Aula 7 - Equações Autônomas e Dinâmica Pop

Aula 7 Cálculo 3. B 2021.1 solução - - • soluções de equilíbrio : y la - by) = o 2.5 Equagães autonomias e Dinâmica y = o e y = a- populacional b Aula passada : TEU . . • Analizar o sinal da derivada: - Aula Hoje : autônomos y ' = fcy) - ) y Definição A equação da forma _ Quando os valores de ylt) ) % i 'famíiia . É a função é crescente . • . O que a variável independente t não aparece . - Ez Quando os valores de ylt) ) o ° , é dita Equação autônoma a função e decrescente . > separável , mas queremos obter informa fãs qualitativas ser resolvê - las . ° Estourar algumas soluções { à = yca - by) y lo) = No ii:÷÷÷ •\ O\ O O O \ fumarão algemas que c é um ponto de equilíbrio ou estacionário de D= fcy) Pelo TEU em um ponto passa uma quando ç única solução . Note que se cé ponto estacionário • ( o , yo) , se yo ) E então a solução g. = c ( função constante ) é solução b da EDO g) = fãs , ora EI - o = f- Cc) permanece na região IRX ( E. 00 ) Neste caso YHKC é dita solução de equilíbrio ou estacionária tomar IEITE €€ Y = a/b e é decrescente :ã÷ããü:: →iii. de } . Para equações autônomas faremos isso t - s - ão ↳ Não converge para sobre o eixo y onde fcy) é positiva ou ne - uma assíntola houzonqativa tal país , se sim Exemplo Faga uma análise das soluções ela seria solução da EDO - - de y ' = y ( a - by) , a. b > o • lo , yo) se § > yo ) o então a solução permanece na região IRX lo , b) Fãs maãsoeuauãs Definirão uma solução ytthc de equilíbrio e dita a) assintoticamente estável quando 9=0 , y = % para soluções que estão suficientemente C- é sempre crescente perto de a temos limylt) = C Então tiçnylt ) = o tiçnytt ) = % t - sto - 00 400 b) instável caso contrário • lo , yo) , Joe o então a solução pertence a região ^ Esse conceito é importante em modelagem IR x (0,00) porque não pode µ cruzar a solução y = o \ Exerço Classifique as soluções de equilíbrio e ela é descresente em y ' = y la - by) limylt) = O e tem ylt ) = - ao f- s - ao I - ' + ° Solução - - Pelo que fizemos antes NOTAM . yo é instável • O que ainda não é claro e se para yo > alb . y = Y é assintoticamente estável b a solução esta depenada em IR . , ""¥ . " ÷ê÷÷÷: definida em IR depenada em A taxa de variação é proporcional ao CQT ) valor atual de y : igual para y.co • ÷ . -www.naqm.w.f?.::O-t::.=- µ € Resolvendo obtemos YH=Y - ↳ esse é um modelo simples demais : concorra para côncava ! côncava Crescimento logístico ( equação de ver hulst ) ama para ! para baixo Í ama Para levar em consideração o fato de que a taxa de crescimento dependa , realmente , da popula - Vamos fazer a segunda derivada para deter qãe atual , vamos substituir a constante minas os pontos de endesão e o sinal r por r④ a > o D= fcy) y " = ftp.vjct) o Fcvs) e tem mesmo sinal j-fcys.ge = côncava para ama Assim dyqailr.ae • ftp.fcm sinais contrários = côncava para baixo podemos escrever , fazendo K = % a equação da seguinte forma Vamos resolver o PVI , depois substituímos os parámetros . t÷ .mu . a mira EDO ( 1- E) y não linear saturação ✓ frações parciais : separável Equação de Verhulst f + ÷ =p,¥↳ ⇒ A- YK B- - 1 Excepto Classifique as soluções de equilíbrio YK da equação logística y ' = r ( 1-E)y saberá : " sousãs de auditaria são ↳↳ = × / #-) + ty} dt Yzlt) E O ^ fim - - rf - z) . os lnlyl - lnp 1- ¥1 = rttc ( ÷: iii. ÷: rt ~ = Ce Como vemos lémylt) = K 1 - Y, + → o K então y,HIEK é assintoticamente estável para ylo) = 0,25k e que o é instável 0,25K = C substituindo . - Exemplá : O modelo logístico foi aplicado 1 - 0,25 ⇒% . Ty u a população de linguados gigantes em % uma área do pacífico . suponha que ¥} _ - ( oiçsg) ert yeti medido em Kg é a massa total em um instante t . se os parámetros <~ ~ são r = 0,711 ano y = ( I - ¥) ( çkert) K = 80,5 x 106kg ( d + Gert) y = 1K ert se a biomassa inicial 0,25K . Determine 3 a biomassa 2. anos depois rt ylt) = tzke K = 80,5×106 Solução _ ri 0,71 rt Equação logística 1 + { e t = 2 g) = r ( 1- %) . y separável ylz) = § . 80,5 . lá ? e"" - I 0,5797 | y los = 0,25K 1 + 1C"" 3