Slide - Cap 7 - Resultados de Medições Indiretas - 2024-1

Resultados de Medições Indiretas 7 7 - AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO PELA ABORDAGEM ANALÍTICA Aprender as noções básicas sobre a modelagem de um sistema de medição, segundo a abordagem analítica (bottom-up). Identificar as grandezas de entrada, definir suas incertezas-padrão e propagá-las para uma incerteza-padrão associada ao mensurando. Métodos alternativos de propagação serão apresentados e discutidos. Aprender também como realizar a expansão da incerteza para representar um intervalo com uma probabilidade de abrangência escolhida e, finalmente, como apresentar o resultado de uma medição. 7.1 - Definição do mensurando e das grandezas de entrada • 7.2 - Modelagem do procedimento de medição • A etapa de modelagem é crítica para o processo de avaliação da incerteza, pois define como as grandezas de entrada afetam o mensurando. Quanto melhor for a definição do modelo, melhor será sua representação da realidade, incluindo todas as fontes que impactam o mensurando na avaliação da incerteza. O processo de modelagem pode ser facilmente visualizado usando um diagrama de causa-efeito (Figura 1). Figura 1 – Diagrama causa-efeito representando o modelo da Equação 2. Fonte: Inmetro/Dimci EXEMPLO Para ilustrar essas etapas, considere um modelo de medição para um ensaio de torque. O torque é uma grandeza que representa a tendência de uma força para girar um objeto em torno de um eixo. Ele pode ser matematicamente expresso como o produto de uma força e a distância do braço da alavanca de giro. Na metrologia, uma maneira prática de mensurá-la é colocando uma carga com massa conhecida no final de um braço horizontal, mantendo a outra extremidade fixa (Figura 2). Figura 2 – Ilustração conceitual da configuração experimental para uma medição do torque (T), onde 𝐹 é a força aplicada, 𝑚 é a massa da carga, g é a aceleração da gravidade local e 𝐿 é o comprimento do braço. Fonte: Inmetro/Dimci Um modelo simples que descreve esse experimento pode ser expresso da seguinte forma: \( \tau = FL = mgL \quad (3) \) Onde: \( \tau \) é o torque [Nm]; \( m \) é a massa da carga aplicada [kg]; \( g \) é a aceleração da gravidade local [m/s²]; e \( L \) é o comprimento total do braço [m]. Assim, \( m, g \) e \( L \) são as grandezas de entrada para este modelo. Este exemplo será discutido posteriormente com mais detalhes. 7.3 - Avaliação das incertezas das grandezas de entrada Esta etapa também é de grande importância. Aqui, as incertezas para todas as grandezas de entrada são avaliadas individualmente de acordo com as informações que se possui a respeito de cada uma delas. Nesta etapa, elas também são chamadas de incertezas- padrão. O Guia para a Expressão da Incerteza de Medição (GUM) classifica as fontes de incerteza como sendo de dois tipos principais: • incertezas do tipo A, que geralmente se originam de análises estatísticas, como o desvio-padrão obtido em um estudo de repetibilidade; e • incertezas do tipo B, que são determinadas a partir de qualquer outra fonte de informação, como um certificado de calibração ou deduzidas da experiência pessoal do analista. 7.3.1 - Incertezas do tipo A As incertezas do tipo A dos estudos de repetibilidade são avaliadas pelo GUM como o desvio-padrão da média a partir das medições repetidas. Por exemplo, quando há registros de um conjunto de n indicações \( \overline{x_i} \) de um instrumento de medição para uma grandeza \( X \), obtidas sob condições de repetibilidade, a incerteza-padrão \( u(x) \) devida à repetibilidade das medições pode ser expressa pelo cálculo de conforme a equação 4: \( u(x) = s_{\overline{x}} = \frac{s_x}{\sqrt{n}} \quad (4) \) Onde: \( \overline{x} \) é o valor médio das medições repetidas; \( s_x \) é o desvio-padrão correspondente; e \( s_{\overline{x}} \) é o desvio-padrão da média. Desta forma, a distribuição estatística associada a esta fonte de entrada é considerada normal ou gaussiana. NOTA O tratamento dado no GUM para a avaliação tipo A, obtida pela Equação 4, não é consistente com a abordagem do suplemento 1 do GUM para tratar do mesmo problema. No suplemento, as indicações repetidas são tratadas como sendo distribuições \( t \) de Student, no lugar de distribuições normais. Isso é justificado principalmente quando há um número relativamente reduzido de indicações \( n < 20 \). O uso da distribuição \( t \) permite compensar a “falta” de indicações, ou seja, um reduzido número de graus de liberdade (\( \nu = n - 1 \)), considerando uma incerteza um pouco maior (ver Equação 5). Assim, a proposta trazida pelo último rascunho do futuro novo GUM, ainda em revisão, é considerar as indicações repetidas como distribuições \( t \), assim como no Suplemento 1. Portanto, sua incerteza-padrão (\( u_x \)) seria avaliada como na Equação 5. Essa equação leva em consideração os graus de liberdade \( \nu = n - 1 \) para as \( n \) indicações, aumentando a incerteza quando há um número reduzido de indicações. Essa correção está também de acordo com a abordagem sugerida pelos outros suplementos do GUM para esse tipo de incerteza. \[ u_x = \left(\frac{n - 1}{n - 3}\right)^{\frac{1}{2}} \frac{s(x)}{\sqrt{n}} \quad (5) \] 7.3.1 - Incertezas do tipo B As incertezas do tipo B, por definição, são aquelas avaliadas por qualquer outra forma que não possua natureza estatística. Nesse caso, é importante ressaltar que toda avaliação de incertezas do tipo B deve ser baseada em uma análise cuidadosa das informações pré-existentes a respeito de uma determinada grandeza de entrada ou por um julgamento científico apurado. Esse processo idealmente deve envolver o uso de todas as informações disponíveis sobre o procedimento de medição. A avaliação de incertezas do tipo B pode ser usada quando experimentos repetidos não são possíveis, não estão disponíveis ou no caso de serem muito caros ou demorados. Nesse caso, o GUM sugere basicamente o uso de dois tipos de distribuição estatística: a distribuição uniforme e a triangular. A distribuição uniforme deve ser usada quando apenas um intervalo de valores estiver disponível para a grandeza de entrada em avaliação, ou seja, um intervalo definido entre um valor mínimo e um valor máximo, e nenhuma informação detalhada sobre a probabilidade de valores dentro desse intervalo estiver disponível. A incerteza-padrão ux associada a esse intervalo é obtida pela Equação 6: ux = \frac{x_{max} - x_{min}}{\sqrt{12}} \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad (6) Onde: x_{max} é o valor máximo; e x_{min} é o valor mínimo para a grandeza. Por exemplo, se a única informação sobre a temperatura ambiente de um laboratório (\theta) for que \theta = (20 \pm 2)^\circ C, então x_{max} - x_{min} = 22 - 18 = 4^\circ C , e a incerteza-padrão associada à temperatura ambiente será avaliada como u(\theta) = \frac{4}{\sqrt{12}} ^\circ C = 1,15^\circ C. Quando o intervalo da distribuição uniforme é simétrico em relação ao valor mais provável (\mu), ou seja, os semi-intervalos para mais ou para menos além do valor mais provável são iguais, sendo então o intervalo expresso por \mu \pm a, a Equação 6 reduz-se à Equação 7: ux = \frac{a}{\sqrt{3}} \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad (7) A distribuição triangular pode ser usada quando há uma forte evidência de que o valor mais provável está no ponto central de um determinado intervalo, mas ainda sem saber exatamente como se comporta a distribuição de probabilidade dentro do intervalo. Em química, por exemplo, a incerteza associada ao volume de um balão de medição pode ser avaliada por uma distribuição triangular. A incerteza-padrão ux para uma distribuição triangular simétrica é obtida pela Equação 8, onde a é o semi-intervalo dessa distribuição. ux = \frac{a}{\sqrt{6}} \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad (8) Figura 3 – Ilustrações representativas de distribuições (a) uniforme e (b) triangular, simétricas em ambos os casos. (b) (a) A Figura 3 ilustra as distribuições uniforme e triangular, ambas simétricas em relação ao valor mais provável μ. Outra fonte comum de incertezas do tipo B é a advinda de certificados de calibração, provenientes de um padrão ou de um instrumento calibrado. Nesse caso, a incerteza-padrão ux a ser usada é normalmente obtida dividindo-se a incerteza expandida U pelo fator de abrangência k, ambos fornecidos pelo certificado de calibração (Equação 9). ux = \frac{U}{k} \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad (9) Diversos exemplos de como tratar algumas das fontes de incerteza mais comuns podem ser encontrados no GUM, no guia EURACHEM/CITAC e em outros lugares. Na avaliação de incertezas do tipo B é sempre recomendável observar o Princípio da Máxima Entropia, conceito empregado na estatística bayesiana. Por este princípio, deve-se sempre considerar o nível de informações que se tem a respeito de uma determinada grandeza, antes de se atribuir uma distribuição de probabilidade a ela. Desta forma, considera-se sempre a distribuição mais abrangente para o nível de informação que se tem a respeito da grandeza, ou seja, deve-se atribuir uma distribuição que não transmita mais informação do que aquela que é conhecida. Por exemplo, se a única informação conhecida for sobre os limites máximo e mínimo de uma variável, deve-se atribuir uma distribuição uniforme. Caso haja um valor mais provável com um desvio-padrão, pode-se atribuir uma distribuição normal. Mais detalhes sobre este tema podem ser encontrados no suplemento 1 do GUM. EXEMPLO Voltando ao exemplo de medição de torque e usando o modelo definidona Equação 3, as seguintes fontes de incerteza podem ser consideradas para cada grandeza de entrada: Massa (m). A massa m foi medida repetidamente por dez vezes em uma balançacalibrada. A média dos valores de massa foi de 35,7653 \, kg, com desvio-padrãode 0,3 \, g. Esta fonte de incerteza é puramente estatística e é classificada como sendo do tipo A, de acordo com o GUM. A incerteza-padrão u_{mR} que se aplica neste caso é obtida pela Equação 4, ouseja: u_{mR} = 0,3 \, \frac{g}{\sqrt{10}} = 9,49 \times 10^{-5}kg. Além disso, a balança utilizada para a medição possui um certificado informando uma incerteza expandida para essa faixa de massa de U_{mc} = 0,1 \, g, com um fator de abrangência k = 2 e uma probabilidade de abrangência de 95%. A incerteza da massa devido à calibração da balança constitui outra fonte de incerteza envolvendo a mesma grandeza de entrada (massa). Nesse caso, a incerteza-padrão (U_{mc}) é calculada usando a Equação 9, isto é: u_{mc} = \frac{U_{mc}}{k} = \frac{0,1g}{2} = 0,05g = 0,00005g. Aceleração da gravidade local (g). O valor da aceleração da gravidade local é declarado em um certificado de medição como 9,80665 m/s^{2}, bem como sua incerteza expandida de U_{g} = 0,00002 \, m/s^{2}, para k = 2 e p = 95\%. Mais uma vez, a Equação 9 é usada para calcular a incerteza-padrão(u_{g}),isto é: u_{g} = \frac{U_{g}}{k} = \frac{0,00002 \, m/s^{2}}{2} = 0,00001 \, \frac{m}{s^{2}} Comprimento do braço (L). Neste caso hipotético, o braço usado no experimento não possui certificado de calibração, que indicaria seu valor de comprimento e incerteza. Assim, o único método de medição disponível para o comprimento do braço seria pelo uso de uma régua com uma divisão mínima de 1 \, mm. O uso da régua leva, então, a um valor de medição de 2000,0 \, mm para o comprimento do braço. No entanto, nessa situação, informações muito precárias sobre a incerteza de medição do comprimento do braço estão disponíveis. Como a divisão mínima da régua é de 1 \,mm, pode-se supor que a leitura possa ser feita com uma exatidão máxima de até 0,5 \, mm, o que pode ser pensado como um intervalo de \pm 0,5 \, mm como limites para a medição. Como nenhuma informação de probabilidades dentro desse intervalo está disponível, a suposição de uma distribuição uniforme é a melhor opção, em que existe uma probabilidade igual para os valores dentro de todo o intervalo. Assim, a Equação 6 é usada para determinar a incerteza-padrão , isto é: u_{L} = \frac{(2000,5 - 1999,5) \, mm}{\sqrt{12}} = 0,000289 \, m. Na prática, você pode imaginar várias outras fontes de incerteza para esse experimento, como por exemplo a dilatação térmica do braço à medida que a temperatura ambiente muda. No entanto, o objetivo aqui não é esgotar todas as possibilidades com relação à modelagem, mas fornecer noções básicas de como implementar a metodologia do GUM em um modelo simples. 7.4 - Propagação das incertezas das grandezas de entrada para uma incerteza-padrão combinada Até este momento fomos capazes de estabelecer um modelo de medição, com a definição de um mensurando e de suas grandezas de entrada. Além disso, também avaliamos as incertezas-padrão dessas grandezas. Agora, o objetivo é propagar essas incertezas de entrada para uma incerteza-padrão de saída, ou incerteza-padrão combinada. 7.4.1 - A Lei de Propagação de Incertezas O segundo termo da Equação 11 corresponde à correlação entre as grandezas de entrada. Se não houver uma suposta correlação entre elas, a Equação 11 pode ser ainda simplificada como: y^2 = \sum_{i} \left(\frac{\partial y}{\partial x_i}\right)^2 u_{x_i}^2 (12) Podemos imaginar a Lei de Propagação de Incertezas como uma soma quadrática das incertezas-padrão das grandezas de entrada (ou uma combinação linear das variâncias das grandezas de entrada). Essa soma é ponderada pelas derivadas parciais da equação do modelo do mensurando em relação a cada uma das grandezas de entrada correspondentes. Essas derivadas são conhecidas como coeficientes de sensibilidade, conforme veremos logo a seguir. As derivadas parciais da Equação 12 são conhecidas como coeficientes de sensibilidade e descrevem como a estimativa da grandeza de saída y (o mensurando) varia com os valores das grandezas de entrada x_1, x_2, ..., x_n. Ela também converte as unidades das grandezas de entrada na unidade do mensurando. Outra observação importante sobre o coeficiente de sensibilidade ocorre quando o modelo matemático que define o mensurando não contemple uma dada grandeza, coincidindo como grandeza de influência. Nesse caso, o determinante do coeficiente de sensibilidade do mensurando em relação à grandeza de entrada deve ser feita experimentalmente. Por exemplo: o dióxido é suscetível à oxidação quando exposto ao ar e gases combustíveis. Neste estágio o determinando a qualidade do combustível. O tempo de oxidação é determinado pelo medição de condutividade de uma amostra de óleo, quando instalado com a respectiva vazão. Existem várias grandezas de influência que afetam o tempo de oxidação do biodiesel. Tais como: temperatura, fluxo de ar, condutividade, massas da mostra, entre outros. Nesse caso, os coeficientes de sensibilidade do tempo de oxidação em relação a cada uma dessas grandezas são determinados a partir de uma interpolação do função com seus dados experimentais. Figura 4 – Tabela e gráfico representando a variação do tempo de oxidação de uma amostra de biocombustível em função da temperatura. Fonte: Inmetro/Dimci De volta ao exemplo de medição de torque, assumindo que todas as grandezas de entrada são independentes (sem correlação entre si), a incerteza-padrão combinada para o torque é calculada usando a LPU (Equação 12). A expressão final é então: u_T = \sqrt{\left(\frac{\partial T}{\partial m_R}\right)^2 u_{m_R}^2 + \left(\frac{\partial T}{\partial m_C}\right)^2 u_{m_C}^2 + \left(\frac{\partial T}{\partial g}\right)^2 u_g^2 + \left(\frac{\partial T}{\partial L}\right)^2 u_L^2}. Calculando cada termo (antes do cálculo dos quadrados), isto é, cada coeficiente desensibilidade multiplicado por sua incerteza-padrão correspondente: u_T(m_R) = \left(\frac{\partial T}{\partial m} \right) U_{m_R} = gLu_{m_R} = 9,80665 m/s^2 . 2 m . 9,49 x 10^{-5} kg = 0,00186 Nm; u_T(m_c) = \left(\frac{\partial T}{\partial m}\right) u_{m_c} = gLUmC = 9,80665m/s^2 2 m . 0,00005 kg = 0,00098 Nm; u_T(g) = \left(\frac{\partial T}{\partial g}\right) u_g = mLug = 35,7653 kg . 2 m . 0,00001m/s^2 = 0,00072 Nm; u_T(L) = \left(\frac{\partial T}{\partial L} \right) u_L = mguL= 35,7653 kg. 9,80665m/s^2 0,000289 m = 0,101254 Nm; O resultado da aplicação da LPU fica então: u_T=\sqrt{u_T^2(m_R)+ u_T^2(m_c)+ u_T^2(g)+ u_T^2(L) }=\sqrt{0,001862+0,000982+0,00072 2+0,101252}= 0,10127 Nm. Os termos compostos pela multiplicação de cada coeficiente de sensibilidade por sua respectiva incerteza-padrão são conhecidos como componentes de incerteza. Essas componentes podem ser comparadas entre si, pois estão nas mesmas unidades do mensurando. A Figura 5 mostra a comparação entre as componentes de incerteza para o modelo de medição de torque. Figura 5 – Gráfico do balanço de incertezas para as grandezas de entrada do modelo de medição de torque. Fonte: Inmetro/Dimci Como pode ser observado, a componente de incerteza dominante é aquela associada à medição do comprimento do braço, que foi tomada como a resolução da régua não calibrada usada na medição. Essa análise mostra ao analista que, para reduzir a incerteza final e melhorar o sistema de medição, uma régua calibrada, com uma melhor incerteza, deve ser usada. Isso representa a importância do GUM como ferramenta de gerenciamento para o processo de medição. 7.5 - Avaliação da Incerteza Expandida • • Figura 6 – Gráfico representativo do perfil da distribuição 𝑡 de acordo com o número de graus de liberdade. Neste ponto, faz-se necessária uma forma de se obter um número de graus de liberdade para a distribuição t que represente adequadamente o comportamento do mensurando Y. Segundo o GUM, esse número efetivo de graus de liberdade é calculado usando a fórmula de Welch-Satterthwaite (Equação 25), que leva em consideração os graus de liberdade das grandezas de entrada. ν_eff = \frac{u_Y^4}{\sum_{i=1}^{N} \left(\frac{\partial y}{\partial x_i}\right)^4 \frac{u_{x_i}^4}{ν_{x_i}}} \quad (14) Onde ν_{x_i} é o número de graus de liberdade da i-ésima grandeza de entrada (X_i); e N, o número de grandezas de entrada. A Equação 14 é válida apenas quando não há correlações entre as componentes de entrada com números de graus de liberdade finitos, ou seja, quando a modelagem pode fazer uso da LPU simplificada (Equação 12). Quando duas ou mais componentes são dependentes entre si e possuírem números de graus de liberdade finitos, recomenda-se o uso da metodologia descrita no suplemento 1 do GUM, como será discutido posteriormente. O número de graus de liberdade das incertezas das grandezas de entrada do tipo A pode ser calculado usando-se a Equação 13 para uma variável. Quando se trata de incertezas do tipo A envolvendo mais variáveis (numa curva de calibração, por exemplo), usa-se a expressão geral da Equação 15, em que m representa o número de parâmetros estimados numa regressão. No caso de uma regressão linear simples, ν = n - 2, pois estima-se dois parâmetros da reta. ν = n - m \quad (15) Segundo o GUM, as incertezas do tipo B, por definição, possuem um número infinito de graus de liberdade. Na prática, você pode contabilizar somente as incertezas do tipo A na fórmula de Welch-Satterthwaite, uma vez que as incertezas do tipo B possuem um número infinito de graus de liberdade. Assim, os termos correspondentes a essas incertezas na soma presente no denominador são todos iguais a zero. Caso não haja incertezas do tipo A em sua modelagem, o número efetivo de graus de liberdade é infinito por definição. Teoricamente, um número de graus de liberdade é um número inteiro e, portanto, pratica-se o arredondamento do resultado da equação de Welch-Satterthwaite sempre para o número inteiro inferior. O arredondamento é feito para o inteiro inferior por conservadorismo, uma vez que menores valores de graus de liberdade levam a incertezas maiores. O número efetivo de graus de liberdade é então usado para se obter um fator de abrangência k, que também depende da probabilidade de abrangência escolhida p, essa usualmente de 95%. Esse fator de abrangência pode ser obtido pela consulta de uma tabela estatística da distribuição t, ou usando a função \textit{INV. T. BC(1 - p; ν_eff)} do Excel. O fator de abrangência representa por quantas vezes a incerteza-padrão combinada precisa ser multiplicada para que o intervalo representado pela incerteza expandida tenha a probabilidade de abrangência de 95%. A incerteza expandida é então calculada pela simples multiplicação da incerteza-padrão combinada, pelo fator de abrangência k (Equação 16). U_y = ku_y \quad (16) O GUM recomenda que a incerteza expandida final seja expressa com um ou no máximo dois algarismos significativos. O arredondamento do resultado do mensurando deve acompanhar o número de casas decimais da sua incerteza expandida. O resultado da medição pode então ser expresso como: \bar{Y} = y \text{ unidade} \pm U_y \text{ unidade}, ou \bar{Y} = (y \pm U_y) \text{ unidade}. NOTA. O rascunho da nova proposta do GUM sugere que o intervalo de abrangência final não pode ser determinado com segurança se apenas um valor esperado y e um desvio-padrão u_y for conhecido, principalmente se a distribuição final se desviar significativamente de uma distribuição normal ou t. Assim, o documento propõe o uso de intervalos de abrangência sem distribuição na forma y \pm U_p, com U_p = k_p u_y: (a) Se nenhuma informação é conhecida sobre a distribuição final, um intervalo de abrangência para o mensurando y para probabilidade de abrangência de pelo menos p é determinado usando k_p = \frac{1}{1 - p}. Se p = 0,95, usa-se um intervalo de abrangência de y \pm 4,47u_y; (b) Caso se saiba que a distribuição é unimodal (apenas um valor de moda) e simétrica em torno de y, então k_p = \frac{2}{[3(1-p)]^{1/2}} e o intervalo de abrangência y \pm 2,98u_y corresponde então a uma probabilidade de abrangência de pelo menos p = 0,95. DO EXEMPLO Ṑ número efetivo de graus de liberdade para o exemplo da medição de torque é calculado segundo a Equação 14: ν_eff = \frac{u^4_T}{\sum^N_{i=1} \left(\frac{∂T}{∂m_g} \right)^4 u^4_{mR} \frac{1}{v_{mR}}} = \frac{(0,10127\ Nm)^4}{(0,00186\ Nm)^4 \frac{10}{10-1}}=7,9 \times 10^7 No exemplo, há apenas uma incerteza do tipo A, devido à repetibilidade das medidas na balança. Por isso, apenas essa é contabilizada na Equação 14. Todas as outras incertezas são do tipo B e possuem, portanto, um número infinito de graus de liberdade. Ṹtilizando as tabelas estatísticas da distribuição t, o fator de abrangência para esse valor de e p = 0,95 é k = 1,96. Assim, a incerteza expandida é calculada como U_T = 1,96 \times 0,10127\ Nm = 0,19849\ Nm. Finalmente, o resultado final da medição de torque, expresso com apenas um algarismo significativo, fica: T = 701,5\ Nm \pm 0,2\ Nm, ou ainda T = (701,5 \pm 0,2)\ Nm. REFERÊNCIAS 1. JCGM 100:2008. Evaluation of measurement data - Guide to the expression of uncertainty in measurement. Joint Committee for Guides in Metrology, 2008. 2. JCGM 101:2008. Evaluation of measurement data - Supplement 1 to the “Guide to the expression of uncertainty in measurement” - Propagation of distributions using a Monte Carlo method. Joint Committee for Guides in Metrology, 2008. 3. JCGM 102:2011. Evaluation of measurement data - Supplement 2 to the "Guide to the expression of uncertainty in measurement" - Extension to any number of output quantities. Joint Committee for Guides in Metrology, 2011. 4. JCGM 104:2009. Evaluation of measurement data - An introduction to the "Guide to the expression of uncertainty in measurement" and related documents. Joint Committee for Guides in Metrology, 2009. 5. JCGM 106:2012. Evaluation of measurement data - The role of measurement uncertainty in conformity assessment. Joint Committee for Guides in Metrology, 2012. 6. EURACHEM/CITAC Guide CG4. Quantifying uncertainty in analytical measurement. EURACHEM/CITAC, 2012. 7. Meyer V.R. (2007). Measurement uncertainty. J Chromatogr A, 1158: 15–24. 8. Wikipedia – A enciclopédia livre. Acesso em abril de 2020. 9. Willink R. (2007). A generalization of the Welch–Satterthwaite formula for use with correlated uncertainty components. Metrologia 44 (2007) 340–349. 1. ANEXO 2 DISTRIBUIÇÃO T (STUDENTS) onde: ν_i = Grau de liberdade | νi / Veff | 50% | 95% | 95,45% | 99% | 99,8% | |---|---|---|---|---|---| | 1 | 1,00 | 12,71 | 13,97 | 63,66 | 318 | | 2 | 0,82 | 4,30 | 4,53 | 9,93 | 22,33 | | 3 | 0,76 | 3,18 | 3,31 | 5,84 | 10,21 | | 4 | 0,74 | 2,78 | 2,87 | 4,60 | 7,17 | | 5 | 0,73 | 2,57 | 2,65 | 4,03 | 5,89 | | 6 | 0,72 | 2,45 | 2,52 | 3,71 | 5,21 | | 7 | 0,71 | 2,37 | 2,43 | 3,50 | 4,79 | | 8 | 0,71 | 2,31 | 2,37 | 3,36 | 4,50 | | 9 | 0,70 | 2,28 | 2,32 | 3,25 | 4,3 | | 10 | 0,70 | 2,23 | 2,28 | 3,17 | 4,14 | | 11 | 0,70 | 2,20 | 2,25 | 3,11 | 4,02 | | 12 | 0,70 | 2,18 | 2,23 | 3,06 | 3,93 | | 13 | 0,69 | 2,16 | 2,21 | 3,01 | 3,85 | | 14 | 0,69 | 2,14 | 2,20 | 2,98 | 3,79 | | 15 | 0,69 | 2,13 | 2,18 | 2,95 | 3,73 | | 16 | 0,69 | 2,12 | 2,17 | 2,92 | 3,69 | | 17 | 0,69 | 2,11 | 2,16 | 2,90 | 3,65 | | 18 | 0,69 | 2,10 | 2,15 | 2,88 | 3,61 | | 19 | 0,69 | 2,09 | 2,14 | 2,86 | 3,58 | | 20 | 0,69 | 2,09 | 2,13 | 2,85 | 3,55 | | 22 | 0,69 | 2,07 | 2,12 | 2,82 | 3,51 | | 24 | 0,69 | 2,06 | 2,11 | 2,80 | 3,47 | | 26 | 0,68 | 2,06 | 2,10 | 2,78 | 3,44 | | 28 | 0,68 | 2,05 | 2,09 | 2,76 | 3,41 | | 30 | 0,68 | 2,04 | 2,08 | 2,75 | 3,39 | | 35 | 0,68 | 2,03 | 2,07 | 2,72 | 3,34 | | 40 | 0,68 | 2,02 | 2,06 | 2,70 | 3,31 | | 50 | 0,68 | 2,01 | 2,05 | 2,68 | 3,26 | | 60 | 0,68 | 2,00 | 2,04 | 2,66 | 3,23 | | 80 | 0,68 | 1,99 | 2,03 | 2,64 | 3,20 | | 120 | 0,68 | 1,98 | 2,02 | 2,61 | 3,15 | | 150 | 0,68 | 1,98 | 2,01 | 2,60 | 3,12 | | 250 | 0,68 | 1,97 | 2,01 | 2,59 | 3,11 | | 500 | 0,67 | 1,96 | 2,00 | 2,58 | 3,09 | | > 1000 | 0,67 | 1,96 | 2,00 | 2,58 | 3,09 |