tanto a média quanto a mediana amostral podem ser Estimadores de μ, pois, ambos os Espaços Amostrais são o conjunto dos números reais tal como o Espaço Paramétrico de μ. A variância amostral, por exemplo, é uma Estatística que não pode ser utilizada como estimador da média populacional, pois, o espaço amostral da variância amostra são os números reais positivos, portanto, é diferente do espaço paramétrico de μ). Estatísticas, Estimadores e estimativas z  Uma ESTIMATIVA é o valor numérico de um Estimador após uma amostra ser observada e o estimador ser calculado (lembrem-se: um Estimador é uma VA e uma Estimativa é um número). Estatísticas, Estimadores e estimativas z  Seja  um parâmetro qualquer, o seu estimador pontual será denotado por . Ex.: a média amostral, , pode ser usado como estimador pontual de μ, neste caso, é o μ = . Estatísticas, Estimadores e estimativas z  Como acabamos de ver, um Parâmetro pode ser estimado por vários Estimadores pontuais, portanto, devemos escolher aquele com as melhores propriedades/qualidade. Vejamos algumas: Qualidade de um Estimador pontual z  Propriedade de NÃO-ENVIESAMENTO: Um Estimador é não-enviesado (ou não-viciado) quando, em média, ele reproduz o verdadeiro valor do parâmetro, ou seja, E( ) = ; Qualidade de um Estimador pontual 4 ; ; Qualidade de um Estimador pontual = Propriedade de CONSISTENCIA: Quanto maior é tamanho da amostra, n, menor devera ser a variancia do Estimador, ou seja, Var (8) —0 ; ee z  Propriedade de EFICIÊNCIA: Dados dois Estimadores de , 1 e 2 , o melhor estimador é aquele de menor variância, isto é, 1 é melhor que 2 para estimar  se e só se Var( 1) / Var( 2) < 1. Qualidade de um Estimador pontual z Observação: PRECISÃO de um Estimador pontual é definida como a inversa da sua variância, ou seja, precisão de é igual a 1/Var( ); e, o desvio-padrão de um estimador é chamado de ERRO-PADRÃO, EP( ). Qualidade de um Estimador pontual z Um exemplo: Considere X1, X2, ..., Xn uma Amostra Aleatória de uma população X ~ N(μ,σ2) e considere, ainda, quatro estimadores para μ, μ1 = , μ2 = (X1 + Xn)/2 e μ3 = (X1 + Xn) e μ4 = (X1 + 2.Xn)/3. Temos: E( ) = μ e Var( ) = σ2/n (porque?), E(μ2) = E[(X1 + Xn)/2)] = [E(X1) + E(Xn)]/2 = 2.E(X)/2 (porque?) = μ, Var(μ2) = Var[(X1 + Xn)/2)] = [Var(X1) + Var(Xn)]/4 = 2.Var(X)/4 (porque?) = σ2/2, Qualidade de um Estimador pontual z ...continuação do exemplo... E(μ3) = E(X1 + Xn) = E(X1) + E(Xn) = 2.E(X) = 2.μ, Var(μ3) = Var(X1 + Xn) = Var(X1) + Var(Xn) = 2.Var(X) = 2.σ2, E(μ4) = E[(X1 + 2.Xn)/3)] = [E(X1) + 2.E(Xn)]/3 = 3.E(X)/3 = μ, Var(μ4) = Var[(X1 + 2.Xn)/3)] = [Var(X1) + 4.Var(Xn)]/9 = 5.Var(X)/9 = (5/9). σ2. Qualidade de um Estimador pontual z Conclusões do exemplo: Para μ1, E( ) = μ, é um estimador não-enviesado e Var( ) = σ2/n  0, é um estimador consistente de μ; Para μ2, E(μ2) = μ e Var(μ2) = σ2/2, é um estimador não-enviesado e não consistente de μ; Qualidade de um Estimador pontual z Conclusões do exemplo: Para μ3, E(μ3) = 2.μ e Var(μ3) = 2.σ2, é um estimador enviesado e não consistente de μ; Para μ4, E(μ4) = μ e Var(μ4) = (5/9). σ2, é um estimador não-enviesado e não consistente de μ. Portanto, a média amostral, , é o melhor Estimador de μ dentre os quatro Estimadores competidores. Qualidade de um Estimador pontual z Em termos de precisão, é o mais preciso dentre os demais estimadores, pois, Var( )/Var(μ2) = (σ2/n)/(σ2/2) = 2/n < 1 para n > 2; assim como Var( )/Var(μ3) = (σ2/n)/(2.σ2) = 1/(2.n) < 1 para n ≥ 1, assim como Var( )/Var(μ4) = (σ2/n)/((5/9).σ2) = 9/(5.n) < 1 para n > 9/5 (n ≥ 2). Qualidade de um Estimador pontual z Podemos afirmar que a média amostral é o melhor de todos os estimadores de μ (tais como a mediana amostral, moda amostral, etc), pois, a variância de é menor que a variância de qualquer outro estimador pontual de μ. Além disso, é o estimador pontual de μ de variância mínima ou de máxima precisão, logo, é o melhor estimador pontual de μ (isso era intuitivo, agora é um fato). FIM Qualidade de um Estimador pontual