Slide - Cap 7 Pt2 - Resultados de Medições Indiretas - 2024-1

Fundamentos de METROLOGIA científica e industrial www.labmetro.ufsc.br/livroFMCI Resultados de Medições Indiretas 7 Capítulo 7 – Resultados de Medições Indiretas - 2/62 Motivação ❑ Como estimar a incerteza do valor de uma grandeza que é calculada a partir de operações matemáticas com os resultados de outras grandezas individualmente medidas? b c A = b . c U(A) = ? ± U(b) ± U(c) Fundamentos de METROLOGIA científica e industrial www.labmetro.ufsc.br/livroFMCI 7.1 Considerações Preliminares Capítulo 7 – Resultados de Medições Indiretas - 4/62 Medições Indiretas ❑ A grandeza é determinada a partir de cálculos envolvendo duas ou mais grandezas medidas separadamente. ❑ Exemplos: o A área de um terreno retangular multiplicando largura pelo comprimento. o A velocidade média de um veículo dividindo a distância percorrida pelo tempo correspondente. Capítulo 7 – Resultados de Medições Indiretas - 5/62 Modelo Matemático ❑ Nas medições indiretas é sempre necessário um modelo matemático que relacione as grandezas individualmente medidas com o valor do mensurando. ❑ Exemplos: o 𝐴 = 𝑙 × ℎ o 𝑣 = 𝑥 𝑡 o 𝑑 = (𝑥1 − 𝑥2)2+(𝑦1 − 𝑦2)2+(𝑧1 − 𝑧2)2 Capítulo 7 – Resultados de Medições Indiretas - 6/62 Dependência estatística & correlação ❑ Duas variáveis aleatórias são consideradas estatisticamente independentes ou não correlacionadas se as variações aleatórias da primeira não guardam nenhum tipo de sincronismo com as variações aleatórias da segunda. ❑ Exemplo: o a temperatura da água do mar na praia da Joaquina e a cotação do dólar. Capítulo 7 – Resultados de Medições Indiretas - 7/62 Dependência estatística & correlação ❑ Duas variáveis aleatórias são consideradas estatisticamente dependentes ou correlacionadas se as variações aleatórias da primeira ocorrem de forma sincronizada com as variações aleatórias da segunda. ❑ Exemplos: o Os valores em real da cotação do euro e do dólar (na verdade quem mais muda é o real). o A temperatura da água do mar em duas praias próximas. Capítulo 7 – Resultados de Medições Indiretas - 8/62 Correlação direta ❑ Em duas variáveis aleatórias que apresentam correlação direta as variações aleatórias estão sincronizadas de tal forma que: o (a) o aumento aleatório do valor da primeira variável aleatória é acompanhado de um aumento proporcional do valor da segunda variável. o (b) a redução aleatória do valor da primeira variável aleatória é acompanhado de uma redução proporcional do valor da segunda variável. Capítulo 7 – Resultados de Medições Indiretas - 9/62 Correlação inversa ❑ Em duas variáveis aleatórias que apresentam correlação inversa as variações aleatórias estão sincronizadas de tal forma que: o (a) o aumento aleatório do valor da primeira variável aleatória é acompanhado de uma redução proporcional do valor da segunda variável. o (b) a redução aleatória do valor da primeira variável aleatória é acompanhado de um aumento proporcional do valor da segunda variável. A B C Analogia da gangorra ... A e B possuem correlação direta A e C possuem correlação inversa B e C possuem correlação inversa A B C Capítulo 7 – Resultados de Medições Indiretas - 11/62 Coeficiente de correlação sendo (X,Y) o coeficiente de correlação entre X e Y cov(X, Y) a covariância entre X e Y X o desvio padrão da variável aleatória X Y o desvio padrão da variável aleatória Y 𝜌 𝑋, 𝑌 = 𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) 𝜎𝑋. 𝜎𝑌 Capítulo 7 – Resultados de Medições Indiretas - 12/62 Estimativa do coeficiente de correlação a partir de n pares de valores sendo r(X, Y) estimativa do coeficiente de correlação para X e Y xi e yi i-ésimo par de valores das variáveis X e Y valores médios das variáveis X e Y n número total de pares de valores das variáveis X e Y ҧ𝑥 𝑒 ത𝑦    = = = −  − − − = n i i n i i n i i i y y x x y y x x X Y r 1 2 1 2 1 ) ( ) ( ) )( ( , ) ( Capítulo 7 – Resultados de Medições Indiretas - 13/62 Correlação direta e inversa ❑ Correlação direta perfeita: o ρ(X, Y) = +1,00 ❑ Correlação inversa perfeita: o ρ(X, Y) = -1,00 ❑ Ausência total de correlação o ρ(X, Y) = 0,00 X Y X Y X Y Correlação entre múltiplas variáveis aleatórias A B C D A B C D A B C D A - +1 -1 -1 B +1 - -1 -1 C -1 -1 - +1 D -1 -1 +1 - Capítulo 7 – Resultados de Medições Indiretas - 15/62 Nas medições indiretas há boas chances de correlação quando: ❑ Há erros sistemáticos consideráveis e não compensados nas medições de ambas grandezas; ❑ Uma mesma grandeza de influência age fortemente em ambos processos de medição; ❑ Ambas grandezas são medidas pelo mesmo SM em condições distintas das de calibração ou muito tempo após a calibração ter sido realizada. Capítulo 7 – Resultados de Medições Indiretas - 16/62 Nas medições indiretas há boas chances de não haver correlação se: ❑ Ambos os sistemas de medição foram recentemente calibrados e estão operando em condições próximas das condições de calibração e as respectivas correções estão sendo aplicadas; ❑ Distintos sistemas de medição são utilizados em condições em que não há uma mesma grandeza de influência presente que possa afetar significativamente ambos os processos de medição. Fundamentos de METROLOGIA científica e industrial www.labmetro.ufsc.br/livroFMCI 7.2 Estimativa da incerteza combinada em medições não correlacionadas (MNC) Capítulo 7 – Resultados de Medições Indiretas - 18/62 Adição e subtração de duas variáveis aleatórias não correlacionadas ❑ Sejam X1 e X2 duas variáveis aleatórias não correlacionadas (estatisticamente independentes) ❑ Desvio padrão da adição: o 𝜎(𝑋1+𝑋2) = 𝜎𝑋1 2 + 𝜎𝑋2 2 ❑ Desvio padrão da subtração: o 𝜎(𝑋1−𝑋2) = 𝜎𝑋1 2 + 𝜎𝑋2 2 Capítulo 7 – Resultados de Medições Indiretas - 19/62 Adição e subtração de duas medições não correlacionadas ❑ Sejam M1 e M2 medições independentes e não correlacionadas ❑ Incerteza padrão da adição: o 𝑢(𝑋1 + 𝑋2) = 𝑢2 𝑋1 + 𝑢²(𝑋2) ❑ Incerteza padrão da subtração: o 𝑢(𝑋1 − 𝑋2) = 𝑢2 𝑋1 + 𝑢²(𝑋2) ❑ Sendo o 𝑢 𝑋𝑖 = 𝑈(𝑋𝑖) 𝒕𝝂𝒊 Capítulo 7 – Resultados de Medições Indiretas - 20/62 Adição e subtração de medições não correlacionadas ❑ Generalizando: o O quadrado da incerteza padrão combinada da adição ou subtração de qualquer número de medições não correlacionadas é calculado pela soma dos quadrados das incertezas padrão associadas à cada grandeza de entrada 𝑢² 𝑋1 ± 𝑋2 ± ⋯ ± 𝑋𝑛 = 𝑢² 𝑋1 + 𝑢² 𝑋2 + ⋯ + 𝑢² 𝑋𝑛 Capítulo 7 – Resultados de Medições Indiretas - 21/62 Exemplo: Adição de MNC Estime o valor resultante da soma de ambas as massas, sabendo que as medições que levaram a seus valores verdadeiros convencionais podem ser consideradas não correlacionadas 1 2 mT = m1 + m2 m1 = (1000 ± 6) g m2 = (2000 ± 8) g u²(mT) = u²(m1) + u²(m2) u²(mT) = 32 + 42 = 25 u(mT) = 5 g MNC mT = (3000 ± 10) g u(m1) = U(m1)/k=6/2,0 = 3 g u(m2) = 8/2,0 = 4 g U = t . u = 2,0 . 5 = 10 g considerando t = 2,0 Capítulo 7 – Resultados de Medições Indiretas - 22/62 Exemplo: Subtração de MNC mC = m2 – m1 m1 = (1000 ± 6) g m2 = (2000 ± 8) g u²(mc) = u²(m1) + u²(m2) u²(mT) = 32 + 42 = 25 u(mT) = 5 g MNC mC = (1000 ± 10) g 1 2 mC + m1 = m2 U = t . u = 2,0 . 5 = 10 g Capítulo 7 – Resultados de Medições Indiretas - 23/62 Multiplicação e divisão de duas variáveis aleatórias não correlacionadas ❑ Sejam 𝑋1 e 𝑋2 duas variáveis aleatórias não correlacionadas (estatisticamente independentes) ❑ A variância da multiplicação é obtida por: o 𝜎(𝑋1· 𝑋2) 𝑋1· 𝑋2 2 = 𝜎𝑋1 𝑋1 2 + 𝜎𝑋2 𝑋2 2 ❑ A variância da divisão é obtida por: o 𝜎(𝑋1/ 𝑋2) 𝑋1/ 𝑋2 2 = 𝜎𝑋1 𝑋1 2 + 𝜎𝑋2 𝑋2 2 Capítulo 7 – Resultados de Medições Indiretas - 24/62 Multiplicação de duas medições não correlacionadas ❑ Sejam 𝑀1 e 𝑀2 medições independentes e não correlacionadas ❑ A incerteza padrão da multiplicação é: o 𝑢(𝑋1· 𝑋2) 𝑋1· 𝑋2 2 = 𝑢(𝑋1) 𝑋1 2 + 𝑢(𝑋2) 𝑋2 2 ❑ ou o 𝑢𝑅 2(𝑋1 · 𝑋2) = 𝑢𝑅 2(𝑋1) + 𝑢𝑅 2(𝑋2) ❑ Sendo 𝑢𝑅 a incerteza padrão relativa dada por: o 𝑢𝑅(𝑋𝑖) = 𝑢(𝑋𝑖) 𝑋𝑖 , para valores não nulos de Xi Capítulo 7 – Resultados de Medições Indiretas - 25/62 Multiplicação de medições não correlacionadas ❑ Generalizando: o O quadrado da incerteza padrão combinada relativa da multiplicação de qualquer número de medições não correlacionadas é calculado pela soma dos quadrados das incertezas padrão relativas de cada fator 𝑢𝑅 2 𝑋1 · 𝑋2 · ⋯ · 𝑋𝑛 = 𝑢𝑅 2 𝑋1 + 𝑢𝑅 2 𝑋2 + ⋯ + 𝑢𝑅 2 𝑋𝑛 Capítulo 7 – Resultados de Medições Indiretas - 26/62 Exemplo: multiplicação de MNC ❑ Determine o valor do torque aplicado no parafuso da figura e sua incerteza: F = (150,0 ± 2,4) N d = (125,0 ± 4,0) mm Capítulo 7 – Resultados de Medições Indiretas - 27/62 Exemplo: multiplicação de MNC ❑ O valor nominal do torque é calculado por: o T = F · d = 150,0 · 125,0 = 18750 N·mm = 18,750 N·m ❑ Estimativa da incerteza: o 𝑢𝑅 2 𝑇 = 𝑢𝑅 2(𝐹·𝑑) = 𝑢𝑅 2(𝐹) + 𝑢𝑅 2(𝑑) ❑ Incerteza da força: o u(F) = U(F)/2,0 = 2,4/2,0 = 1,2 N o uR(F) = u(F)/F = 1,2/150,0 = 0,00800 ❑ Incerteza da distância: o u(d) = U(d)/2,0 = 4,0/2,0 = 2,0 mm o uR(d) = u(d)/d = 2,0/125,0 = 0,01600 Capítulo 7 – Resultados de Medições Indiretas - 28/62 Exemplo: multiplicação de MNC ❑ A incerteza padrão do torque é calculada por: o 𝑢(𝑇) 18,750 2 = 𝑢𝑅 2(𝐹) + 𝑢𝑅 2(𝑑) = 0,00800² + 0,01600² o 𝑢(𝑇) 18,750 2 = 64 + 256 ·10−6 o u(T) = 0,3354 N.m o Incerteza expandida: U(T)=2.0,3354=0,6708 Nm ❑ E o valor do torque: o T = (18,75 ± 0,67) N.m Note que a contribuição da incerteza da distância d é 4 vezes maior que a da força F Capítulo 7 – Resultados de Medições Indiretas - 29/62 Divisão de duas medições não correlacionadas ❑ Sejam 𝑀1 e 𝑀2 medições independentes e não correlacionadas ❑ A incerteza padrão da divisão é: (X2 não nulo) o 𝑢(𝑋1/ 𝑋2) 𝑋1/ 𝑋2 2 = 𝑢(𝑋1) 𝑋1 2 + 𝑢(𝑋2) 𝑋2 2 ❑ Ou: o 𝑢𝑅 2(𝑋1/𝑋2) = 𝑢𝑅 2(𝑋1) + 𝑢𝑅 2(𝑋2) ❑ Sendo uR a incerteza padrão relativa dada por: o 𝑢𝑅(𝑋𝑖) = 𝑢(𝑋𝑖) 𝑋𝑖 , para valores não nulos de Xi Capítulo 7 – Resultados de Medições Indiretas - 30/62 Multiplicação e divisão de medições não correlacionadas ❑ Generalizando: o O quadrado da incerteza padrão combinada relativa da multiplicação e/ou divisão de qualquer número de medições não correlacionadas é calculado pela soma dos quadrados das incertezas padrão relativas de cada fator 𝑢𝑅 2 𝑋1 ±1·𝑋2 ±1· ⋯ ·𝑋𝑛 ±1 = 𝑢𝑅 2 𝑋1 + 𝑢𝑅 2 𝑋2 + ⋯ + 𝑢𝑅 2 𝑋𝑛 Capítulo 7 – Resultados de Medições Indiretas - 31/62 V R I Determine a corrente elétrica que passa por um resistor de (500,0 ± 1,0)  sobre o qual foi medida uma queda de tensão de (150,0 ± 3,0) V. 𝑢 𝑅 = 1,0 2,0 = 0,5 Ω 𝑢 𝑉 = 3,0 2,0 = 1,5 𝑉 Exemplo: divisão de MNC 𝐼 = 𝑉 𝑅 Capítulo 7 – Resultados de Medições Indiretas - 32/62 V R I V = (150,0 ± 2,0·1,5) V R = (500,0 ± 2,0·0,5)  u(I) = 0,0030 A I = (300 ± 3) mA Exemplo: divisão de MNC 𝐼 = 𝑉 𝑅 = 150 500 = 0,300 𝐴 𝑢(𝐼) 𝐼 2 = 𝑢(𝑉) 𝑉 2 + 𝑢(𝑅) 𝑅 2 𝑢(𝐼) 0,300 2 = 1,5 150,0 2 + 0,5 500,0 2 𝑢(𝐼) 0,300 2 = 100 + 1 . 10−6 Note que a contribuição da incerteza de V é 100 vezes maior que a de R Capítulo 7 – Resultados de Medições Indiretas - 33/62 Produtos e divisões com expoentes inteiros de medições não correlacionadas ❑ Seja G a grandeza indiretamente obtida pelo produto ou divisão de grandezas estatisticamente independentes elevadas a expoentes inteiros: o 𝐺 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛 = 𝑘·𝑋1 𝑎1·𝑋2 𝑎2· ... · 𝑋𝑛 𝑎𝑛 Sendo a1, a2, ..., an coeficientes numéricos inteiros e k uma constante multiplicativa não nula. ❑ Sua incerteza padrão relativa é estimada por: o 𝑢𝑅 2 𝐺 = 𝑎1 2𝑢𝑅 2 𝑋1 + 𝑎2 2𝑢𝑅 2 𝑋2 + ⋯ + 𝑎𝑛2𝑢𝑅 2 𝑋𝑛 Capítulo 7 – Resultados de Medições Indiretas - 34/62 Exemplo: Produtos e divisões com expoentes inteiros de MNC ❑ Determine o volume de um cone cuja base tem raio r e altura h dadas por: o r = (40,10 ± 0,12) mm o h = (55,20 ± 0,22) mm Capítulo 7 – Resultados de Medições Indiretas - 35/62 Exemplo: Produtos e divisões com expoentes inteiros de MNC ❑ O volume do cone é dado por: o V = 𝜋 3 ℎ𝑟2 ❑ Sua incerteza relativa é estimada por: o 𝑢𝑅 2 𝑉 = 𝑢𝑅 2 ℎ + 2²𝑢𝑅 2(𝑟) o 3𝑢(𝑉) 𝜋ℎ𝑟2 2 = 𝑢(ℎ) ℎ 2 +4 𝑢(𝑟) 𝑟 2 o 3𝑢(𝑉) 𝜋.55,20.(40,10)² 2 = 0,11 55,20 2 + 4 0,060 40,10 2 o V = (92,93 ± 0,67) 10³ mm³ = (92,93 ± 0,67) cm³ Capítulo 7 – Resultados de Medições Indiretas - 36/62 Caso Geral em MNC ❑ Seja G uma função contínua e diferenciável de grandezas estatisticamente independentes: o 𝐺 = 𝑓(𝑋1, 𝑋2, ..., 𝑋𝑛) ❑ Sua incerteza é estimada por: o 𝑢2 𝐺 = 𝜕𝑓 𝜕𝑋1 𝑢 𝑋1 2 + 𝜕𝑓 𝜕𝑋2 𝑢 𝑋2 2 + ⋯ + 𝜕𝑓 𝜕𝑋𝑛 𝑢 𝑋𝑛 2 ❑ Sendo: = coeficientes de sensibilidade Podem ser calculados analítica ou numericamente 𝜕𝑓 𝜕𝑋𝑖 Capítulo 7 – Resultados de Medições Indiretas - 37/62 ❑ Na determinação da massa específica (γ) de um material usou-se um processo indireto, medindo- se em um laboratório, com uma balança, a massa (m) de um cilindro cujo diâmetro (D) e altura (h) foram determinados por um micrômetro e um paquímetro respectivamente. Após a compensação dos erros sistemáticos, foram encontrados os seguintes resultados sendo as incertezas estimadas com 95,45% de nível de confiança: Exemplo: Caso Geral de MNC Capítulo 7 – Resultados de Medições Indiretas - 38/62 Medições Realizadas D h Para a massa: m = (1580 ± 22) g νm = 14 Para o diâmetro: D = (25,423 ± 0,006) mm νD = ∞ Para a altura: h = (77,35 ± 0,11) mm νh = 14 Capítulo 7 – Resultados de Medições Indiretas - 39/62 Massa Específica D h γ = 𝑓(𝑚, 𝐷, h) γ = 𝑚 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 γ = 4𝑚 𝜋𝐷2ℎ Capítulo 7 – Resultados de Medições Indiretas - 40/62 Capítulo 7 – Resultados de Medições Indiretas - 41/62 Considerações ❑ Foi aqui assumido que as três medições não são correlacionadas, pois foram efetuadas em condições de laboratório e as componentes sistemáticas foram compensadas. ❑ As incertezas padrão são calculadas dividindo-se a incerteza expandida pelo coeficiente t de Student para 95,45% de nível de confiança: o u(m) = U(m)/t14 = 22/2,20 = 10 g o u(D) = U(D)/t = 0,006/2,00 = 0,0030 mm o u(h) = U(h)/t14 = 0,11/2,20 = 0,050 mm o 𝑢 𝛾 = 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑔 𝑚𝑚3 ? Capítulo 7 – Resultados de Medições Indiretas - 42/62 Cálculo da incerteza combinada ❑ 𝑢2 γ = 𝜕γ 𝜕𝑚 𝑢 𝑚 2 + 𝜕γ 𝜕𝐷 𝑢 𝐷 2 + 𝜕γ 𝜕ℎ 𝑢 ℎ 2 ❑ 𝑢2 𝑔 𝑚𝑚3 = 𝑔/𝑚𝑚3 𝑔 × 𝑔 2 + 𝑔/𝑚𝑚3 𝑚𝑚 × 𝑚𝑚 2 + 𝑔/𝑚𝑚3 𝑚𝑚 × 𝑚𝑚 2 ❑ 𝑢2 γ = 4 𝜋𝐷²ℎ 𝑢 𝑚 2 + −8𝑚 𝜋𝐷³ℎ 𝑢 𝐷 2 + −4𝑚 𝜋𝐷²ℎ² 𝑢 ℎ 2 ❑ 𝑢(γ) γ 2 = 𝑢(𝑚) 𝑚 2 + 2 𝑢(𝐷) 𝐷 2 + 𝑢(ℎ) ℎ 2 Note que este mesmo resultado é obtido quando é usada a equação (7.5) Capítulo 7 – Resultados de Medições Indiretas - 43/62 Cálculo da incerteza combinada ❑ 𝑢(𝛾) 𝛾 2 = 𝑢(𝑚) 𝑚 2 + 2 𝑢(𝐷) 𝐷 2 + 𝑢(ℎ) ℎ 2 ❑ 𝑢(𝛾) 𝛾 2 = 10 1580 2 + 2 0,0030 25,423 2 + 0,050 77,35 2 ❑ 𝑢𝑅 2(𝛾) = 𝑢(𝛾) 𝛾 2 = 4005,8 + 5,57 + 41,8 . 10−8 Note que a contribuição da incerteza da massa é dominante Capítulo 7 – Resultados de Medições Indiretas - 44/62 Cálculo da incerteza combinada ❑ 𝛾 = 4𝑚 𝜋𝐷²ℎ = 4 . 1580 𝜋 . 25,423²77,35 = 0,040239 𝑔/𝑚𝑚³ ❑ 𝑢 𝛾 = 𝛾. 𝑢𝑅 𝛾 = 0,040239 . 4053,2 . 10−8 ❑ 𝑢 𝛾 = 0,0002562 𝑔/𝑚𝑚³ Capítulo 7 – Resultados de Medições Indiretas - 45/62 Cálculo do número de graus de liberdade efetivos ❑ 𝑢𝑅 4(𝛾) 𝜈𝑒𝑓 = 𝑢𝑅 4(𝑚) 𝜈𝑚 + 𝑢𝑅 4(𝐷) 𝜈𝐷 + 𝑢𝑅 4(ℎ) 𝜈ℎ ❑ 0,0002562 0,040239 4 𝜈𝑒𝑓 = 10 1580 4 14 + 0,0030 25,423 4 ∞ + 0,050 77,35 4 14 ❑ 𝜈𝑒𝑓 = 14,3 𝑢𝑠𝑎𝑟 14 ❑ t = 2,20 Capítulo 7 – Resultados de Medições Indiretas - 46/62 Valor da massa específica: U(𝛾) = 2,20 . u(𝛾) U(𝛾) = 2,20 . 0,0002562 = 0,000564 g/mm3 𝛾 = (0,04024  0,00056) g/mm3 Fundamentos de METROLOGIA científica e industrial www.labmetro.ufsc.br/livroFMCI 7.3 Estimativa da Incerteza Combinada de Medições Correlacionadas (MC) Capítulo 7 – Resultados de Medições Indiretas - 48/62 Adição de MC ❑ Com correlação direta perfeita (ρ = 1) o 𝑢(𝑋1 + 𝑋2) = 𝑢(𝑋1) + u(𝑋2) ❑ Com correlação inversa perfeita (ρ = -1) o 𝑢(𝑋1 + 𝑋2) = 𝑢(𝑋1) − u(𝑋2) 1 2 1 2 Capítulo 7 – Resultados de Medições Indiretas - 49/62 Adição de MC ❑ Soma de múltiplos termos: A C B D Z = A + B + C + D E = A + C F = B + D Z = E + F u(E) = u(A) + u(C) u(F) = u(B) + u(D) u(Z) = |u(E) – u(F)| u(Z) = |u(A) – u(B) + u(C) – u(D)| E F Capítulo 7 – Resultados de Medições Indiretas - 50/62 Subtração de MC ❑ Com correlação direta perfeita (ρ = 1) o 𝑢(𝑋1 − 𝑋2) = 𝑢(𝑋1) − u(𝑋2) ❑ Com correlação inversa perfeita (ρ = -1) o 𝑢(𝑋1 − 𝑋2) = 𝑢(𝑋1) + u(𝑋2) 1 2 1 2 Capítulo 7 – Resultados de Medições Indiretas - 51/62 Subtração de MC ❑ Para múltiplos termos: A C B D Z = A - B - C – D = (A - C) – (B + D) G = A - C H = B + D Z = G - H u(G) = |u(A) - u(C)| u(H) = u(B) + u(D) u(Z) = u(G) + u(H) u(Z) = |u(A) – u(C)| + u(B) + u(D) G H Capítulo 7 – Resultados de Medições Indiretas - 52/62 Multiplicação de MC ❑ Com correlação direta perfeita (ρ = 1) o 𝑢𝑅(𝑋1. 𝑋2) = 𝑢𝑅(𝑋1) + 𝑢𝑅(𝑋2) ❑ Com correlação inversa perfeita (ρ = -1) o 𝑢𝑅(𝑋1. 𝑋2) = 𝑢𝑅(𝑋1) − 𝑢𝑅(𝑋2) 1 2 1 2 Capítulo 7 – Resultados de Medições Indiretas - 53/62 Multiplicação de MC ❑ Para múltiplos termos: A C B D Z = A . B . C . D K = A . C L = B . D Z = K . L uR(K) = uR(A) + uR(C) uR(L) = uR(B) + uR(D) uR(Z) = |uR(K) – uR(L)| uR(Z) = |uR(A) – uR(B) + uR(C) – uR(D)| K L Capítulo 7 – Resultados de Medições Indiretas - 54/62 Divisão de MC ❑ Com correlação direta perfeita (ρ = 1) o 𝑢𝑅(𝑋1/𝑋2) = 𝑢𝑅(𝑋1) − 𝑢𝑅(𝑋2) ❑ Com correlação inversa perfeita (ρ = -1) o 𝑢𝑅(𝑋1/𝑋2) = 𝑢𝑅(𝑋1) + 𝑢𝑅(𝑋2) 1 2 1 2 Capítulo 7 – Resultados de Medições Indiretas - 55/62 Divisão de MC ❑ Para múltiplos termos: A C B D Z = A . B / (C . D) = (A/C) . (B/D) M = A/C N = B/D Z = M . N uR(M) = |uR(A) - uR(C)| uR(N) = |uR(B) - uR(D)| uR(Z) = |uR(M) – uR(N)| uR(Z) = ||uR(A) – uR(C)| - |uR(B) - uR(D)|| M N Capítulo 7 – Resultados de Medições Indiretas - 56/62 Caso Geral de MC Incerteza máxima possível ❑ Seja o 𝐺 = 𝑓(𝑋1, 𝑋2, ... , 𝑋𝑛) ❑ A incerteza máxima será calculada por: o 𝑢 𝐺 = 𝜕𝑓 𝜕𝑋1 𝑢 𝑋1 + 𝜕𝑓 𝜕𝑋2 𝑢(𝑋2)+...+ 𝜕𝑓 𝜕𝑋𝑛 𝑢 𝑋𝑛 o Sendo o 𝜕𝑓 𝜕𝑋1 o coeficiente de sensibilidade. Capítulo 7 – Resultados de Medições Indiretas - 57/62 Caso Geral de MC Incerteza máxima possível o 𝐺 = 𝑓 𝐴, 𝐵 = 𝐴 + 𝐵 com u(A) = 3, u(B) = 4 ❑ Não correlacionadas: o 𝑢 𝐺 = 𝑢2 𝐴 + 𝑢2 𝐵 = 32 + 42 = 5 ❑ Correlação direta perfeita o 𝑢 𝐺 = 𝑢 𝐴 + 𝑢 𝐵 = 3 + 4 = 7 ❑ Correlação indireta perfeita o 𝑢 𝐺 = 𝑢 𝐴 − 𝑢(𝐵) = 3 − 4 = 1 ❑ Incerteza máxima possível o 𝑢 𝐺 = 𝜕𝑓 𝜕𝐴 𝑢 𝐴 + 𝜕𝑓 𝜕𝐵 𝑢 𝐵 = 1. 𝑢 𝐴 + 1. 𝑢 𝐵 = 3 + 4 = 7 Fundamentos de METROLOGIA científica e industrial www.labmetro.ufsc.br/livroFMCI 7.4 Estimativa da Incerteza Combinada Quando o Coeficiente de Correlação é Conhecido Capítulo 7 – Resultados de Medições Indiretas - 59/62 Caso Geral ❑ Seja o 𝐺 = 𝑓(𝑋1, 𝑋2, ... , 𝑋𝑛) ❑ A incerteza será calculada por: o 𝑢2 𝐺 = σ𝑖=1 𝑛 𝜕𝑓 𝜕𝑋𝑖 2 𝑢2 𝑋𝑖 + 2 σ𝑖=1 𝑛 σ𝑗=𝑖+1 𝑛 𝜕𝑓 𝜕𝑋𝑖 𝜕𝑓 𝜕𝑋𝑗 𝑢 𝑋𝑖 𝑢 𝑋𝑗 𝑟 𝑋𝑖, 𝑋𝑗 ❑ Sendo o 𝑟 𝑋𝑖, 𝑋𝑗 o coeficiente de correlação entre 𝑋𝑖 𝑒 𝑋𝑗. Medições correlacionadas e não correlacionadas ❑ Para múltiplos termos: A B C D G = A + B + C + D r A B C D A +1 -1 0 B +1 -1 0 C -1 -1 0 D 0 0 0 Capítulo 7 – Resultados de Medições Indiretas - 61/62 Medições correlacionadas e não correlacionadas 𝑢2 𝐺 = 𝜕𝑓 𝜕𝐴 2 𝑢2 𝐴 + 𝜕𝑓 𝜕𝐵 2 𝑢2 𝐵 + 𝜕𝑓 𝜕𝐶 2 𝑢2 𝐶 + 𝜕𝑓 𝜕𝐷 2 𝑢2 𝐷 + 2 𝜕𝑓 𝜕𝐴 𝜕𝑓 𝜕𝐵 𝑢 𝐴 𝑢 𝐵 𝑟 𝐴, 𝐵 + 2 𝜕𝑓 𝜕𝐴 𝜕𝑓 𝜕𝐶 𝑢 𝐴 𝑢 𝐶 𝑟 𝐴, 𝐶 + 2 𝜕𝑓 𝜕𝐴 𝜕𝑓 𝜕𝐷 𝑢 𝐴 𝑢 𝐷 𝑟 𝐴, 𝐷 + 2 𝜕𝑓 𝜕𝐵 𝜕𝑓 𝜕𝐶 𝑢 𝐵 𝑢 𝐶 𝑟 𝐵, 𝐶 + 2 𝜕𝑓 𝜕𝐵 𝜕𝑓 𝜕𝐷 𝑢 𝐵 𝑢 𝐷 𝑟 𝐵, 𝐷 + 2 𝜕𝑓 𝜕𝐶 𝜕𝑓 𝜕𝐷 𝑢 𝐶 𝑢 𝐷 𝑟 𝐶, 𝐷 𝐺 = 𝑓 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 = 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 + 𝐷 Capítulo 7 – Resultados de Medições Indiretas - 62/62 Medições correlacionadas e não correlacionadas 𝑢2 𝐺 = 𝑢2 𝐴 + 𝑢2 𝐵 + 𝑢2 𝐶 + 𝑢2 𝐷 + 2 𝑢 𝐴 𝑢 𝐵 1 + 2 𝑢 𝐴 𝑢 𝐶 −1 + 2 𝑢 𝐴 𝑢 𝐷 . 0 + 2𝑢 𝐵 𝑢 𝐶 −1 + 2 𝑢 𝐵 𝑢 𝐷 . 0 + 2 𝑢 𝐶 𝑢 𝐷 . 0 𝑢2 𝐺 = 𝑢2 𝐴 + 𝑢2 𝐵 + 𝑢2 𝐶 + 𝑢2 𝐷 + 2 𝑢 𝐴 𝑢 𝐵 − 2 𝑢 𝐴 𝑢 𝐶 − 2𝑢 𝐵 𝑢 𝐶 𝑢2 𝐺 = 𝑢 𝐴 + 𝑢 𝐵 − 𝑢(𝐶) 2 + 𝑢2 𝐷 Capítulo 7 – Resultados de Medições Indiretas - 63/62 Correlação parcial com r(h, α) = -0,5 𝐺 = 𝑓 ℎ, 𝛼 = 2ℎ 𝑠𝑒𝑛(𝛼) 𝑢2 𝐺 = 𝜕𝑓 𝜕ℎ 2 𝑢2 ℎ + 𝜕𝑓 𝜕𝛼 2 𝑢2 𝛼 + 2 𝜕𝑓 𝜕ℎ 𝜕𝑓 𝜕𝛼 𝑢 ℎ 𝑢 𝛼 𝑟(ℎ, 𝛼) 𝑢2 𝐺 = 2𝑠𝑒𝑛(𝛼) 2𝑢2 ℎ + −2ℎ 𝑐𝑜𝑠(𝛼) 2𝑢2 𝛼 + 2(2𝑠𝑒𝑛(𝛼))(−2ℎ 𝑐𝑜𝑠(𝛼))𝑢 ℎ 𝑢 𝛼 (−0,5) 𝑢2 𝐺 = 4 𝑠𝑒𝑛2 𝛼 𝑢2 ℎ + ℎ2𝑐𝑜𝑠2 𝛼 𝑢2 𝛼 + ℎ. 𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝑐𝑜𝑠(𝛼)𝑢 ℎ 𝑢 𝛼